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【精选热题·期末50道解答题专练】北师大版数学九年级上册总复习
1．如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数．
2．小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度．
3．如图所示，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.
（1）求的度数.
（2）求边的长度.
4．如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？
5．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）
（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；
（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2．
6．某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：．积土成山（物理变化）、．蜡炬成灰（化学变化）、．物腐虫生（化学变化）、．木已成舟（物理变化）．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．
试验次数 100 300 500 1000 2000
抽到卡片次数 30 70 126 251 500
抽到卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250
（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片的概率是______；
（2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到卡片为例，数据记录如表：根据以上数据，抽到卡片的频率越来越稳定于______（精确到0.01），所以该同学的说法______；（用“正确”或“错误”填空）
（3）小娜随机抽取一张卡片记录后，不放回，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率．
7．如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，过A作 AF⊥DE，垂足为F．△DEC与△ADF相似吗？请说明理由．
8．课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题．
（1）在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________；
（2）当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．
9．解方程
以下是嘉嘉对该题的解答过程：
解：方程两边同时除以，得
第一步
第二步
第三步
（1）嘉嘉的解答过程从第 步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程.
10．如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
（1）请问和有何数量关系，并说明理由；
（2）如图所示，在的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数．
11．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出20双，每双盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双．
（1）若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
（2）若商场每天要盈利1750元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？
12．已知. 是完全平方式，求常数 n的值.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．
14．如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度为70m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m宽的小门．设栅栏BC的长为xm．
（1）AB= m(用含x的代数式表示)；
（2）若矩形围栏ABCD的面积为324，求栅栏BC的长．
15．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中．直线分别与x轴、y轴交于点A，B，与双曲线在第一象限交于点，以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在x轴正半轴上，顶点D在第三象限内．
（1）求k的值；
（2）求D的坐标，判断点D是否在双曲线的图象上，并说明理由．
18．如图，点D在的边BC上，，，，求BD的长．
19．某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年均增长率为多少？
20．如图，一次函数y=kx+(k为常数，k≠0)的图象与反比例函数y=(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A(1，n)，与x轴交于点B(-3，0)．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
21．如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，于点E，于点F．
（1）判断的形状；
（2）求证：；
（3）线段CD与AB满足什么数量关系时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．
22．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
23．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在课外活动中制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他完全相同，现放置于暗箱中摇匀．
（1）小物从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是 ；
（2）小化从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小化抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
24．已知y与x+2是反比例函数关系，且当x=3时，y=4.
（1）求y与x之间的函数表达式.
（2）当y=5时，求x的值.
25．已知线段a，b，c，d是成比例线段，满足，其中a=12cm，b=4cm，c=6cm．求线段d的长度．
26．用长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是，设与墙垂直的一边长为．
（1）当时，矩形菜园面积是，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到？
27．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求DF的长．
28． 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展.某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为 4000 辆和 4840 辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同.
（1） 求该公司新能源汽车销量的月平均增长率.
（2） 已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理 250 辆汽车的交付任务.若该公司现有 20 名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工.
29．已知函数 ， ，当 时，函数 的最大值是 ，函数 的最小值是 ，求 和 的值.
30．从数学、语文、英语、计算机这四门课程中选出两门排在星期一上午第一、二两节课，数学和计算机不能排在一起，语文不能排在第一节，两节可以排同一门课程，求星期一上午有英语的概率．
31．某校趣味数学社团举办“读古算之书，承数理之魂”主题活动.活动现场，承载着千年智慧的《九章算术》(A)、《周髀算经》(B)、《孙子算经》(C)、《海岛算经》(D)在屏幕上循环闪现.参与者小亮和小华需各自随机点击屏幕一次，抽取一个代码，并依此代码参与后续环节.
（1）小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，共有几种不同的可能 (用列表法或树状图分析)
（2）求小亮和小华选到同一本书的概率.
32．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2-4ac>0的情况，她是这样做的：
由于，方程变形为：，.............................第一步，............第二步，...................第三步，...........第四步............................第五步
（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 .
（2）用配方法解方程：x2-2x-24=0.
33．某商品现在的售价为每件 元，每星期可卖出 件．市场调查反映：每降价 元，每星期可多卖出 件．已知商品的进价为每件 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 元的利润．应将售价定为每件多少元？
34．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑，白两种颜色的球共20只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.59 0.605 0.601
（1）请填出表中所缺的数据；
（2）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少 （精确到0.01）
（3）请据此推断袋中白球约有多少 只．
35．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由.
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由..
