浙江省金华市第四中学2025--2026学年上学期9月九年级开学考数学试题
1．（2025九上·金华开学考）已知，则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·金华开学考）将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025九上·金华开学考）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2025九上·金华开学考）已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·金华开学考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·金华开学考）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
7．（2025九上·金华开学考）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2025九上·金华开学考）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·金华开学考）如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A作于点H，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九上·金华开学考）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025九上·金华开学考）九年级一班计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“”“豆包”三个主题，若小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是 ．
12．（2025九上·金华开学考）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x 3 4 5 6 7 8 …
y m …
则表格中m的值是 ．
13．（2025九上·金华开学考）如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为
14．（2025九上·金华开学考）如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
15．（2025九上·金华开学考）已知二次函数在时有最小值，则 ．
16．（2025九上·金华开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE=2BE，则的值为 ．
17．（2025九上·金华开学考）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
18．（2025九上·金华开学考）如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
19．（2025九上·金华开学考）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
20．（2025九上·金华开学考）在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上．
（2）在图2的网格中作出与相似的最小格点．
21．（2025九上·金华开学考）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
22．（2025九上·金华开学考）如图，四边形内接于为的直径，且．
（1）试判断的形状，并给出证明．
（2）若．
①求线段的长．
②求的值．
23．（2025九上·金华开学考）抛物线的图象如图．
（1）若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围．
（2）在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值．
（3）若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由．
24．（2025九上·金华开学考）已知为的直径，，C为上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，，．
（1）如图1，当C为的三等分点，且时， ．
（2）如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围．
（3）如图3，若，延长交于点E，在上取一点F，使得．
①求的值；
②连接，记，直接写出d的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由 可得xy=12，故A错误，
B、由 可得4x=3y，故B正确，
C、由 可得3x=4y，故C错误，
D、由 可得3x=4y，故D错误，
故答案为：B．
【分析】根据比例的性质即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是.
故答案为：C．
【分析】根据抛物线平移的规律“x值左加右减，函数值上加下减”进行求解即可得答案．
3．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，OP>5cm，结合选项即可判断求解。
4．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：圆内接四边形对角互补，
，
：：：：，
设，．
，
解得．
．
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形对角互补得出∠A+∠C=180°，然后结合题目给出的∠A与∠C的角度比例求解即可．
5．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据题意可知，，AB=10，
∴AP=AB=×10=（）cm，
故答案为：A．
【分析】根据黄金分割的定义即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，
∴有4种情况：
1.共4个红球摸3个至多有3个红球；
2.只有2个黑球，摸3个则至少有1个红球；
3.只有2个黑球，摸3个则至多有2个黑球；
4.有4个红球与2个黑球，摸3个则至少有0个黑球，
A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；
B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；
D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
故选：C．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可．
7．【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者，
∴跳跃高度与自己身高的比值可以构造正比例函数，根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大进行判断，
如图，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故选：A．
【分析】把跳跃高度与自己身高的比值构造出正比例函数，再根据正比例函数的性质解答即可．
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】根据题意P=，
∴如图所示，
∵圆心角为的扇形
∴，
∵在等腰Rt中，
∴
∴，
∴该粒米落在扇形内的概率为．
故选：D．
【分析】根据题意得P=，由圆心角为的扇形，，求出扇形的半径，然后分别求出和代入即可．
9．【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：根据旋转可知，AE=AF，∠EAF=90°，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∵AH⊥EF，
∴EH=FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECF=∠ADE=90°，
∴CH=EF，
∵DA=3，DE=1，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得，AE==，
在Rt△AEF中，由勾股定理可得，EF==，
在Rt△CEF中，，
故答案为：D.
