广东省湛江市第二十一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
1．（2025高二上·湛江月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高二上·湛江月考）现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为（ ）
A．1 B．6 C．5或6 D．1或6
3．（2025高二上·湛江月考）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·湛江月考）如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025高二上·湛江月考）下列命题正确的是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为
D．若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为
6．（2025高二上·湛江月考）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·湛江月考）已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·湛江月考）设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·湛江月考）已知实数满足，复数，则（ ）
A．为纯虚数 B．的虚部为
C． D．
10．（2025高二上·湛江月考）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高二上·湛江月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与夹角的余弦值为
D．点到平面的距离为
12．（2025高二上·湛江月考）已知，则 ．
13．（2025高二上·湛江月考）在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ．
14．（2025高二上·湛江月考）已知圆的面积为，则 ．
15．（2025高二上·湛江月考）为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：
（1）求甲和乙的测试成绩的平均数和方差；
（2）从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）；
②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）.
16．（2025高二上·湛江月考）已知是棱长为2的正方体，点为的中点，点为的中点.
（1）求证：；
（2）求点到直线的距离.
17．（2025高二上·湛江月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
18．（2025高二上·湛江月考）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，
（1）求边所在直线方程；
（2）求边上高线所在直线方程；
（3）求的外接圆方程．
19．（2025高二上·湛江月考）如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用函数求值域的方法得出集合A，利用x的取值范围和元素与集合的关系，从而得出集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：将数据1，4，5，6，4，5，4按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6，
则原数据的中位数为4，
若删除一个数后，所得数据的中位数不变，
则被删除的数为5或6.
故答案为：C.
【分析】将数据从小到大排列，由中位数的定义得出被删除的数.
3．【答案】A
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
解得，，，
所以．
故答案为：A.
【分析】根据向量共线的坐标表示，从而列出关于的方程组，再解方程组得出的值，从而得出的值.
4．【答案】C
【知识点】确定直线位置的几何要素
【解析】【解答】解：由且，
可得同号，异号，
所以也是异号；
令，得；
令，得，
所以直线不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据横截距和纵截距的取值范围，从而判断出直线不经过的象限.
5．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于选项A，注意到，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误；
对于选项B，注意到当时，若，
则不存在，使，故B错误；
对于选项C，因为在上的投影向量为，
故C正确；
对于选项D，因为向量，的夹角为钝角，
则且不共线，
得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，则判断出选项A；注意到当时不满足题中描述，则判断出选项B；由数量积求向量夹角公式和数量积求投影向量公式，则判断出选项C；利用两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于0，且两向量不共线，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
6．【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，
由圆台上、下底面面积分别是、，
得上底面半径，下底面半径，
又因为侧面积是，
所以，
则，
在直角三角形中，
，高为，
所以.
故答案为：A.
【分析】先由圆台的侧面积公式得出母线长，再由母线长结合勾股定理得到直角三角形的高，最后根据圆台的体积公式得出该圆台的体积.
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意，要使在R上的减函数，
故需要满足：，
解得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和分段函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，
易得的坐标为，
设点的坐标为，则，
解得，所以，
因为，，
所以的周长为，
则当、、、四点共线时，的周长最小，
所以，最小值为．
故答案为：A.
【分析】根据题意，先求出点关于轴的对称点，再求出关于直线的对称点，将折线转化为直线，再通过两点之间线段最短，从而求解得出的周长的最小值.
9．【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以，则，故A错误；
因为，所以的虚部为，故B正确；
因为，故C正确；
因为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据复数的乘法运算法则求出a的值，从而得出复数z，再利用纯虚数的判断方法，则判断出选项A；将复数z的虚部变为相反数，则得出复数，则判断出选项B；代入公式求出复数的模，则判断出选项C；利用复数的乘法运算法则求出复数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】直线的一般式方程；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为，且直线的方程为，
设直线的方程为，，
根据题意，得，
解得或，
所以直线的方程为或．
故答案为：BC．
【分析】根据直线平行，可设直线的方程为，再结合两平行线间距离公式，从而得出直线的方程.
11．【答案】A,C,D
【知识点】向量的模；异面直线所成的角；空间向量基本定理；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为平面平面，
所以，
在正方形中，有，
所以两两互相垂直，
以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为，，所以为的中点，
则.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，
则直线与夹角的余弦值为，故C正确；
对于D，因为平面，所以，点到平面的距离为，
则点到平面的距离为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件构建合适的空间直角坐标系，再利用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的定义，则判断出选项B、选项C和选项D；由空间向量加减、数乘的几何意义，则用相关向量表示出，则判断出选项A，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
可得：，
则.