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
36．如图①所示的组合几何体，它的下面是一个长方体，上面是一个圆柱．
（1）图②和图③是它的两个视图，在横线上分别填写两种视图的名称（填“主”、“左”或“俯”）；
（2）根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的体积．（结果保留π）
37．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
38．商场将每件进价为90元的某种商品原来按每件110元出售，一天可售出100件．后经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．为使顾客尽可能得到实惠，当每件商品售价定为多少元时，商场经营该商品一天可获利2210元？
39．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
40．解方程：x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）；
41．阅读与思考
互为有理化的一对无理根的一元二次方程 我们知道，在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是有理数）中，当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为x1＝ ，x2＝ ．若 是一个无理数，则x1，x2也都是无理数，我们把x1和x2这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根． 例如：一元二次方程x2-3x+1＝0的两根为 ，x2＝____，它们就是互为有理化的一对无理根． 又如：方程x2＝7的两根 ， 也是互为有理化的一对无理根． 判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件： ①x1和x2是两个无理数；②x1 x2是一个有理数． 如： ， 是无理数， 且 ＝____． ∴x1，x2是互为有理化的一对无理根． 显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为 ，积为 ．
任务：
（1）填空：材料中的x2＝ ， x1 x2 ＝ ．
（2）求一元二次方程x2-x-5＝0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．
（3）若方程x2+px+q＝0的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为 ，直接写出方程x2+px+q＝0的另一根及p，q的值．
42．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为60平方米．两块绿地之间及周边留宽度相等的人行通道，请问人行道的宽度为多少米？
43．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6．在AD上取一点E，AE＝2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN；
（2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S关于x的函数解析式；
（3）请问：当x分别取何值时，△BFM的面积S取最大值、最小值？（提示：借助备用图）
44．如图，已知是边长为的正方形内的一点（不含边界），过点分别作，交各边于，连接．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为．
（1）若，求的值；
（2）若，求证：．
45．【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．
【问题提出】
在矩形中，，求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
46．对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：当时，；当时，k叫做点P的“斜值”．
（1）直接写出点的“斜值”k的值 ；
（2）若点的“斜值”，且，求点P的坐标；
（3）如图，正方形中，，，，若正方形的边上存在两个点的“斜值”为，直接写出m的取值范围．
47．已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值．
48．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，是的中点，是射线上的点，设．若，则称为勾股比．
（1）如图（1），过、分别作中线的垂线，垂足为、．求证：．
（2）①如图（2），当，且时， （填一个恰当的数）．
②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．
49．如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．
（1）小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形；
（2）求直线，曲线的函数表达式；
（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________．
50．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，点D，与反比例函数图象的其中一个交点为点，过点B作轴于点C．
（1）填空： _____，点B的坐标为_____，反比例函数的表达式为：_________．
（2）在第二象限反比例函数的图象上有一点P，且的面积为3，求点P的坐标．
（3）在x轴上是否存在一点M，使得以点M、A、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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【精选热题·期末50道解答题专练】北师大版数学九年级上册总复习
1．如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数．
【答案】解：∵矩形，
∴，
∵∠ABE=40°，
∴，
∵，
∴，
∴∠DEC=180°－∠AEB－∠BEC=180°－50°－65°=65°，
∴.
【解析】【分析】根据矩形的性质得，求得∠AEB和∠BEC的度数，利用平角的性质可得∠DEC的度数，再利用三角形两锐角互余的性质即可求得∠ECD的度数.
2．小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度．
【答案】解：如图，CD＝2m，BD＝21m，
∵，
∴DE＝1.5CD＝3，
∵，
∴AB＝＝16（m）．
答：旗杆的高度为16m．
【解析】【分析】根据比例关系得DE＝1.5CD＝3，然后再利用，计算求解即可.
3．如图所示，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.
（1）求的度数.
（2）求边的长度.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠C=∠C'=135°
∴∠B=360°-∠A-∠C-∠D=360°-60°-135°-96°=69°.
（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴得
解得.
【解析】【分析】（1）相似多边形对应角相等，由此得，∠C=∠C'=135°，所以进而根据四边形的内角和定理可求出∠B的度数；
（2）相似多边形对应边成比例，由此得，，从而代入计算可得答案.
4．如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？
【答案】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，
，
解得：（不合题意，舍去）
答：每条道路的宽为1米．
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的实际应用， 涉及矩形面积公式以及通过平移转化图形来简化问题的思想，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法．设道路的宽为，将种植草坪的部分通过评平移，可以拼成一个新的矩形，这个新矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合“草坪的面积为570”可列出方程：，解得：，因为矩形的宽为20米，35＞20，不符合实际情况，所以舍去x=35，故道路的宽为1米，由此可得出答案.
5．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）
（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；
（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，5）
（2）解：如图所示：△A2B2C2
【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案．
6．某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：．积土成山（物理变化）、．蜡炬成灰（化学变化）、．物腐虫生（化学变化）、．木已成舟（物理变化）．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．
试验次数 100 300 500 1000 2000
抽到卡片次数 30 70 126 251 500
抽到卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250
（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片的概率是______；
（2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到卡片为例，数据记录如表：根据以上数据，抽到卡片的频率越来越稳定于______（精确到0.01），所以该同学的说法______；（用“正确”或“错误”填空）
（3）小娜随机抽取一张卡片记录后，不放回，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率．
【答案】（1）
（2）0.25，错误；
（3）由题意，画出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种，
∴恰好在同一社团）．
【解析】【解答】（1）解：（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
故答案为：；
（2）根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25，所以该同学的说法错误；
故答案为：0.25，错误；
【分析】（1）由题意直接利用概率公式进行计算即可得出答案；
（2）利用频率估计概率，根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25即可判断；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小娜和小菲恰好在同一个社团的结果。再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
故答案为：；
（2）根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25，所以该同学的说法错误；
故答案为：0.25，错误；
（3）由题意，画出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种，
∴恰好在同一社团）．
7．如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，过A作 AF⊥DE，垂足为F．△DEC与△ADF相似吗？请说明理由．
【答案】解：相似．理由如下：
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴△DEC∽△ADF．
【解析】【分析】相似，根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断。
8．课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题．
（1）在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________；
（2）当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．
【答案】（1）
（2）解：设、、、分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
能够让灯泡发光的概率为：．
【解析】【解答】（1）解：所有等可能的情况有3种：，闭合；，闭合，，闭合，
其中小灯泡发光的情况有1种：，闭合，
则（小灯泡发光）；
故答案为：；
【分析】（1）根据题意得到所有等可能的情况数有3种，其中小灯泡发光的情况只有一种，再根据等可能事件的概率即可求解；
（2）设、、、分别用1、2、3、4表示，先根据题意画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，再根据等可能事件的概率即可求解。
（1）所有等可能的情况有3种：，闭合；，闭合，，闭合，
其中小灯泡发光的情况有1种：，闭合，
则（小灯泡发光）；
故答案为：；
（2）解：设、、、分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
能够让灯泡发光的概率为：．
9．解方程
以下是嘉嘉对该题的解答过程：
解：方程两边同时除以，得
第一步
第二步
第三步
（1）嘉嘉的解答过程从第 步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程.
