第15-16章（轴对称和整式的乘法 ） 期末复习强化试题 2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级上册期末复习

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第15-16章（轴对称和整式的乘法 ） 期末复习强化试题
2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级上册期末复习
一、单选题
1．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
6．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知，，那么代数式的值为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．70
8．在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学伟大的成就之一，被后世广泛运用，用“杨辉三角”可以解释的展开式的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第5行的5个数1，4，6，4，1，恰好对应着，等等．当是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式
，．下列结论中，正确的有（ ）
①当为关于x的三次三项式时，则；
②当多项式乘积不含时，则；
③；
④当能被整除时，；
⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则．
A．①③⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤
二、填空题
11．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
12．如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ．
13．如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．
14．如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ．
15．已知，，且，则
16．若的结果中不含x项与项，则代数式的值为 ．
17．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是 ．
三、解答题
18．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，求的长．
19．如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．在中，，，作等腰，使．
(1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示；
(2)如图，若与互补，过点作于点，求证：；
(3)若与的面积相等，则的度数为多少？
21．等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接．
(1)如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o；
(2)过点D作交于点G，连接交于点F．
①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度．
22．(1)计算：．
(2)利用平方差公式进行简便运算：．
23．先化简，再求值：，其中．
24．学校原有一块长为、宽为的长方形场地，现因校园建设需要，将场地的长减少了，宽增加了．
(1)建设前场地的面积为______，建设后场地的面积为______．（用含a，b的代数式表示）
(2)已知建设后场地的面积增加了．
①求的值；
②若，求建设前场地的面积．
25．先阅读下面的材料，再解答问题：
已知，求的值．
分析：由无法求出x，y的值，故考虑用整体思想，将整体代入．
解：
．
问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值．
26．【阅读理解】若x满足，求的值．
解：设，则，．
我们把这种方法叫作换元法，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
(1)若x满足，则______．
(2)若x满足，求的值，
(3)如图，在长方形中，，E，F分别是边上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A B B D A B D
1．B
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
连接，依据垂直平分线的性质可得，从而得到，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，所以，根据直角三角形性质可得的度数，根据轴对称的性质可得的度数．
【详解】解：连接，
∵点B关于的对称点E恰好落在上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴．
故选B．
2．C
【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）以及三角形内角和定理，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到等角关系，再结合三角形内角和与已知角度建立等式求解．
由、分别垂直平分、得、故设根据三角形内角和可知；结合，联立方程求出的度数．
【详解】解：∵垂直平分垂直平分
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
∴（等边对等角）．
设．
在 中，（三角形内角和定理），
即①．
∵，且
∴②．
将①中代入②，得，
即，
解得．
故选：B．
4．A
【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，
根据题意设，则，，然后根据等边三角形的性质得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵
∴设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
∴
∴的形状是等腰三角形．
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键．
由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴
同理可得：，，
∴．
故选B．
6．B
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ①证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由，可得，即，即可判断②正确；③作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③正确；④由，得出．由③得，，．则．所以．，即可判断结论④错误．
【详解】解：是等边三角形，
，．
．
在和中，
，
，．
，
．
，
．
，
；故①正确．
，
，即．
，
．
，
；故②正确．
③如图，作的平分线交于点K，则，
，
．
，即．
，
．
是等边三角形．
．
在和中，
．
．
．
；故③正确．
，
，，．
由③得，，
．
．
．
．
．
．
，故④错误．
故正确的有，3个，
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查代数式求值，因式分解，先把代数式因式分解，再代入求值，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．
设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：设，则，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”得出的各项系数，然后考虑符号计算即可，理解题意中的“杨辉三角”是解题的关键．
【详解】解：结合“杨辉三角”可得：的各项系数（不考虑符号）为，，，，，，，，，字母因式为：，，，，
∴的系数为，
故选：．
10．D
【分析】本题考查了整式的加减与乘法，求出，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，从而得到，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数，为关于的三次三项式，此时，故说法①正确；
∵多项式乘积不含，
∴，解得：，故说法②错误；
当时，，
即，
当时，，
即，
∴，故③说法正确；
∵能被整除，
∴可设，
∵
∴，
即，
∴，
∴，故④说法正确；
当时，，
当时，，
∵当或时，无论和取何值，值总相等，
∴且，
解得：，故⑤说法正确；
故选：D．
11．18