故答案为：.
【分析】由同角三角函数的基本关系式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：如下图：在平面直角坐标系中，描出，
则，，
所以为等腰三角形，
则的角平分线也为中线，
所以边的中点为，
则角平分线所在直线斜率为：.
故答案为：．
【分析】在平面直角坐标系中描点连线，则判断出为等腰三角形，从而得出角平分线所在直线的斜率为中线的斜率，从而求解得出角平分线所在直线斜率．
14．【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：因为圆，即，
则，解得或，
可知圆的半径，
由题意，可得，
解得．
故答案为：.
【分析】根据圆的方程可得圆的半径，再结合圆的面积公式得出实数m的值.
15．【答案】（1）解：由表格中的数据，
可得甲的平均数为，
乙的平均数为，
则甲的方差为，
乙的方差为，
（2）解：①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好.
②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高，
而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）利用平均数公式和方差的公式，从而分别求出甲和乙的测试成绩的平均数和方差.
（2）①比较平均数，则两者相等，比较方差，则，从而找出成绩更好的方案.
②利用数形结合得到甲成绩在稳步提高，从而得出更有潜力的方案.
（1）由表格中的数据可得
甲的平均数为，
乙的平均数为，
甲的方差为，
乙的方差为，
（2）①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好；
②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高，
而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下.
16．【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，
所以，
则，
所以，
则.
（2）解：因为，，，
所以，点到直线的距离为：
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【分析】（1）先建系，再由证出.
（2）由点到直线的距离公式得出点到直线的距离.
（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，所以，
故，故，
所以；
（2），，，
点到直线的距离为
.
17．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
则，
所以，
又因为，所以，
则，
所以.
（2）解：由，
可得，
则，
由（1），，得，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换得出的值，再利用三角形中角C的取值范围，从而得出角的值.
（2）由数量积的运算律和（1），从而得出的值，再利用三角形的面积公式得出的面积.
（1）因为，
由正弦定理得，
即，所以，
又，所以，所以，所以；
（2）由，可得，即，
由（1），，所以，
所以.
18．【答案】（1）解：因为，，
由两点式方程可得边所在直线方程为：，即.
（2）解：因为，，所以，
记边上高线所在直线方程的斜率为，
则，得，
又因为边上高线所在直线过点，
则所求方程为，即.
（3）解：设的外接圆方程为，
（），
则，
所以，
解得，满足，
所以的外接圆方程为.
【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和直线的两点式方程，从而得出直线的方程.
（2）先求出边所在直线方程，利用两直线垂直的斜率关系，再结合点斜式得出直线的方程.
（3）设出圆的一般式方程，再将三点坐标代入求解得出的外接圆方程.
（1）因为，，
所以，由两点式方程可得边所在直线方程为：，即.
（2）因为，，所以，
记边上高线所在直线方程的斜率为，则，得，
又边上高线所在直线过点，
所以所求方程为，即.
（3）设的外接圆方程为，（），
则，即，
解得，满足，
所以的外接圆方程为.
19．【答案】（1）证明：证法一：取中点E，连接和，
C为中点，
且，
且，
且，
四边形为平行四边形，
则，
面，面，
面.
证法二：如图所示，取的中点Q，连接，，
在，C为中点，Q为中点，
，
平面，平面，
平面，
在四边形中，，，Q为中点，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面
又，平面，
平面平面，
由平面，
平面.
（2）解：解法一：取中点O，连接，
则在等边中，，
面面，面面，面，
面，面，
可得，
又因为，，面，
面，
以N为坐标原点，，为x，y轴，
过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
则，
，
依题意，可得平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
则，
设二面角为，
则，
或（舍），
则，
所以.
解法二：取中点O，连接，
则在等边中，，
面面，面面，面，
面，面，
可得，
又因为，，面，
面，
取的中点E，以O为原点，
分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
由是平面的一个法向量，记为，
假设线段上存在点F满足已知条件，
则，且，
设，则，
，
，，，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，
由已知条件，得，
整理得，
化简得，
解得或（舍去），
线段上存在点F，当时，满足已知条件，
则，
，
，
求平面的一个法向量的另一种解法：
，
平面的一个法向量可取.