【答案】（1）一
（2）解：原方程移项得：4（x-5）-（x-5）2=0，
分解因式（x-5）[4-（x-5）]=0，
即x-5=0或4-x+5=0，
所以x1=5，x2=9
【解析】【解答】解：（1）根据解一元二次方程的计算的步骤可知：
嘉嘉是第一步，
故答案为：一.
【分析】（1）根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
（2）根据因式分解法解答即可．
10．如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
（1）请问和有何数量关系，并说明理由；
（2）如图所示，在的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数．
【答案】（1）解：CF=CG，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°=∠DCG，
∴∠CDG+∠G=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∵AE∥DG，
∴∠G=∠AEB，
∴∠FBC=∠CDG，
在△BCF和△DCG中，
∴△BCF≌△DCG（ASA），
∴CF=CG，结论得证.
（2）解：连接EH，如图：
在正方形ABCD中，AD∥BC，即AD∥EG，
又∵AE∥DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AE=DG，AD=EG，
∵在正方形ABCD中，AD=BC，
∴BE=BC-EC=AD-EC=EG-EC=CG，
∵在矩形FCGH中，FH=CG，
∴FH=BE，
∵在矩形FCGH中，FH∥CG，即FH∥BE，
∴四边形BEHF是平行四边形，
∴BF=EH，
由（1）得△BCF≌△DCG，
∴BF=DG，
∴AE=EH，
∴∠EAH=∠EHA，
∵在平行四边形BEHF中，EH∥BF，
又BF⊥AE，
∴EH⊥AE，
∴∠AEH=90°，
∴∠EAH+∠EHA=90°，
∴∠EAH=∠EHA=45°，
∵AE∥DG，
∴∠AMD=∠EAH=45°.
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得BC=DC，∠BCD=∠DCG=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠CDG+∠G=90°，∠FBC+∠AEB=90°，根据两直线平行，同位角相等可得∠G=∠AEB，根据等角的余角相等可得∠FBC=∠CDG，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）连接EH，根据正方形的对边平行可得AD∥EG，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ADGE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AE=DG，AD=EG，根据正方形的四条边都相等和矩形的对边相等可推得BE=EH，结合正方形的对边平行和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEHF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BF=EH，根据全等三角形的对应边相等可得BF=DG，推得AE=EH，根据等边对等角可得∠EAH=∠EHA，根据平行四边形的对边平行和两直线平行，同位角相等可得∠AEH=90°，根据三角形内角和是180°可得∠EAH=∠EHA=45°，根据两直线平行，内错角相等即可求解.
11．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出20双，每双盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双．
（1）若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
（2）若商场每天要盈利1750元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？
【答案】解：（1）根据题意可得：20＋20×2=60(双)，
答： 商场平均每天可售出60双鞋子；
（2）设每双鞋子应降价a元，得(20＋2a)(50－a)=1750.
解得， a1=15，a2=25，
∵顾客要尽可能得到实惠，
∴a1=15舍去.
答：每双鞋子应降价25元.
【解析】【分析】（1）根据“每降价1元，商场平均每天可多售出2双”列出算式求解即可；
（2）设每双鞋子应降价a元，根据“总利润=每件利润×数量”和“商场每天要盈利1750元”列方程求解即可.
12．已知. 是完全平方式，求常数 n的值.
【答案】解：∵ 9x2+18（n-1）x+18n
=9[x2+2（n-1）x+2n]是完全平方式，
∴ （n-1）2=2n，
∴ n2-4n+1=0，
解得，n=2±，
∴，
∴ n的值为2±.
【解析】【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，根据完全平方式的特征可得（n-1）2=2n，再根据公式法解一元二次方程，即可求得.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．
【答案】解：四边形ADCE是菱形．理由如下：
∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴四边形ADCE是菱形．
【解析】【分析】首先判定四边形ADCE是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线的性质判定该平行四边形的邻边相等，即可证得四边形ADCE是菱形．
14．如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度为70m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m宽的小门．设栅栏BC的长为xm．
（1）AB= m(用含x的代数式表示)；
（2）若矩形围栏ABCD的面积为324，求栅栏BC的长．
【答案】（1）（72-3x）
（2）解：根据题意，得x(72-3x)=324，
解得x=18或x=6.
当x=18时，72-3x=72-3×18=18＜25，符合题意；
当x=6时，72-3.x=72-3×6=54＞25，不符合意，舍去。
答：栅栏 BC的长为18 m.
【解析】【解答】解： （1）AB=70+1×2-3x=（72-3x）米，
故答案为：（72-3x）．
【分析】 （1）根据"AB的长=栅栏的总长+两个1m宽的小门 -3个BC的长"求解；
（2）根据“矩形围栏ABCD面积为324平方米”，列出关于x的一元二次方程求解，并对各个解的实际意义验证后得出BC的长.