【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，则点D到边和的距离相等，进而可得的面积为6，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点
由作图过程可知，为的平分线，
，
，
，
的面积是
故答案为：
12．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，过A作于H，过D作于E，过A于F，则四边形是长方形，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解．
【详解】解∶如图，过A作于H，过D作于E，过点A作于F，
则四边形是长方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵以为斜边作等腰直角，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
13．1
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
过作交于，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，利用可证得，于是可得，进而可推出，于是得解．
【详解】解：如图，过作交于，
是等边三角形，
，
，
，，，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．/95度
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数．
【详解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了本题主要考查了完全平方公式、整体代入法求代数式的值，首先根据，可得：，从而可得：，根据可得：，从而可得：，所以可求．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．0
【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算－化简求值，利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值，再化简代数式，然后代入求解即可，掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵的积中不含项与项，
∴，，
∴，，
∴
；
17．a=2b
【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系．
【详解】如下图
则空白部分的面积+
化简得：
∵
∴
化简得：=0
∴a=2b
故答案为：a=2b．
【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出和的面积．
18．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
又平分，
，
又在和中
，
，
，
为等腰三角形；
（2）如图，连接，
平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
又中，，
，
，
．
．
19．(1)证明过程见解析
(2)的长为
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
（1）由角平分线的性质可得线段长度相等，结合已知可证得，对应角相等，即可证得结论；
（2）在边上截取，可证得，对应边相等，结合已知可得等边三角形，等量代换，代入已知条件计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图，在边上取一点，使得．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
∴．
20．(1)
(2)见解析
(3)若与的面积相等，则的度数为或
【分析】（1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，根据与互余得，再根据即可得出答案；
（2）过点作于点，根据等腰三角形性质，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出结论；
（3）依题意有以下两种情况：当与都是锐角三角形时，过点作于点，过点作于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，即当是锐角三角形，是钝角三角形时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，再根据得，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
，
与互余，
，
，
故答案为：；
（2）证明：过点作于点，如图所示：
在中，，
，
，
在中，，
在中，于点，
，
与互补，
，
，
即，
，
于点于点，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）若与的面积相等，则的度数为或，理由如下：
依题意有以下两种情况：
当与都是锐角三角形时，
过点作于点，过点作于点，如图所示：
，
，
与的面积相等，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即；
当是锐角三角形，是钝角三角形时，
过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
，
与的面积相等，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即
，
，
综上所述：若与的面积相等，则的度数为或．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，列代数式，余角和补角，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，余角和补角定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形，分类讨论是解决问题的难点．
21．(1)15
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点．
（1）由折叠的性质，由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解；
（2）①延长交于点N，证明为等边三角形，再证明，即可得线段和之间的数量关系；
②连接，取中点P，连接，则当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，即可求得长度．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，，
∴，
∴，
由折叠性质得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15；
（2）①，理由如下：
如图，延长交于点N，
设，
由折叠性质得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴；
②如图，连接，取中点P，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合，
∵P、H分别是的中点，
∴．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂的运算法则，先分别计算每一项，然后将计算结果进行加减运算，即可解决该幂的混合运算问题．
（2）根据平方差公式的形式特征，得到符合平方差公式的式子，利用平方差公式计算，即可解决该简便运算问题．
【详解】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查幂的运算和平方差公式的应用，对于幂的运算部分，掌握幂的运算法则，准确进行每一步运算；对于平方差公式应用部分，掌握将数转化为和形式的技巧，从而利用平方差公式简化计算．
23．，
【详解】解：原式．
当时，
原式．
24．(1)；
(2)①②建设前场地的面积是
【详解】解：（1）
（2）①由题意，得，
，
．
②，
，
即．
，
．
故建设前场地的面积是．
25．(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据单项式乘多项式的运算法则、积的乘方法则把原式变形，代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
当时，
原式．
（2）解：，
，
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查整式的乘法、积的乘方运算、整体代入思想，掌握单项式乘多项式的法则，并能整体代入是解题的关键．
26．(1)15
(2)
(3)
【详解】解：（1）15
（2）设，则．
，
，
，
．
（3）由题意，得．
设，
．
长方形的面积为，
，
图中阴影部分的面积和．
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