解法三：（几何法）作，，
，，，平面，
平面，平面，
，
为二面角的平面角，
设，在中，，
，
，
在中，
由，
得，
由，
得，
在直角三角形中，，
，
在直角三角形中，，
则在中，由，
得.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（l）利用两种方法证明.
证法一：利用中位线定理和平行四边形的定义得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面.
证法二：利用中位线定理和平行四边形定义得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，再根据线面平行证出面面平行，最后由面面平行的性质定理证出线面平行，即证出平面.
（2）利用三种方法求解.
解法一：利用等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件以及向量的模的坐标表示，从而得出PF的长.
解法二：利用等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件以及向量共线定理，从而得出PF的长.
解法三：利用几何法求解，利用线线垂直和线面垂直的互推关系以及二面角的平面角的定义，从而得出为二面角的平面角，再利用三角形中对应边成比例和正切函数的定义以及勾股定理，从而得出PF的长.
（1）.
解法一
证明：取中点E，连接和.
C为中点，且，
且，且，
四边形为平行四边形，则，
面，面，面.
解法二：
如图所示，取的中点Q，连接，，
在，C为中点，Q为中点，，
平面，平面，平面，
在四边形中，，，Q为中点，
，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面
又，平面，平面平面，
由平面，平面
（2）解法一：
取中点O，连接，则等边中.
面面，面面，面，
面，面，可得.
又，，面，面，
以N为坐标原点，，为x，y轴，过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，则，
，
依题意可得平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
即，
二面角为，则，
，（舍），
，则.
解法二：
取中点O，连接，则等边中.
面面，面面，面，
面，面，可得.
又，，面，面
取的中点E，以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
由已知是平面的一个法向量，记为，
假设线段上存在点F满足已知条件，则有，且，
设，有，，
，，，即，，
设平面的一个法向量为，
则， 取，
由已知得，
整理得，即化简得，
解得，（舍去），
线段上存在点F，当时，已知条件成立，
则有，，.
求平面的一个法向量的另一种解法：
，
平面的一个法向量可取
解法三：几何法
作，
，，，平面，平面，
平面，，
为二面角的平面角，
设，在中，，，
在中，由得，
由已知得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以在中，由，得.
1 / 1广东省湛江市第二十一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
1．（2025高二上·湛江月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用函数求值域的方法得出集合A，利用x的取值范围和元素与集合的关系，从而得出集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高二上·湛江月考）现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为（ ）
A．1 B．6 C．5或6 D．1或6
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：将数据1，4，5，6，4，5，4按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6，
则原数据的中位数为4，
若删除一个数后，所得数据的中位数不变，
则被删除的数为5或6.
故答案为：C.
【分析】将数据从小到大排列，由中位数的定义得出被删除的数.
3．（2025高二上·湛江月考）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
解得，，，
所以．
故答案为：A.
【分析】根据向量共线的坐标表示，从而列出关于的方程组，再解方程组得出的值，从而得出的值.
4．（2025高二上·湛江月考）如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】确定直线位置的几何要素
【解析】【解答】解：由且，
可得同号，异号，
所以也是异号；
令，得；
令，得，
所以直线不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据横截距和纵截距的取值范围，从而判断出直线不经过的象限.
5．（2025高二上·湛江月考）下列命题正确的是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为
D．若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于选项A，注意到，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误；
对于选项B，注意到当时，若，
则不存在，使，故B错误；
对于选项C，因为在上的投影向量为，
故C正确；
对于选项D，因为向量，的夹角为钝角，
则且不共线，
得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，则判断出选项A；注意到当时不满足题中描述，则判断出选项B；由数量积求向量夹角公式和数量积求投影向量公式，则判断出选项C；利用两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于0，且两向量不共线，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
6．（2025高二上·湛江月考）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，
由圆台上、下底面面积分别是、，
得上底面半径，下底面半径，
又因为侧面积是，
所以，
则，
在直角三角形中，
，高为，
所以.
故答案为：A.
【分析】先由圆台的侧面积公式得出母线长，再由母线长结合勾股定理得到直角三角形的高，最后根据圆台的体积公式得出该圆台的体积.
7．（2025高二上·湛江月考）已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意，要使在R上的减函数，
故需要满足：，
解得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和分段函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
8．（2025高二上·湛江月考）设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，
易得的坐标为，
设点的坐标为，则，
解得，所以，
因为，，
所以的周长为，
则当、、、四点共线时，的周长最小，
所以，最小值为．
故答案为：A.
