2025-2026学年 浙教版九年级上册 数学期末检测题二（含解析）

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2025-2026学年 浙教版九年级上册 数学期末检测题二
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，的半径为5，则点（ ）
A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定
2．如图，已知点，，线段可由线段绕点M逆时针旋转得到，点A与是对应点，则点M所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．如图，，则下列线段的比中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，B、F、C三点共线，与相交于点E，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．画二次函数的图象时，列表如下：
… 1 2 3 4 …
… 0 1 0 …
关于此函数有下列说法：①当时，；②当时，该函数有最大值；③函数图象开口朝上；④在函数图象上有两点，则，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．①② D．②④
7．如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转到点的位置，求的长．（ ）
A． B． C． D．
9．如图，与位似，点O是它们的位似中心，与的面积之比是，其中，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．小影和晓成准备在周一、周二、周三、周四这四天中选择一天上游泳兴趣班，求两人都选到周四的概率为 ．
12．如图，中，，于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为 ．
13．如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ．
14．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．以下结论：①；②；③；④若为任意实数，则，其中正确的结论有 ．
15．如图，在中，，是高线，延长交的外接圆于点E，连接．若，圆的面积为，则的长是 ．
16．如图，已知正方形中，，点在正方形的外部，在直线同侧，且，连接．若，则线段的长为 ．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)先将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出；
(2)在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1的位似图形，并写出点的坐标．
18．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②扇形统计图中圆心角______度；
(2)学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
19．如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）．
(1)若，，求的度数；
(2)作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得．
20．如图，平行四边形中，于，于，与、分别相交于点、．求证：．
21．已知二次函数的图象经过点
(1)若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值．
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围．
22．已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为．
(1)如图1，连结，求的度数．
(2)如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结．
①求证：；
②若，，求的半径．
23．【观察发现】
（1）如图1，在中，点在边上，连接，若，求证：；
【灵活运用】
（2）如图2，在中，对角线、交于点，为线段上一点，连接，，，若，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图3，有一块形状为菱形的植物研究基地，点为该基地的研究中心，点、均为暖房（点、分别在、边上），、为两条石板路，且，延长、交于点，现计划在点处修建一个研究人员休息室，若，，，请你帮助工作人员求出的长．（研究中心、暖房、休息室的大小及石板路的宽度均忽略不计）
24．已知抛物线的图像经过点，与x轴交于另一点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)直接写出a的值，及B，C两点坐标；
(2)如图1，若点P为抛物线上异于点D的任意一点，轴，交对称轴于点Q，求的值；
(3)如图2，若，点P是抛物线上任意一点，且点P的横坐标为m
①当，求面积的最大值；
②过点P作轴，交抛物线于另一点Q，轴交直线于点D，轴交直线于点E，当的值为14，直接写出m的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B D C C C D B B
1．B
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的三种位置关系是解题的关键．
根据勾股定理求出的长，再与的半径比较即可．
【详解】解：点，
的半径为5，
点在圆上，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的定义作图分析是关键．
在平面内,将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转不改变图形的形状和大小．
【详解】解：如图所示，连接，分别作线段的垂直平分线交于点，
∴将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴点即为旋转中心，位于第四象限，
故选：D ．
3．B
【分析】本题考查垂径定理，根据垂径定理得出即可得到答案
【详解】解：∵是的直径，弦于点E，
∴，
故选B
4．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由，证明，则，即可作答．
【详解】解：∵AC与BD相交于点E，
∴
∴，
∵
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
根据表格中的点、、求出二次函数解析式，再逐一判断各说法的正误．
【详解】∵二次函数经过点、、，
∴代入得方程组：
解得，
∴函数解析式为．
①当时，，故①正确；
②∵，且，
∴函数开口向下，当
时有最大值，故②正确；
③∵
，∴函数图象开口朝下，故③错误；
④解方程
得，即或；
解方程
得
或，即或；
当时，，故④错误．
综上，正确的是①②．
故选C．
7．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的性质证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据圆周角定理及直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
同理可得，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
解得，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
故选：C．
8．D
【分析】这道题主要考查初中数学中 “圆” 章节的核心知识点，弧长公式，平面直角坐标系，勾股定理，图形的旋转，解题的关键点在于确定半径和圆心角，易错点在于弧长公式记错或代入错误；根据点的坐标求出的长度，以及圆心角度数，代入公式即可．
【详解】过点作轴于点．
∵点，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
即，
则．
∵在中，
，
∴．
故选D．
9．B
【分析】根据位似图形的定义得到，，根据相似三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：与位似，
，，
与的面积之比是，
与的相似比是，即，
，
，
，即，
解得：，
故选：．
10．B
【分析】延长交于点，连接，由等腰直角三角形的性质得出，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，再证明，得出即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，
，，
，
，
，
．
在中，
．
作关于对称的图形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
，
，
．
在和中，
，
，
，
把代入中得，
．
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
11．
【分析】本题考查了画树状图求概率，能准确地画出树状图是解题的关键；先画出树状图，可知总共有16种等可能的结果，两人都选周四只有1种情况，从而可求解．
【详解】解：画树状图，如图所示：
由图可知，总共有16种等可能的结果，两人都选周四只有1种情况，因此两人都选到周四的概率为，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形性质，平行四边形性质，旋转的性质等知识点，作出适当的辅助线是解题的关键．
根据题意求出长，由旋转得长，过F点作，勾股定理得长，即可求得长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，即，
，
由旋转得，
，
过F点作交于H，如图：
，
，
∴，
，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，先证明是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过作交的延长线于，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
14．①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②；当时，，求出，再根据抛物线与轴的交点位置可判断③；根据二次函数最值即可判断④，即可得出结论．
【详解】解：根据图象可得，，，
对称轴为，
，即，
，故①正确；
根据二次函数的图象与轴交于点，
可得二次函数的图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，故②正确；
根据二次函数与轴的交点在与之间，可得，
当时，，
即，
，
解得，故③正确；
当时，有最大值，
因此对于任意实数，，
∴，故④错误；
∴正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
15．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，因式分解法解一元二次方程．
根据等腰三角形三线合一得到，，，根据圆周角定理得到，可知，根据等角对等边得到，可知，即，根据可知是圆的直径，根据圆的面积为求出，根据勾股定理得到，可知，即，代入得到，求解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，是高线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
∵，
∴是圆的直径，
∵圆的面积为，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去）．
故答案为：．
16．
【分析】延长，交于点，延长至，使，连接，先证，由勾股定理得，由正方形的性质得，则，通过证明得到，设，则，根据线段的和差列出方程，解得，最后计算的长，即可解答.