【分析】根据旋转可知，AE=AF，∠EAF=90°，进而得出EH=FH，由正方形的性质可得∠ECF=∠ADE=90°求得CH=EF，再根据勾股定理求得EF，最后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：∵点在抛物线上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选：A．
【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可知从三个主题中随机选择一个主题，共有3种等可能结果，其中符合题意的有1种，
∴他恰好选中“”的概率是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可．
12．【答案】
【知识点】二次函数的对称性及应用；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：由x=5，y=41，x=7，y=41得抛物线的对称轴为：直线，
∴x=8与x=4的y值相等，
∴，
故答案为：；
【分析】由x=5，y=41，x=7，y=41得对称轴为：直线，再利用对称性进行作答，即可求解．
13．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴．
∵的面积是面积的9倍，
∴与的相似比为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由位似可得，，则，再根据与面积比得到相似比为，则，然后问题可求解．
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形的边长为，
∴，
∴阴影部分是以AB为半径，圆心角的扇形，
∴面积=；
故答案为．
【分析】由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解．
15．【答案】3或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
∵此二次函数在-2≤x≤2时，有最小值-2，
∴①当m＜0时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∴时，有最小值，
解得：；
②当m＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，
∴时，有最小值，
解得：；
故答案为：或3．
【分析】先将二次函数的一般式化为顶点式，求出对称轴，分m＜0和m＞0，两种情况讨论即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，设AE与DF交于点N，BH与CF交于点P，CG与DF交于点Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴PH为的中位线，
∴，，
∵四边形EPFN是正方形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设AE与DF交于点N，BH与CF交于点P，CG与DF交于点Q，先利用“ASA”证出，可得，，再求出，利用勾股定理求出CH的长，可得，最后求出即可.
17．【答案】（1）解：∵a：b：c=3：2：6，
∴设a=3k，b=2k，c=6k，
又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
∴a=6，b=4，c=12
（2）解：∵x是a、b的比例中项，
∴x2=ab，
∴x2=4×6，
∴x=2 或x=﹣2 （舍去），
即x的值为2
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）根据等比的性质，可设a=3k，b=2k，c=6k，则3k+2×2k+6k=26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2=ab，然后代入计算即可求解．
18．【答案】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
又，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义证明，再根据相似三角形的判定定理证得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例可求解．
（1）证明：∵是的角平分线，
∴，又，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
19．【答案】（1）B
（2）列表法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
用表格列举出所有可能出现的结果．
X Y Z W
X
Y
Z
W
由表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即。
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）．
树状图法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
依据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即（Z，W），（W，Z）．分
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，
故选：B；
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据列表法或树状图可得所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题.
20．【答案】（1）解：如图1，即为所求．
（2）解：如图2，即为所求．
【知识点】作图﹣相似变换；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用平行和相似比为1：2，结合相似三角形的判定与性质画图即可．
（2）作三条边长分别为1，1，的三角形即可．
（1）解：如图1，即为所求．
（2）解：如图2，即为所求．
21．【答案】解：（1）根据题意可知，点A在啊抛物线上，
∵点A在y轴上，
∴点A的横坐标为0，
将x=0时，y==，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高OA为m；
（2）根据题意可知，OC=OD，点D在抛物线y=上，
当y=0时，=0，
解得：x=11，或x=-1（不符合题意，舍去），
∴OD=11m，
∴CD=2OD=22m，
答：落水点C，D之间的距离为11米；
（3）顶部F不会碰到水柱，
理由：∵EF⊥OD，OE=10m，EF=1.8m，
∴当x=10时，y==＞1.8，
答：顶部F不会碰到水柱.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据题意，将，代入求解即可；
（2）根据题意可知，OC=OD，令y=0，求得OD的值，根据二次函数的对称性即可求得CD的长；
（3）根据函数解析式，求得的函数值，再与的长进行比较即可得出答案．
22．【答案】（1）解：是等腰直角三角形，
理由为：∵是圆的直径，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：①∵ AB=，
∴ AC=2，
∵ ∠ADC=90°，AD=1，
∴ DC=；
②如图，过点作于点，
∴ EF为△ACD的中位线，
∴ EF=DC=，
，
，
是等腰直角三角形，
=，
，
，
∴ sin∠CAD=，
∴ AE=1，
．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得∠ABC为90°，根据弧与圆周角之间的关系可推出∠ACB=∠BAC，即可判断△ABC为等腰直角三角形；
（2）① 根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得AC，再根据勾股定理即可求得DC；
② 过点作于点，根据三角形的中位线可得EF=DC，根据等腰直角三角形和勾股定理可得DE=，根据锐角三角形中余弦函数值求得∠CAD=60°，进而求得AE=1，即可求得的值.
