河北省武强中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2025高三上·武强期中）已知集合则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·武强期中）已知a=log20.2，b= ，c= ，则（ ）
A．a
3．（2025高三上·武强期中）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·武强期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·武强期中）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2025高三上·武强期中）已知a>0，b>0，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·武强期中）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·武强期中）在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·武强期中）下列说法正确的是（ ）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
10．（2025高三上·武强期中）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
11．（2025高三上·武强期中）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
12．（2025高三上·武强期中）函数在[0，π]上的最大值是 ．
13．（2025高三上·武强期中）若为偶函数，则 ．
14．（2025高三上·武强期中）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
15．（2025高三上·武强期中）已知全集，集合，.
（1）当时，求和；
（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16．（2025高三上·武强期中）已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
17．（2025高三上·武强期中）在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求的值．
18．（2025高三上·武强期中）已知函数.
（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）若是的极小值点，求b的取值范围.
19．（2025高三上·武强期中）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.
（1）证明：是倍角三角形；
（2）若，当取最大值时，求.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
故选：D.
【分析】先求得集合，进而利用交集的定义即可求得.
2．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】 【解答】因为函数 中底数为2，又 利用增函数的性质，
因为函数 中底数为2，又 利用增函数的性质，
因为函数 中底数为0.2，又 利用减函数的性质，
故答案为：B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合a，b，c与特殊值的大小关系式，判断出a，b，c的大小关系。
3．【答案】C
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A，，当且仅当时取等号，
所以其最小值为，A错误；
B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，
所以其最小值不为，B错误；
C，因为函数定义域为，而，，
当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C正确；
D，，函数定义域为，而且，
如当，，D错误．
故答案为：C．
【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”的条件，结合函数的定义域、单调性，逐一分析每个选项的最小值是否为4。
4．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由得tanα=1-，
故答案：B.
【分析】先由条件可得tanα的值，由正切和公式即可求出的值.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：（等和线法）如图，作，延长与相交于点，因为三点共线，所以．
故答案为：A．
【分析】用向量共线定理和平行四边形的向量性质求解.将相关向量用、表示，再通过三点共线的关系建立等式，进而求出.
6．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、取，，，故B错误；
C、因为，所以，故C正确；
D、取，，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】当时，即可判断A；取特殊值即可判断BD；利用基本不等式即可判断C.
7．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数的单调性.先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性可推出单调递增，再根据二次函数的性质和分界点的大小关系可列出不等式组，解不等式组可求出a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得：，
即：，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故答案为：C.
【分析】先通过正弦定理将边的关系转化为角的正弦乘积，再用余弦定理得到与的关系，结合正弦定理转化为，最后利用完全平方公式求出。
9．【答案】A,D
【知识点】集合的含义；集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合的表示方法
【解析】【解答】解：A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有，故A正确.
B，不是空集，故B错误.
C，，而，故两个集合不是同一个集合，故C错误.
D，，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据集合的基本性质（无序性、元素确定性、集合的表示意义），逐一分析每个选项中集合的元素或含义，判断是否正确。
10．【答案】A,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意得：，所以，，
即，
又因为，所以，当时，，故．
对于A，当时，，
由正弦函数图象知在上是单调递减，则A正确；
对于B，当时，，
由正弦函数图象知只有1个极值点，
由，解得，即为函数的唯一极值点，则B错误；
对于C，当时，，，直线不是对称轴，则C错误；
对于D，由得：，
解得或，
从而得：或，
所以，函数在点处的切线斜率为，
则切线方程为：，即，则D正确.
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件和正弦型函数的对称性，再结合的取值范围，从而得出的值，进而得出函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，从而判断出选项A；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再由正弦函数图象知只有1个极值点，从而得出函数在区间的极值点个数，从而判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，从而得出函数f(x)的对称轴，则判断出选项C；利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出函数的切线方程，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
B，当时，，则，故B正确；
C，， 故C错误；
D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用奇函数的性质（、）分析和时的解析式，结合导数判断极值点，通过举例验证不等式。
12．【答案】2
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：先化简，由；
由，则，当时，即，f(x)有最大值为2
故答案为：2.
【分析】先利用两角差的正弦定理对f(x)化简成一角一函数，求出所给的函数区间，结合正弦函数的原型函数图象即可得到结果.