15．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
【答案】解：设每箱售价为x元，根据题意得： (x-40)[30+3(70-x)]=900 化简得：x -120x+3500=0 解得：x1=50或x2=70（不合题意，舍去） ∴ x=50 答：当每箱牛奶售价为50元时，平均每天的利润为900元
【解析】【分析】等量关系为：每箱的利润×销售量=900，设未知数，列方程求出方程的解，再根据要使顾客得到实惠确定出每箱的售价。
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
【答案】（1）解： 将点A坐标代入反比例函数解析式得，
所以反比例函数解析式为
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
所以点B的坐标为(
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
解得
所以一次函数解析式为
（2）解：由函数图象可知，当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即
所以当 x的取值范围是： 或
（3）解：连接AO，令直线AB与x轴的交点为M，
将 代入 得，
所以点M的坐标为(
所以
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对
称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点B和点C关于点O成中心对称，
所以
所以
【解析】【分析】(1)先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出m，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可.
(2)利用数形结合的数学思想即可解决问题.
(3)连接AO，根据反比例函数与正比例函数的对称性，将 的面积转化为 面积的2倍即可解决问题.
17．如图，在平面直角坐标系中．直线分别与x轴、y轴交于点A，B，与双曲线在第一象限交于点，以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在x轴正半轴上，顶点D在第三象限内．
（1）求k的值；
（2）求D的坐标，判断点D是否在双曲线的图象上，并说明理由．
【答案】解：（1）∵点在直线上，
∴．
解得．
∴点E的坐标为
∵点E在双曲线上，
∴，解得．
∴的值为6．
（2）在中，
当时，．
当，，解得．
∴点，，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵（轴轴），
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．即．
∴，
∴点的坐标为．
线段CD可以由线段AB向下平移2个单位，向右平移一个单位得到，可得点．
点D在双曲线的图象上，理由如下：
∵在中，
当时，．
∴点D在双曲线的图象上．
【解析】【分析】（1）把点E（n，3）代入可得关于n的方程，解方程求得n的值，然后用待定系数法即可求得k的值；
（2）先求得A、B点的坐标，根据矩形的性质，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABO∽△BCO，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得OC的值，然后根据平移的规律求得D的坐标，将D的坐标代入反比例函数解析式计算即可判断求解．
18．如图，点D在的边BC上，，，，求BD的长．
【答案】解：∵，，
∴．
又∵
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
19．某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年均增长率为多少？
【答案】解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得40（1＋x）2＝48.4
解方程得x1＝0.1＝10%，x2＝ 2.1（舍去）
所以该公司缴税的年平均增长率为10%.
【解析】【分析】设该公司缴税的年平均增长率为x，由题意可得去年缴税40(1+x)万元，今年缴税40(1+x)2万元，结合今年缴税48.4万元建立方程，求解即可.
20．如图，一次函数y=kx+(k为常数，k≠0)的图象与反比例函数y=(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A(1，n)，与x轴交于点B(-3，0)．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）将A(1，n) ，B(-3 ，0)分别代人一次函数y=kx+
得
解得
所以点A的坐标为(1，3)．
将点A(1，3)代人反比例函数y= 得=3，
解得m=3，
所以一次函数的表达式为y= ，反比例函数的表达式为y=
（2）解：(5，0)或( -8 ，0)或(2，0)．
【解析】【解答】解：（2）点P的坐标为(5，0)或(-8 ，0)或(2，0)．
解析：由(1)知，A(1，3)，B(-3，0) ，则AB= =5，
设P(a，0)，
当AB=AP时，5=
解得a=5或a=-3(舍去)，
故点P的坐标为(5，0)；
当AB=PB时，5=|-3-a|，
解得a=-8或a=2，
故点P的坐标为(-8，0)或(2，0)．
综上所述，符合条件的点P的坐标为(5，0)或( -8 ，0)或(2，0)．
【分析】（1）先把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式求出k、n的值，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值即可解答；
（2）设P（a，0），利用两点间的距离公式和勾股定理表示出AP、AB、BP的长，然后根据 △ABP是以AB为腰的等腰三角形 分两种情况讨论，列出方程，求解即可解答．
21．如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，于点E，于点F．
（1）判断的形状；
（2）求证：；
（3）线段CD与AB满足什么数量关系时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵CD垂直平分线AB，
∴．
∴是等腰三角形，
（2）解：∵，∴．
∵，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，∴；
（3）解：当时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴四边形ECFD是矩形，
∵，∴四边形ECFD是正方形．
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得出AC=CB即可说明三角形ABC是等腰三角形；
（2）先利用ASA证明与全等，再根据全等三角形的性质得出结论；
（3）先写出结论，再说明理由.先证明四边形ECFD是矩形，再说明它有一组邻边相等来证明它是正方形.
22．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：将A（﹣3，1），（-4，0）代入y＝kx+b，得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
将A（﹣3，1）代入，
解得m＝﹣3，
∴反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；
（2）解：∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，∴点D的坐标为（0，4），
由， 解得 或
∴点B的坐标为（﹣1，3），
∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD＝＝4；
（3）解：由图象可得：当x<0时，关于x的不等式 的 解集是x<-3或-1【解析】【分析】（1）利用待定系数法将已知点的坐标代入函数表达式，建立方程组即可求解；
（2）将两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据 △AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD 即可求解；
（3）根据直线y＝x+4与双曲线 的图象交点，由（2）得出点B的坐标为（﹣1，3）， 再结合点C(-4，0)的坐标即可得出结论.
23．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在课外活动中制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他完全相同，现放置于暗箱中摇匀．
（1）小物从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是 ；
（2）小化从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小化抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中小化抽取的两张卡片内容均为化学变化的结果只有2种.