【分析】根据题意，先求出点关于轴的对称点，再求出关于直线的对称点，将折线转化为直线，再通过两点之间线段最短，从而求解得出的周长的最小值.
9．（2025高二上·湛江月考）已知实数满足，复数，则（ ）
A．为纯虚数 B．的虚部为
C． D．
【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以，则，故A错误；
因为，所以的虚部为，故B正确；
因为，故C正确；
因为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据复数的乘法运算法则求出a的值，从而得出复数z，再利用纯虚数的判断方法，则判断出选项A；将复数z的虚部变为相反数，则得出复数，则判断出选项B；代入公式求出复数的模，则判断出选项C；利用复数的乘法运算法则求出复数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2025高二上·湛江月考）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】直线的一般式方程；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为，且直线的方程为，
设直线的方程为，，
根据题意，得，
解得或，
所以直线的方程为或．
故答案为：BC．
【分析】根据直线平行，可设直线的方程为，再结合两平行线间距离公式，从而得出直线的方程.
11．（2025高二上·湛江月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与夹角的余弦值为
D．点到平面的距离为
【答案】A,C,D
【知识点】向量的模；异面直线所成的角；空间向量基本定理；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为平面平面，
所以，
在正方形中，有，
所以两两互相垂直，
以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为，，所以为的中点，
则.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，
则直线与夹角的余弦值为，故C正确；
对于D，因为平面，所以，点到平面的距离为，
则点到平面的距离为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件构建合适的空间直角坐标系，再利用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的定义，则判断出选项B、选项C和选项D；由空间向量加减、数乘的几何意义，则用相关向量表示出，则判断出选项A，从而找出正确的选项.
12．（2025高二上·湛江月考）已知，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
可得：，
则.
故答案为：.
【分析】由同角三角函数的基本关系式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
13．（2025高二上·湛江月考）在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ．
【答案】
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：如下图：在平面直角坐标系中，描出，
则，，
所以为等腰三角形，
则的角平分线也为中线，
所以边的中点为，
则角平分线所在直线斜率为：.
故答案为：．
【分析】在平面直角坐标系中描点连线，则判断出为等腰三角形，从而得出角平分线所在直线的斜率为中线的斜率，从而求解得出角平分线所在直线斜率．
14．（2025高二上·湛江月考）已知圆的面积为，则 ．
【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：因为圆，即，
则，解得或，
可知圆的半径，
由题意，可得，
解得．
故答案为：.
【分析】根据圆的方程可得圆的半径，再结合圆的面积公式得出实数m的值.
15．（2025高二上·湛江月考）为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：
（1）求甲和乙的测试成绩的平均数和方差；
（2）从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）；
②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）.
【答案】（1）解：由表格中的数据，
可得甲的平均数为，
乙的平均数为，
则甲的方差为，
乙的方差为，
（2）解：①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好.
②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高，
而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）利用平均数公式和方差的公式，从而分别求出甲和乙的测试成绩的平均数和方差.
（2）①比较平均数，则两者相等，比较方差，则，从而找出成绩更好的方案.
②利用数形结合得到甲成绩在稳步提高，从而得出更有潜力的方案.
（1）由表格中的数据可得
甲的平均数为，
乙的平均数为，
甲的方差为，
乙的方差为，
（2）①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好；
②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高，
而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下.
16．（2025高二上·湛江月考）已知是棱长为2的正方体，点为的中点，点为的中点.
（1）求证：；
（2）求点到直线的距离.
【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，
所以，
则，
所以，
则.
（2）解：因为，，，
所以，点到直线的距离为：
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【分析】（1）先建系，再由证出.
（2）由点到直线的距离公式得出点到直线的距离.
（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，所以，
故，故，
所以；
（2），，，
点到直线的距离为
.
17．（2025高二上·湛江月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
则，
所以，
又因为，所以，
则，
所以.
（2）解：由，
可得，
则，
由（1），，得，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换得出的值，再利用三角形中角C的取值范围，从而得出角的值.
（2）由数量积的运算律和（1），从而得出的值，再利用三角形的面积公式得出的面积.
（1）因为，
由正弦定理得，
即，所以，
又，所以，所以，所以；
（2）由，可得，即，
由（1），，所以，
所以.