13．【答案】2
【知识点】偶函数
【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。
14．【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
【分析】（1）向量分解与：利用向量的线性运算，将表示为和的线性组合，对比系数得、，进而计算。
（2）的最小值：将用、表示，结合三点共线的向量条件得等式，再通过“乘1法”结合基本不等式求的最小值。
15．【答案】（1）解：当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）解：因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）集合运算：先代入的值确定集合，再求的补集，最后通过并集、交集的定义计算结果。
（2）充分不必要条件：将条件转化为集合的真包含关系（），结合集合的区间端点，列不等式求解的范围。
（1）当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
16．【答案】（1）解：函数的定义域，，
由题意可得：，解得，
则，
令，解得或，令，解得，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意，
故；
（2）解：由（1）得函数，，，
令，得，函数在单调递增，
令，得，函数在单调递减，
函数在处取极小值，则当时，的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值即可；
（2）利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
（1）由题意得的定义域，且
因为函数在处取值得极值，所以
解得
此时，，
令得或，令得，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意
所以．
（2）由（1）得，，
令，得，所以函数在单调递增，
令，得，所以函数在单调递减，
所以函数在处取极小值，
所以当时，的最小值为
17．【答案】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；解三角形
【解析】【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到；
（3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
18．【答案】（1）解：当时，，其中，
则，令，
化简得，解得（负值舍去），
又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为，即.
（2）解：由题可得定义域为，，
因是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）切线方程：先求函数导数，令导数等于切线斜率得切点横坐标，再求切点纵坐标，最后用点斜式写切线方程。
（2）极值点的参数范围：由极小值点的导数为 0，得到a与b的关系，代入导数表达式后，通过讨论导数的符号（结合b的不同取值），确定x=1为极小值点时b的范围。
（1）当时，，其中，
则，令，
化简得，解得（负值舍去），
又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为，即.
（2）由题可得定义域为，，
因是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
19．【答案】（1）证明：因为，又，所以，
则，又由余弦定理知，，故可得，
由正弦定理，，又，
代入上式可得，即，，
则有，故是倍角三角形.
（2）解：因为，所以，故，则，又，
又，则，则
，
设，，则
令得或者（舍），且当时，，
当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取最大值，此时也取最大值，故为所求.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）要证明是倍角三角形，需结合三角形面积公式、余弦定理和正弦定理，将已知条件转化为角的倍数关系.
（2）求的最大值，需先通过正弦定理将边用角表示，再结合面积公式构建关于的函数，进而求解.
（1）因为，
又，所以，
则，
又由余弦定理知，，
故可得，
由正弦定理，，
又，
代入上式可得，
即，
，
则有，
故是倍角三角形.
（2）因为，所以，
故，则，又，
又，则，
则
，
设，，
则
令得或者（舍），
且当时，，
当时，，
则在上单调递增，
在上单调递减，
故当时，取最大值，
此时也取最大值，
故为所求.
1 / 1河北省武强中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2025高三上·武强期中）已知集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
故选：D.
【分析】先求得集合，进而利用交集的定义即可求得.
2．（2025高三上·武强期中）已知a=log20.2，b= ，c= ，则（ ）
A．a【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】 【解答】因为函数 中底数为2，又 利用增函数的性质，
因为函数 中底数为2，又 利用增函数的性质，
因为函数 中底数为0.2，又 利用减函数的性质，
故答案为：B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合a，b，c与特殊值的大小关系式，判断出a，b，c的大小关系。
3．（2025高三上·武强期中）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A，，当且仅当时取等号，
所以其最小值为，A错误；
B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，
所以其最小值不为，B错误；
C，因为函数定义域为，而，，
当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C正确；
D，，函数定义域为，而且，
如当，，D错误．
故答案为：C．
【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”的条件，结合函数的定义域、单调性，逐一分析每个选项的最小值是否为4。
4．（2025高三上·武强期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由得tanα=1-，
故答案：B.
【分析】先由条件可得tanα的值，由正切和公式即可求出的值.
5．（2025高三上·武强期中）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：（等和线法）如图，作，延长与相交于点，因为三点共线，所以．
故答案为：A．
【分析】用向量共线定理和平行四边形的向量性质求解.将相关向量用、表示，再通过三点共线的关系建立等式，进而求出.
6．（2025高三上·武强期中）已知a>0，b>0，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、取，，，故B错误；
C、因为，所以，故C正确；
D、取，，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】当时，即可判断A；取特殊值即可判断BD；利用基本不等式即可判断C.
7．（2025高三上·武强期中）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数的单调性.先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性可推出单调递增，再根据二次函数的性质和分界点的大小关系可列出不等式组，解不等式组可求出a的取值范围.
8．（2025高三上·武强期中）在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得：，
即：，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故答案为：C.
【分析】先通过正弦定理将边的关系转化为角的正弦乘积，再用余弦定理得到与的关系，结合正弦定理转化为，最后利用完全平方公式求出。
9．（2025高三上·武强期中）下列说法正确的是（ ）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【答案】A,D
【知识点】集合的含义；集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合的表示方法
【解析】【解答】解：A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有，故A正确.
B，不是空集，故B错误.
C，，而，故两个集合不是同一个集合，故C错误.