（1）解：是等腰直角三角形，理由为：
∵是圆的直径，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：①∵，
∴，
，
∵为的直径，
，
；
②如图，过点作于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：∵如图抛物线与y轴的交点为，
∴当时，
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，由对称性可得，
时，
∴综上所述，当时，x的取值范围为或
（2）解：∵在函数图象上且y值相等为-2025，
∴点M与点N关于直线对称
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：当时，函数的值
（3）解：函数值与解析式中的系数c有关，
理由：∵两点，由(2)可知，
两点关于对称轴直线对称，
∴，
∴，
∴当时，时，，
即函数值与解析式中的系数c有关
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；含字母系数的二次函数
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，x的取值范围为或；
（2）根据已知条件得到点M与点N关于直线对称，求得，当时，函数的值；
（3）由点，得到两点关于对称轴直线对称，求得，当时，代入解析式进行求解即可．
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，
∴点关于直线的对称点为，
∴当时，x的取值范围为或；
（2）解：∵，
∴点M与点N关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：当时，函数的值；
（3）解：函数值与解析式中的系数c有关，
理由：∵两点，
∴这两点关于对称轴直线对称，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
即函数值与解析式中的系数c有关．
24．【答案】（1）2
（2）解：∵将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，
∴，，
∵，，
∴．
为的直径，
，
∴，
，
∴，
，
∵，
．
∴
∵点C在半径上（点C不与点O重合），
∴，
∴，
∴，
∴y与x之间的关系式为；
（3）解：①连接，如图，
为的直径，
，
∵在内，是所对圆周角，
∴，
∴在Rt中，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②d的最小值为：.
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：过点D作于点E，如图，
∴．
为的三等分点，且，
∴．
故答案为：2；
（3）②连接，取的中点M，连接，，过点M作于点N，如图，
由（3）①知：，
∴，
为的中点，
∴在Rt中，
，
∵，，
∴，
，
．
∵，
∴当点M，F，B在一条直线上时，取得最小值．
∵，
∴d的最小值为．
【分析】（1）过点D作于点E，利用已知条件得到，再利用同高三角形面积之间的关系就是对应底之间的关系求解即可；
（2）由旋转性质得，，则，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB=90°，结合公共角∠A，从而根据有两组角相等的三角形相似得出△ADB∽△ACB'，由相似三角形对应边成比例得，则y与x的函数关系式可求，利用，结合x的取值范围即可得出y的取值范围；
（3）①连接，由直径所对的圆周角为直角得∠AEB=90°，由同弧所对的圆周角相等得∠BDC=∠EAB=60°，由含30°角直角三角形的性质得到，利用已知条件得到，从而根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△AEF∽△ABD，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出答案；
②连接BE，取AE的中点M，连接FM，BM，过点M作MN⊥AB于点N，利用相似三角形对应角相等得∠AFE=∠ADB=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AM=2，利用∠MAN的正弦函数求出MN，利用勾股定理求得BM，利用三角形的三边关系定理得到，则当点M，F，B在一条直线上时，BF取得最小值，可得答案.
（1）解：过点D作于点E，如图，
为的三等分点，且，
∴．
∴．
故答案为：2；
（2）解：由旋转的性质得：，，
∵，
∴．
为的直径，
，
∴，
，
∴，
，
∵，
∴y与x之间的关系式为．
∵点C在半径上（点C不与点O重合），
∴，
∵，
∴．
（3）解：①连接，如图，
为的直径，
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②连接，取的中点M，连接，，过点M作于点N，如图，
由（3）①知：，
∴，
为的中点，
∴，
∵，，
∴，
，
．
∵，
∴当点M，F，B在一条直线上时，取得最小值．
∵，
∴d的最小值为．
1 / 1浙江省金华市第四中学2025--2026学年上学期9月九年级开学考数学试题
1．（2025九上·金华开学考）已知，则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由 可得xy=12，故A错误，
B、由 可得4x=3y，故B正确，
C、由 可得3x=4y，故C错误，
D、由 可得3x=4y，故D错误，
故答案为：B．
【分析】根据比例的性质即可得出答案.