18．（2025高二上·湛江月考）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，
（1）求边所在直线方程；
（2）求边上高线所在直线方程；
（3）求的外接圆方程．
【答案】（1）解：因为，，
由两点式方程可得边所在直线方程为：，即.
（2）解：因为，，所以，
记边上高线所在直线方程的斜率为，
则，得，
又因为边上高线所在直线过点，
则所求方程为，即.
（3）解：设的外接圆方程为，
（），
则，
所以，
解得，满足，
所以的外接圆方程为.
【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和直线的两点式方程，从而得出直线的方程.
（2）先求出边所在直线方程，利用两直线垂直的斜率关系，再结合点斜式得出直线的方程.
（3）设出圆的一般式方程，再将三点坐标代入求解得出的外接圆方程.
（1）因为，，
所以，由两点式方程可得边所在直线方程为：，即.
（2）因为，，所以，
记边上高线所在直线方程的斜率为，则，得，
又边上高线所在直线过点，
所以所求方程为，即.
（3）设的外接圆方程为，（），
则，即，
解得，满足，
所以的外接圆方程为.
19．（2025高二上·湛江月考）如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：证法一：取中点E，连接和，
C为中点，
且，
且，
且，
四边形为平行四边形，
则，
面，面，
面.
证法二：如图所示，取的中点Q，连接，，
在，C为中点，Q为中点，
，
平面，平面，
平面，
在四边形中，，，Q为中点，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面
又，平面，
平面平面，
由平面，
平面.
（2）解：解法一：取中点O，连接，
则在等边中，，
面面，面面，面，
面，面，
可得，
又因为，，面，
面，
以N为坐标原点，，为x，y轴，
过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
则，
，
依题意，可得平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
则，
设二面角为，
则，
或（舍），
则，
所以.
解法二：取中点O，连接，
则在等边中，，
面面，面面，面，
面，面，
可得，
又因为，，面，
面，
取的中点E，以O为原点，
分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
由是平面的一个法向量，记为，
假设线段上存在点F满足已知条件，
则，且，
设，则，
，
，，，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，
由已知条件，得，
整理得，
化简得，
解得或（舍去），
线段上存在点F，当时，满足已知条件，
则，
，
，
求平面的一个法向量的另一种解法：
，
平面的一个法向量可取.
解法三：（几何法）作，，
，，，平面，
平面，平面，
，
为二面角的平面角，
设，在中，，
，
，
在中，
由，
得，
由，
得，
在直角三角形中，，
，
在直角三角形中，，
则在中，由，
得.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（l）利用两种方法证明.
证法一：利用中位线定理和平行四边形的定义得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面.
证法二：利用中位线定理和平行四边形定义得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，再根据线面平行证出面面平行，最后由面面平行的性质定理证出线面平行，即证出平面.
（2）利用三种方法求解.
解法一：利用等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件以及向量的模的坐标表示，从而得出PF的长.
解法二：利用等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件以及向量共线定理，从而得出PF的长.
解法三：利用几何法求解，利用线线垂直和线面垂直的互推关系以及二面角的平面角的定义，从而得出为二面角的平面角，再利用三角形中对应边成比例和正切函数的定义以及勾股定理，从而得出PF的长.
（1）.
解法一
证明：取中点E，连接和.
C为中点，且，
且，且，
四边形为平行四边形，则，
面，面，面.
解法二：
如图所示，取的中点Q，连接，，
在，C为中点，Q为中点，，
平面，平面，平面，
在四边形中，，，Q为中点，
，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面
又，平面，平面平面，
由平面，平面
（2）解法一：
取中点O，连接，则等边中.
面面，面面，面，
面，面，可得.
又，，面，面，
以N为坐标原点，，为x，y轴，过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，则，
，
依题意可得平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
即，
二面角为，则，
，（舍），
，则.
解法二：
取中点O，连接，则等边中.
面面，面面，面，
面，面，可得.
又，，面，面
取的中点E，以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
由已知是平面的一个法向量，记为，
假设线段上存在点F满足已知条件，则有，且，
设，有，，
，，，即，，
设平面的一个法向量为，
则， 取，
由已知得，
整理得，即化简得，
解得，（舍去），
线段上存在点F，当时，已知条件成立，
则有，，.
求平面的一个法向量的另一种解法：
，
平面的一个法向量可取
解法三：几何法
作，
，，，平面，平面，
平面，，
为二面角的平面角，
设，在中，，，
在中，由得，
由已知得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以在中，由，得.
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