【详解】解：如图，延长，交于点，延长至，使，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形， ，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）平移到，根据平移变换，确定坐标后，画图即可；
（2）根据位似比，确定坐标后，画图即可；
本题考查了平移作图，位似作图，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键．
【详解】（1）解：的三个顶点坐标分别是，，．
将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，则，，画图如下：
则即为所求．
（2）解：的三个顶点坐标分别是，，．
在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1，得到，则，，画图如下：
则即为所求．
18．(1)①；②
(2)见解析，（恰好抽中甲、乙两人）
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确理解题意读懂统计图是解题的关键．
（1）①用B组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数；②先求出A组的人数，再求出C组的人数，再用360度乘以C组的人数占比即可得到答案；
（2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中甲、乙两人的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：①名，
∴这次调查一共随机抽取了400名学生；
②由题意得，A组的学生人数为名，，
∴C组的学生人数为名，
∴；
（2）解：由题意可画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，
（恰好抽中甲、乙两人）．
19．(1)
(2)作图见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论（同弧所对圆周角相等）和角平分线的作法，
（1）根据同弧所对圆周角相等可得，，结合已知即可求出，
（2）由（1）可知，进而可得，即是的角平分线，由此即可作图，
【详解】（1）解：∵，，
，
又，
，
∵
∴.
（2）解：如图，作的角平分线交圆于点，点即为所求；
20．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的对角相等，以及垂直的定义可得△ABE和△ADF的两角对应相等，则两个三角形相似．
【详解】证明：，，
，
四边形是平行四边形，
，
．
21．(1)的值为1
(2)的取值范围为
【分析】（1）依据题意，由点向上平移9个单位长度得到，再求得关于抛物线的对称轴对称的，向左平移m个单位长度，进而可得平移后的点为，结合在图象上，可得，进而计算可以得解；
（2）依据题意，由，可得当时，y取最小值，最小值为，再根据、和进行分类讨论，即可计算得解．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化-平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】（1）解：，
抛物线的对称轴为直线，
将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，
，
，
再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，
将向左平移个单位长度得到，
把点代入得，，
解得或舍去，
的值为
（2）解：由题意，当时，
时，;
时，；
最大值与最小值的和为
不符合题意，舍去．
当时，
时，;
时，；
最大值与最小值的和为，符合题意．
当时，
时，;
时，;
最大值与最小值的和为 ，
解得或，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为
22．(1)
(2)①见解析，②的半径为．
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的内接四边形，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
（1）连接，由折叠，得，证明，则是等边三角形，即可解答；
（2）①先证明，推导出，即可解答．②连接，，，推导出，弧=弧，得到，推导出，得到为等边三角形，继而得到，过点O作于点M，连接并延长交于点P，证明是的垂直平分线所在直线，得到，由，得到，解得，或（舍去），求出，，则，即可解答．
【详解】（1）解：连接，如图，
由折叠，得，
∵
∴
∴是等边三角形
∴．
（2）①∵与关于直线对称
∴
∵四边形是圆的内接四边形，
∴
∵，
∴．
②连接，，，如图，
由(1)，可得，弧=弧，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图
∴，即，．
∵圆心O在的垂直平分线上， ，
∴点E在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线所在直线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
∴．
答：的半径为．
23．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据已知以及公共角，证明，得到，得出；
（2）由平行四边形的性质得出，结合已知可得，进而证明，得出，代入数据即可求得；
（3）连接，先证明，求得，勾股定理求得，进而证明，得出，代入数据计算即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：，，
，
，
．
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，（负值舍去），
．
（3）如图，连接，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得（负值已舍去），
，
，
，
为直角三角形，，
，
在中，由勾股定理得：．
，
，
，，
，
，
即，解得：，
的长为．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
24．(1)，，
(2)4
(3)①；②或
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形等知识，正确求得函数解析式是解答的关键．
（1）利用待定系数法可求得a值和函数解析式，进而可求得B、C坐标；
（2）先由二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，设，根据坐标与图形性质得到，进而可得,，即可求解；
（3）①先求得直线的函数解析式， 由题意，，则，又，利用坐标与图形性质得到，然后根据二次函数的性质求解即可；
②分当点P在Q右侧时和当点P在Q左侧时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的图像经过点，
∴，解得；
∴，
当时，，
∴；
当时，由得，，
∴；
（2）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
设，
∵点P为抛物线上异于点D的任意一点，轴，交对称轴于点Q，
∴
∴，，
∴；
（3）解：①设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
由题意知，，则，
又∵，即点在点的上方，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②当点P在Q右侧时，由题意，当点P在点B处时，点Q在点A处，此时P、D重合，，，，
∴，
∴点P在点B右侧，此时点P、Q都在直线下方，如图，
由题意，，，，，，
∴，，，
∴
，
由得，
解得或（舍去）；
同理，当点P在Q左侧时，根据抛物线的对称性，，即，
综上，满足条件的m值为或．
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