即（A，D）和（D，A）
∴P（小化抽取的两张卡片内容均为化学变化）=2/12=1/6
【解析】【解答】
解：（1） 从四张卡片中随机抽取一张 ：P=
故答案为：
【分析】
（1）根据总数为四张卡片，抽取一张，由概率公式计算即可解答；
（2）画树状图得到共有12种等可能结果，其中小化抽取的两张卡片内容均为化学变化的结果只有2种，再根据概率公式计算即可解答.
24．已知y与x+2是反比例函数关系，且当x=3时，y=4.
（1）求y与x之间的函数表达式.
（2）当y=5时，求x的值.
【答案】（1）解：∵ y与x+2是反比例函数关系，
∴设y=，
∵ 当x=3时，y=4，
∴4=，解得K=20，
故y与x之间的函数表达式为：；
（2）解：由题意，把y=5代入（1）中的解析式：
，解得：x=2.
【解析】【分析】（1）设y=，由题意把x=3，y=4代入解析式可得关于k的方程，解方程可求解；
（2）由题意把y=5代入（1）中的解析式可得关于x的方程，解方程即可求解.
25．已知线段a，b，c，d是成比例线段，满足，其中a=12cm，b=4cm，c=6cm．求线段d的长度．
【答案】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段 ，且，
故将a=12，b=4，c=6代入可得：
，
解得：d=2，
∴.
【解析】【分析】根据，再把a、b、c、d的值代入，进行计算即可得出答案．
26．用长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是，设与墙垂直的一边长为．
（1）当时，矩形菜园面积是，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到？
【答案】（1）解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，符合题意．
答：x的值为8或20．
（2）解：令①，
整理得：．
，
方程①无实数根，
矩形菜园的面积不能达到．
【解析】【分析】（1）根据题意，矩形的长为（54-2x+2）m，根据矩形的面积公式建立方程，判断方程解的情况即可。
（2）列方程x（54-2x+2）=400，判断方程是否有解即可．
27．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：延长HF、AD交于G，如图：
由（1）知，，
∴，
∵，
∴四边形DCHG是矩形，
∴，，
∴，
在中，
，
∴DF的长是．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出，可得，再利用线段的和差及等量代换求出即可；
（2）延长HF、AD交于G，先证出四边形DCHG是矩形，可得，，利用线段的和差求出FG的长，再利用勾股定理求出DF的长即可.
28． 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展.某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为 4000 辆和 4840 辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同.
（1） 求该公司新能源汽车销量的月平均增长率.
（2） 已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理 250 辆汽车的交付任务.若该公司现有 20 名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工.
【答案】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据题意得，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去），
答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为
（2）解：∵每月新能源汽车销量的增长率相同，
∴六月份的新能源汽车销量为：，
∵每位员工每月处理250辆汽车的交付任务，现有20名负责交付的员工，
∴20名员工能完成的交付任务是：，
∴不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务
设需要增加m名员工，
由题意得：250（20+m）≥5324，
解得：m≥1.296，
∵m为正整数，
∴m的最小值为2，
∴至少需要增加2名员工，
答：该公司现有20名负责交付的员工，不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务，至少需要增加2名员工
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用.
（1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）求出今年六月份新能源汽车销量是5324辆，20名员工能完成的交付任务是5000辆，得出该公司现有20名负责交付的员工，不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务，再设需要增加m名员工，根据完成今年六月份的新能源汽车交付任务，列出一元一次不等式，解不等式即可．
29．已知函数 ， ，当 时，函数 的最大值是 ，函数 的最小值是 ，求 和 的值.
【答案】解：∵ ， ，
∴ 的值随 值的增大而减小， 的值随 值的增大而增大.
∴当 时， 的最大值为 ，
当 时， 的最小值为 .
∴ ，解得 .
∴ .
【解析】【分析】利用反比例函数的性质，结合已知条件可知：在每一个象限，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，因此分别求出x=2时的函数值，建立关于a的方程，解方程求出a，k的值.
30．从数学、语文、英语、计算机这四门课程中选出两门排在星期一上午第一、二两节课，数学和计算机不能排在一起，语文不能排在第一节，两节可以排同一门课程，求星期一上午有英语的概率．
【答案】解：设数学、语文、英语、计算机分别为A、B、C、D，列表得：
(C，D) (D，D)
(A，C) (C，C) (D，C)
(A，B) (C，B) (D，B)
(A，A) (C，A)
∴一共有10种情况，星期一上午有英语的有6种情况，
∴星期一上午有英语的概率为 ．
【解析】【分析】先列表求出 一共有10种情况，星期一上午有英语的有6种情况， 再计算求解即可。
31．某校趣味数学社团举办“读古算之书，承数理之魂”主题活动.活动现场，承载着千年智慧的《九章算术》(A)、《周髀算经》(B)、《孙子算经》(C)、《海岛算经》(D)在屏幕上循环闪现.参与者小亮和小华需各自随机点击屏幕一次，抽取一个代码，并依此代码参与后续环节.
（1）小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，共有几种不同的可能 (用列表法或树状图分析)
（2）求小亮和小华选到同一本书的概率.
【答案】（1）解：用树状图分析如下：
所以共有16 种可能的结果，
即AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD.
（2）解：小亮和小华选到同一本书的概率是
【解析】【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
32．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2-4ac>0的情况，她是这样做的：
由于，方程变形为：，.............................第一步，............第二步，...................第三步，...........第四步............................第五步
（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 .