2．（2025九上·金华开学考）将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是.
故答案为：C．
【分析】根据抛物线平移的规律“x值左加右减，函数值上加下减”进行求解即可得答案．
3．（2025九上·金华开学考）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，OP>5cm，结合选项即可判断求解。
4．（2025九上·金华开学考）已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：圆内接四边形对角互补，
，
：：：：，
设，．
，
解得．
．
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形对角互补得出∠A+∠C=180°，然后结合题目给出的∠A与∠C的角度比例求解即可．
5．（2025九上·金华开学考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据题意可知，，AB=10，
∴AP=AB=×10=（）cm，
故答案为：A．
【分析】根据黄金分割的定义即可得出答案.
6．（2025九上·金华开学考）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，
∴有4种情况：
1.共4个红球摸3个至多有3个红球；
2.只有2个黑球，摸3个则至少有1个红球；
3.只有2个黑球，摸3个则至多有2个黑球；
4.有4个红球与2个黑球，摸3个则至少有0个黑球，
A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；
B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；
D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
故选：C．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可．
7．（2025九上·金华开学考）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者，
∴跳跃高度与自己身高的比值可以构造正比例函数，根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大进行判断，
如图，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故选：A．
【分析】把跳跃高度与自己身高的比值构造出正比例函数，再根据正比例函数的性质解答即可．
8．（2025九上·金华开学考）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】根据题意P=，
∴如图所示，
∵圆心角为的扇形
∴，
∵在等腰Rt中，
∴
∴，
∴该粒米落在扇形内的概率为．
故选：D．
【分析】根据题意得P=，由圆心角为的扇形，，求出扇形的半径，然后分别求出和代入即可．
9．（2025九上·金华开学考）如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A作于点H，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：根据旋转可知，AE=AF，∠EAF=90°，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∵AH⊥EF，
∴EH=FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECF=∠ADE=90°，
∴CH=EF，
∵DA=3，DE=1，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得，AE==，
在Rt△AEF中，由勾股定理可得，EF==，
在Rt△CEF中，，
故答案为：D.
【分析】根据旋转可知，AE=AF，∠EAF=90°，进而得出EH=FH，由正方形的性质可得∠ECF=∠ADE=90°求得CH=EF，再根据勾股定理求得EF，最后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案.
10．（2025九上·金华开学考）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：∵点在抛物线上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选：A．
【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
11．（2025九上·金华开学考）九年级一班计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“”“豆包”三个主题，若小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可知从三个主题中随机选择一个主题，共有3种等可能结果，其中符合题意的有1种，
∴他恰好选中“”的概率是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可．
12．（2025九上·金华开学考）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x 3 4 5 6 7 8 …
y m …
则表格中m的值是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的对称性及应用；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：由x=5，y=41，x=7，y=41得抛物线的对称轴为：直线，
∴x=8与x=4的y值相等，
∴，
故答案为：；
【分析】由x=5，y=41，x=7，y=41得对称轴为：直线，再利用对称性进行作答，即可求解．
13．（2025九上·金华开学考）如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴．
∵的面积是面积的9倍，
∴与的相似比为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由位似可得，，则，再根据与面积比得到相似比为，则，然后问题可求解．
14．（2025九上·金华开学考）如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形的边长为，
∴，
∴阴影部分是以AB为半径，圆心角的扇形，
∴面积=；
故答案为．
【分析】由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解．
15．（2025九上·金华开学考）已知二次函数在时有最小值，则 ．
【答案】3或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
∵此二次函数在-2≤x≤2时，有最小值-2，
∴①当m＜0时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∴时，有最小值，
解得：；
②当m＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，
∴时，有最小值，
解得：；
故答案为：或3．
【分析】先将二次函数的一般式化为顶点式，求出对称轴，分m＜0和m＞0，两种情况讨论即可得出答案.