D，，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据集合的基本性质（无序性、元素确定性、集合的表示意义），逐一分析每个选项中集合的元素或含义，判断是否正确。
10．（2025高三上·武强期中）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】A,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意得：，所以，，
即，
又因为，所以，当时，，故．
对于A，当时，，
由正弦函数图象知在上是单调递减，则A正确；
对于B，当时，，
由正弦函数图象知只有1个极值点，
由，解得，即为函数的唯一极值点，则B错误；
对于C，当时，，，直线不是对称轴，则C错误；
对于D，由得：，
解得或，
从而得：或，
所以，函数在点处的切线斜率为，
则切线方程为：，即，则D正确.
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件和正弦型函数的对称性，再结合的取值范围，从而得出的值，进而得出函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，从而判断出选项A；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再由正弦函数图象知只有1个极值点，从而得出函数在区间的极值点个数，从而判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，从而得出函数f(x)的对称轴，则判断出选项C；利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出函数的切线方程，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2025高三上·武强期中）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
B，当时，，则，故B正确；
C，， 故C错误；
D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用奇函数的性质（、）分析和时的解析式，结合导数判断极值点，通过举例验证不等式。
12．（2025高三上·武强期中）函数在[0，π]上的最大值是 ．
【答案】2
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：先化简，由；
由，则，当时，即，f(x)有最大值为2
故答案为：2.
【分析】先利用两角差的正弦定理对f(x)化简成一角一函数，求出所给的函数区间，结合正弦函数的原型函数图象即可得到结果.
13．（2025高三上·武强期中）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【知识点】偶函数
【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。
14．（2025高三上·武强期中）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
【分析】（1）向量分解与：利用向量的线性运算，将表示为和的线性组合，对比系数得、，进而计算。
（2）的最小值：将用、表示，结合三点共线的向量条件得等式，再通过“乘1法”结合基本不等式求的最小值。
15．（2025高三上·武强期中）已知全集，集合，.
（1）当时，求和；
（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）解：因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）集合运算：先代入的值确定集合，再求的补集，最后通过并集、交集的定义计算结果。
（2）充分不必要条件：将条件转化为集合的真包含关系（），结合集合的区间端点，列不等式求解的范围。
（1）当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
16．（2025高三上·武强期中）已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）解：函数的定义域，，
由题意可得：，解得，
则，
令，解得或，令，解得，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意，
故；
（2）解：由（1）得函数，，，
令，得，函数在单调递增，
令，得，函数在单调递减，
函数在处取极小值，则当时，的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值即可；
（2）利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
（1）由题意得的定义域，且
因为函数在处取值得极值，所以
解得
此时，，
令得或，令得，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意
所以．
（2）由（1）得，，
令，得，所以函数在单调递增，
令，得，所以函数在单调递减，
所以函数在处取极小值，
所以当时，的最小值为
17．（2025高三上·武强期中）在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求的值．
【答案】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；解三角形
【解析】【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到；
（3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
18．（2025高三上·武强期中）已知函数.
（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）若是的极小值点，求b的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，其中，
则，令，
化简得，解得（负值舍去），
又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为，即.
（2）解：由题可得定义域为，，
因是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）切线方程：先求函数导数，令导数等于切线斜率得切点横坐标，再求切点纵坐标，最后用点斜式写切线方程。
（2）极值点的参数范围：由极小值点的导数为 0，得到a与b的关系，代入导数表达式后，通过讨论导数的符号（结合b的不同取值），确定x=1为极小值点时b的范围。
（1）当时，，其中，
则，令，
化简得，解得（负值舍去），
又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为，即.
（2）由题可得定义域为，，
因是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极大值点，不满足题意；
若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
得是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，.
19．（2025高三上·武强期中）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.
（1）证明：是倍角三角形；
（2）若，当取最大值时，求.
【答案】（1）证明：因为，又，所以，
则，又由余弦定理知，，故可得，
由正弦定理，，又，
代入上式可得，即，，
则有，故是倍角三角形.
（2）解：因为，所以，故，则，又，
又，则，则
，
设，，则
令得或者（舍），且当时，，
当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取最大值，此时也取最大值，故为所求.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）要证明是倍角三角形，需结合三角形面积公式、余弦定理和正弦定理，将已知条件转化为角的倍数关系.
（2）求的最大值，需先通过正弦定理将边用角表示，再结合面积公式构建关于的函数，进而求解.
（1）因为，
又，所以，
则，
又由余弦定理知，，
故可得，
由正弦定理，，
又，
代入上式可得，
即，
，
则有，
故是倍角三角形.
（2）因为，所以，
故，则，又，
又，则，
则
，
设，，
则
令得或者（舍），
且当时，，
当时，，
则在上单调递增，
在上单调递减，
故当时，取最大值，
此时也取最大值，
故为所求.
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