（2）用配方法解方程：x2-2x-24=0.
【答案】（1）四；
（2）解：∵，
∴，即，
则，
∴，.
【解析】【解答】（1）在配方法推导求根公式的第四步，对开方时，应得到，嘉淇只取了正号，所以从第四步开始出错；根据完整推导，求根公式为
.
【分析】(1)配方法推导求根公式需严格遵循开方的双重性，体现数学运算的严谨性；求根公式是解一元二次方程的重要工具，其推导过程融合了转化思想（将二次方程转化为完全平方式 ）与分类讨论思想（考虑开方的正负情况 ），是后续学习二次函数与方程关系的基础
(2)解 x2-2x-24=0 ，先通过移项将常数项移到等号右边得，再在等式两边加上一次项系数一半的平方()进行配方，得到，然后对等式两边开平方，得到，最后分别求解得到.
33．某商品现在的售价为每件 元，每星期可卖出 件．市场调查反映：每降价 元，每星期可多卖出 件．已知商品的进价为每件 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 元的利润．应将售价定为每件多少元？
【答案】解：降价 元，则售价为 元，销售量为 件，
根据题意得， ，
解得 ， ，
又顾客得实惠，故取 ，即定价为 元
【解析】【分析】此题的等量关系为：降价后：每一件的利润×销售量=6080，设未知数列方程，解方程得出x的值，再根据顾客得实惠，确定出最后的售价。
34．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑，白两种颜色的球共20只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.59 0.605 0.601
（1）请填出表中所缺的数据；
（2）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少 （精确到0.01）
（3）请据此推断袋中白球约有多少 只．
【答案】解：（1）填表如下：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（2）答案为：0.60；
（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12（只）．
故答案为：0.58，484；0.60；12．
【解析】【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量=频率直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数；
35．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由.
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由..
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
【答案】（1）解：是等腰三角形，
理由如下：
是方程的根，
，
，
，即，
是等腰三角形；
（2）解：是直角三角形，
理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解：当是等边三角形时，，
原方程可化为，
，
解得：，．
【解析】【分析】（1）把代入原方程可得：，由此可知的数量关系为：，据此判断的形状；
（2）由题意可知方程有两个相等的实数根得到，即，化简可得：，由勾股定理的逆定理可判断三角形的形状；
（3）由是等边三角形可得，代入原方程，化简可得： ，即，解方程可得出答案．
36．如图①所示的组合几何体，它的下面是一个长方体，上面是一个圆柱．
（1）图②和图③是它的两个视图，在横线上分别填写两种视图的名称（填“主”、“左”或“俯”）；
（2）根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的体积．（结果保留π）
【答案】解：（1）如图所示：
（2）2×5×8+π×（2÷2）2×6
=80+π×1×6
=80+6π．
答：这个组合几何体的体积是80+6π．
【解析】【分析】（1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
（2）根据题目所给尺寸，计算出下面长方体体积+上面圆柱的体积即可求解．
37．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
【答案】（1）证明：，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根
（2）解：，
解得：，，
方程的“友好点”为
（3）解：由题意，∵直线，
∴过定点，∴两个根为，
∴，
∴
∴，即
【解析】【分析】（1）一元二次方程总有两个不相等的实数根，对应，只要证明根的判别式恒大于0即可，而该式化简为4>0，故得证；
（2）解这个一元二次方程得，，根据“友好点”定义得；
（3）将直线变形为，可知它过定点，故方程的两根为，由韦达定理可知，两式相除得4b+3c=0。
38．商场将每件进价为90元的某种商品原来按每件110元出售，一天可售出100件．后经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．为使顾客尽可能得到实惠，当每件商品售价定为多少元时，商场经营该商品一天可获利2210元？
【答案】解：设该商品每件降价元，商场一天可获利润2210元，
依题意，可得，
解得，
∵要使顾客尽可能得到实惠，
∴，
∴每件商品售价应定为（元），
答：商店经营该商品一天要获利润2210元，每件商品售价定为103元．
【解析】【分析】设该商品每件降价x元，根据题意列出方程(110-90-x)(100+10x)=2210，再求解即可。
39．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【答案】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x（1+x）=121，
∴x=10或x=﹣12（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人
【解析】【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染后患流感的有（1+x）人，这些人将成为新的传染源，第二轮被传染的人数为x（1+x）人，根据开始得感冒的人数加上第一轮被传染的人数+第二轮被传染的人数=患流感的总人数即可列出方程，求解并检验即可得出答案。
40．解方程：x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）；
【答案】解：方程整理得：x2+2x=9999，
配方得：x2+2x+1=10000，即（x+1）2=10000，
开方得：x+1=100或x+1=﹣100，
解得：x1=99，x2=﹣101；
【解析】【分析】方程利用配方法求出解即可．
41．阅读与思考
互为有理化的一对无理根的一元二次方程 我们知道，在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是有理数）中，当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为x1＝ ，x2＝ ．若 是一个无理数，则x1，x2也都是无理数，我们把x1和x2这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根． 例如：一元二次方程x2-3x+1＝0的两根为 ，x2＝____，它们就是互为有理化的一对无理根． 又如：方程x2＝7的两根 ， 也是互为有理化的一对无理根． 判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件： ①x1和x2是两个无理数；②x1 x2是一个有理数． 如： ， 是无理数， 且 ＝____． ∴x1，x2是互为有理化的一对无理根． 显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为 ，积为 ．
任务：
（1）填空：材料中的x2＝ ， x1 x2 ＝ ．
（2）求一元二次方程x2-x-5＝0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．
（3）若方程x2+px+q＝0的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为 ，直接写出方程x2+px+q＝0的另一根及p，q的值．
【答案】（1）；1
（2）解：∵Δ＝（-1）2-4×1×（-5）＝1+21＝22＞0，
∴一元二次方程x2-x-5＝0的两根为x1＝ ，x2＝ ，
∴该方程的两根是互为有理化的一对无理根．
（3）解：由题意可知，方程x2+px+q＝0的另一根是1- ，
∴-p＝1+ +1- ，q＝（1+ ）（1- ），
∴p＝-2，q＝-2．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
x2＝， x1 x2 ＝1
故答案为：，1
【分析】（1）根据二次方程的根与系数的关系即可求出答案.