16．（2025九上·金华开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE=2BE，则的值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，设AE与DF交于点N，BH与CF交于点P，CG与DF交于点Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴PH为的中位线，
∴，，
∵四边形EPFN是正方形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设AE与DF交于点N，BH与CF交于点P，CG与DF交于点Q，先利用“ASA”证出，可得，，再求出，利用勾股定理求出CH的长，可得，最后求出即可.
17．（2025九上·金华开学考）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：∵a：b：c=3：2：6，
∴设a=3k，b=2k，c=6k，
又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
∴a=6，b=4，c=12
（2）解：∵x是a、b的比例中项，
∴x2=ab，
∴x2=4×6，
∴x=2 或x=﹣2 （舍去），
即x的值为2
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）根据等比的性质，可设a=3k，b=2k，c=6k，则3k+2×2k+6k=26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2=ab，然后代入计算即可求解．
18．（2025九上·金华开学考）如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
又，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义证明，再根据相似三角形的判定定理证得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例可求解．
（1）证明：∵是的角平分线，
∴，又，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
19．（2025九上·金华开学考）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
【答案】（1）B
（2）列表法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
用表格列举出所有可能出现的结果．
X Y Z W
X
Y
Z
W
由表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即。
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）．
树状图法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
依据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即（Z，W），（W，Z）．分
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，
故选：B；
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据列表法或树状图可得所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题.
20．（2025九上·金华开学考）在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上．
（2）在图2的网格中作出与相似的最小格点．
【答案】（1）解：如图1，即为所求．
（2）解：如图2，即为所求．
【知识点】作图﹣相似变换；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用平行和相似比为1：2，结合相似三角形的判定与性质画图即可．
（2）作三条边长分别为1，1，的三角形即可．
（1）解：如图1，即为所求．
（2）解：如图2，即为所求．
21．（2025九上·金华开学考）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【答案】解：（1）根据题意可知，点A在啊抛物线上，
∵点A在y轴上，
∴点A的横坐标为0，
将x=0时，y==，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高OA为m；
（2）根据题意可知，OC=OD，点D在抛物线y=上，
当y=0时，=0，
解得：x=11，或x=-1（不符合题意，舍去），
∴OD=11m，
∴CD=2OD=22m，
答：落水点C，D之间的距离为11米；
（3）顶部F不会碰到水柱，
理由：∵EF⊥OD，OE=10m，EF=1.8m，
∴当x=10时，y==＞1.8，
答：顶部F不会碰到水柱.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据题意，将，代入求解即可；
（2）根据题意可知，OC=OD，令y=0，求得OD的值，根据二次函数的对称性即可求得CD的长；
（3）根据函数解析式，求得的函数值，再与的长进行比较即可得出答案．
22．（2025九上·金华开学考）如图，四边形内接于为的直径，且．
（1）试判断的形状，并给出证明．
（2）若．
①求线段的长．
②求的值．
【答案】（1）解：是等腰直角三角形，
理由为：∵是圆的直径，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：①∵ AB=，
∴ AC=2，
∵ ∠ADC=90°，AD=1，
∴ DC=；
②如图，过点作于点，
∴ EF为△ACD的中位线，
∴ EF=DC=，
，
，
是等腰直角三角形，
=，
，
，
∴ sin∠CAD=，
∴ AE=1，
．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得∠ABC为90°，根据弧与圆周角之间的关系可推出∠ACB=∠BAC，即可判断△ABC为等腰直角三角形；
（2）① 根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得AC，再根据勾股定理即可求得DC；
② 过点作于点，根据三角形的中位线可得EF=DC，根据等腰直角三角形和勾股定理可得DE=，根据锐角三角形中余弦函数值求得∠CAD=60°，进而求得AE=1，即可求得的值.