（2）根据判别式，再根据求根公式即可求出答案.
（3）根据互为有理数的一对无理根的概念可求出方程x2+px+q＝0的另一根是1- ，再根据根与系数的关系即可求出答案.
42．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为60平方米．两块绿地之间及周边留宽度相等的人行通道，请问人行道的宽度为多少米？
【答案】解设人行道的宽度为 米，
根据题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴人行道的宽度为1米．
【解析】【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程，再进行求解即可得出答案．
43．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6．在AD上取一点E，AE＝2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN；
（2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S关于x的函数解析式；
（3）请问：当x分别取何值时，△BFM的面积S取最大值、最小值？（提示：借助备用图）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∵四边形EFMN是正方形，
∴∠FEN＝90°，EF＝EN，
∴∠AEF+∠DEN＝90°，
∴∠DEN＝∠AFE，
∴△FAE≌△EDN（AAS）；
（2）解：如图1，
连接NF，作MG⊥AB于G，
∴∠FGM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠D＝∠FGM，∠DNF＝∠BFN，
∵四边形EFMN是菱形，
∴EN＝FM，EN∥FM，
∴∠ENF＝∠MFN，
∴∠DNF﹣∠ENF＝∠BFN﹣∠MFN，
∴∠DNE＝∠MFG，
∴△EDN≌△MGF（AAS），
∴MG＝DE＝6﹣2＝4，
∴S；
（3）解：如图2，
当AF最小时，BF最大，S最大，此时EF最小，
当EF＝DE＝4时，EF最小，AF最小，
∴AF，
此时x＝9﹣2，
S最大＝18﹣24，
如图3，
当点M在BC上时，AF最大，S最小，
由EF＝FM得，
22+x2＝（9﹣x）2+42，
∴x，
∴S最小＝18﹣2．
【解析】【分析】（1）根据AAS即可证明 △FAE≌△EDN；
（2）连接NF，作MG⊥AB于G，根据AAS可证明△EDN≌△MGF，得出MG=DE=6-2=4，进一步根据三角形面积计算公式，即可得出S关于x的函数解析式；
（3）如图2，当AF最小时，BF最大，S最大，此时EF最小，当EF＝DE＝4时，EF最小，AF最小，可求得此时的最大值为4；当点M在BC上时，AF最大，S最小，可求得最小值为.
44．如图，已知是边长为的正方形内的一点（不含边界），过点分别作，交各边于，连接．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为．
（1）若，求的值；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：∵在正方形中，，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：过点作交的延长线于点，如图：
在正方形中，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
化简得：，
，
．
【解析】【分析】（1）先利用矩形的面积可得出，再得出，则可得答案；
（2）先证明，再根据全等三角形的性质得出，然后证明，根据全等三角形的性质得出，再证出，则可得出结论.
45．【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．
【问题提出】
在矩形中，，求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
【答案】解：方案一：连接，如图2．
∵四边形是矩形，
∴，，
由作图知，
由翻折的不变性，知，，，
∴，，又，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴线段的长为；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．
∵四边形是矩形，
∴，，
由作图知，
由旋转的不变性，知，，，
则，
∴共线，
由翻折的不变性，知，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴线段的长为．
【解析】【分析】 （1）方案一：连接， 由翻折不变性可得，，，根据HL证明，可得， 设，则，， 在中，利用勾股定理建立方程并解之即可；
（2）方案二：将绕点旋转至处，证明，从而推出， 设，则，， 在中， 利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
46．对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：当时，；当时，k叫做点P的“斜值”．
（1）直接写出点的“斜值”k的值 ；
（2）若点的“斜值”，且，求点P的坐标；
（3）如图，正方形中，，，，若正方形的边上存在两个点的“斜值”为，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：
．
．
．
．
或．
解得：，．
当时，；
时，．
所以点的坐标为或；
（3）解：-≤m≤-2或 -< m≤2
【解析】【解答】 (1)解：
∴k=
∴点P的“斜值"k的值为，
故答案为：.
(3) 当a≥b时，k=||=
当a>0时，b=a或b=-a；
当a<0时，b=a(当b=-1时，a=-2<-1=b，不合题意，舍去)，
即点P(a，b)在b=a或b=-a(a>0)上；
当a当a>0时，b=2a，
当a<0时，b=2a或b=-2a，
即点P(a，b)在b=2a(a>0)、b=2a或b=-2a(a<0)上，
∵：正方形ABCD中，A(m，1)， B(m，-1)， C(m+2，-1)，
∴D(m+2，1)， CD= AB=1-(-1)=2， AD= BC=1-(-1)=2，
①若a<0，
当b=1时，-2a=1， 解得 a=-， 如图，点D恰好在b=-2a上，
∵正方形ABCD的边上存在两个点的“斜值”为，
∴
解得： -≤m≤-2，
②若a>0，
当b=1时，a=1，解得： a=2，如图，点A恰好在b=a.上，
当b=1时，2a=1，解得： a=，
∵正方形ABCD的边上存在两个点的“斜值”为，
∴
解得： -< m≤2，
综上可得，m的取值范围是-≤m≤-2或 -< m≤2.
【分析】 (1)根据“斜值"的定义求解即可；
(2)根据“斜值"的定义得到结合b-a=2求解即可；
(3)本题运用了分类讨论的思想，难度较大，分a>0和a<0两种情况，结合题意画出图形是解题的关键．
47．已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意：四边形是菱形时，则，
方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：，
，
解得：，
，四边形是菱形，边长；
（2）解：根据题意得：，
解得：，则，
解得：，
的长为2，
，
平行四边形的周长是；
（3）解：，
方程的两个实数根分别为，
，，
，
解得：．
【解析】【分析】（1）因为菱形的两边是方程的两个实数根，可得出根的判别式，解方程可得m的值，即可得出原方程，进而解原方程。即可得出菱形的边长；
（2）的长为2， ，也就是方程的一个根为2，只需求出方程的另一个根，即可求得周长。
（3）把进行整理。可得出，再利用根与系数的关系，可得出，解方程即可求得m的值。
（1）解：根据题意：四边形是菱形时，则，
方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：，
，
解得：，
，四边形是菱形，边长；
（2）解：根据题意得：，
解得：，则，
解得：，
的长为2，
，
平行四边形的周长是；
（3）解：方程的两个实数根分别为，
，，
，
，
解得：．
48．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，是的中点，是射线上的点，设．若，则称为勾股比．
（1）如图（1），过、分别作中线的垂线，垂足为、．求证：．
（2）①如图（2），当，且时， （填一个恰当的数）．
②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①，是的中点，
，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：；
②成立，证明如下：
，是的中点，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先求出，，然后由全等三角形的判定“”证明，即可得；
（2）①根据等腰三角形“三线合一”以及直角三角形斜边上的中线性质得，，由，得，从而得，然后利用勾股定理得，进而得；
②先证明，由（1）的三角形全等可设，，则，，利用勾股定理得到，的值，于是求出，即可证明.
（1）证明：是的中点，
，
于点，交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②成立，
证明：如图（1），，是的中点，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
则，，
，
，
，
，
，
，
．
49．如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．
（1）小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形；
（2）求直线，曲线的函数表达式；
（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________．
【答案】（1）解：根据点A的坐标为，点B的坐标为，补全x轴和y轴，∵，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，
∴，，
根据，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，
（2）解：设线段的解析式为，把，代入得，
，
解得，，
∴，
设曲线的解析式为，
把代入得，，，
∴；
（3）
【解析】【解答】（3）设，则，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，或（舍去），
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查补全平面直角坐标系，画图形，一次函数，反比例函数，矩形面积。
（1）根据A的坐标为，点B的坐标为可补全平面直角坐标系，根据，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，据此可求出点C和D的坐标，进而可得，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分画图；
（2）设线段的解析式为，把，代入解析式可列出方程组，解方程组可求出k、b的值，据此可求出线段的解析式；再设曲线的解析式为，把代入，可列出方程，解方程可求出的值，据此可求出曲线的解析式；
（3）设，根据轴，，点P在上，点Q在上，用m的表达式写出点P、Q的坐标，利用两点间的距离公式可求出、的长的表达式，根据可列出方程，解方程可求出m的值，进而可求出的长．
50．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，点D，与反比例函数图象的其中一个交点为点，过点B作轴于点C．
（1）填空： _____，点B的坐标为_____，反比例函数的表达式为：_________．
（2）在第二象限反比例函数的图象上有一点P，且的面积为3，求点P的坐标．
（3）在x轴上是否存在一点M，使得以点M、A、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：∵点B作轴于点C．
∴点C的坐标为，
∴，
设点P的坐标是，其中，
∵的面积为3，
∴，
解得，
∴点P的坐标是；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
当点M与点C重合时，满足题意，此时点M的坐标是；
如图，当，点M在x轴上，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点D的坐标为，即，
∵，，点C的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴点M的坐标为，
综上可知，点M的坐标为或．
【解析】【解答】（1）解：把代入得到
，
解得，
∴，
把点代入得到
，
解得，
∴点，
把代入得到，
∴，
故答案为：，，
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入一次函数解析式可得，再将点B坐标点代入可得，再根据待定系数法将点B坐标点代入反比例函数解析式即可求出答案，
（2）根据垂直于x轴的直线上点的坐标特征可得，根据两点间距离可得AC，设点P的坐标是，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，分情况讨论：当点M与点C重合时，满足题意，此时点M的坐标是，当，点M在x轴上，根据相似三角形判定定理可得，则，根据x轴上点的坐标特征可得D(0，2)，根据两点间距离可得BC，AC，AO，再根据勾股定理可得AB，AD，代入等式可得AM，根据边之间的关系可得MO，即可得点M坐标，即可求出答案.
（1）解：把代入得到
，
解得，
∴，
把点代入得到
，
解得，
∴点，
把代入得到，
∴，
故答案为：，，
（2）解：∵点B作轴于点C．
∴点C的坐标为，
∴，
设点P的坐标是，其中，
∵的面积为3，
∴，
解得，
∴点P的坐标是；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
当点M与点C重合时，满足题意，此时点M的坐标是；
如图，当，点M在x轴上，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点D的坐标为，即，
∵，，点C的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴点M的坐标为，
综上可知，点M的坐标为或．
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