（1）解：是等腰直角三角形，理由为：
∵是圆的直径，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：①∵，
∴，
，
∵为的直径，
，
；
②如图，过点作于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
23．（2025九上·金华开学考）抛物线的图象如图．
（1）若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围．
（2）在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值．
（3）若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由．
【答案】（1）解：∵如图抛物线与y轴的交点为，
∴当时，
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，由对称性可得，
时，
∴综上所述，当时，x的取值范围为或
（2）解：∵在函数图象上且y值相等为-2025，
∴点M与点N关于直线对称
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：当时，函数的值
（3）解：函数值与解析式中的系数c有关，
理由：∵两点，由(2)可知，
两点关于对称轴直线对称，
∴，
∴，
∴当时，时，，
即函数值与解析式中的系数c有关
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；含字母系数的二次函数
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，x的取值范围为或；
（2）根据已知条件得到点M与点N关于直线对称，求得，当时，函数的值；
（3）由点，得到两点关于对称轴直线对称，求得，当时，代入解析式进行求解即可．
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，
∴点关于直线的对称点为，
∴当时，x的取值范围为或；
（2）解：∵，
∴点M与点N关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：当时，函数的值；
（3）解：函数值与解析式中的系数c有关，
理由：∵两点，
∴这两点关于对称轴直线对称，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
即函数值与解析式中的系数c有关．
24．（2025九上·金华开学考）已知为的直径，，C为上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，，．
（1）如图1，当C为的三等分点，且时， ．
（2）如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围．
（3）如图3，若，延长交于点E，在上取一点F，使得．
①求的值；
②连接，记，直接写出d的最小值．
【答案】（1）2
（2）解：∵将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，
∴，，
∵，，
∴．
为的直径，
，
∴，
，
∴，
，
∵，
．
∴
∵点C在半径上（点C不与点O重合），
∴，
∴，
∴，
∴y与x之间的关系式为；
（3）解：①连接，如图，
为的直径，
，
∵在内，是所对圆周角，
∴，
∴在Rt中，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②d的最小值为：.
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：过点D作于点E，如图，
∴．
为的三等分点，且，
∴．
故答案为：2；
（3）②连接，取的中点M，连接，，过点M作于点N，如图，
由（3）①知：，
∴，
为的中点，
∴在Rt中，
，
∵，，
∴，
，
．
∵，
∴当点M，F，B在一条直线上时，取得最小值．
∵，
∴d的最小值为．
【分析】（1）过点D作于点E，利用已知条件得到，再利用同高三角形面积之间的关系就是对应底之间的关系求解即可；
（2）由旋转性质得，，则，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB=90°，结合公共角∠A，从而根据有两组角相等的三角形相似得出△ADB∽△ACB'，由相似三角形对应边成比例得，则y与x的函数关系式可求，利用，结合x的取值范围即可得出y的取值范围；
（3）①连接，由直径所对的圆周角为直角得∠AEB=90°，由同弧所对的圆周角相等得∠BDC=∠EAB=60°，由含30°角直角三角形的性质得到，利用已知条件得到，从而根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△AEF∽△ABD，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出答案；
②连接BE，取AE的中点M，连接FM，BM，过点M作MN⊥AB于点N，利用相似三角形对应角相等得∠AFE=∠ADB=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AM=2，利用∠MAN的正弦函数求出MN，利用勾股定理求得BM，利用三角形的三边关系定理得到，则当点M，F，B在一条直线上时，BF取得最小值，可得答案.
（1）解：过点D作于点E，如图，
为的三等分点，且，
∴．
∴．
故答案为：2；
（2）解：由旋转的性质得：，，
∵，
∴．
为的直径，
，
∴，
，
∴，
，
∵，
∴y与x之间的关系式为．
∵点C在半径上（点C不与点O重合），
∴，
∵，
∴．
（3）解：①连接，如图，
为的直径，
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②连接，取的中点M，连接，，过点M作于点N，如图，
由（3）①知：，
∴，
为的中点，
∴，
∵，，
∴，
，
．
∵，
∴当点M，F，B在一条直线上时，取得最小值．
∵，
∴d的最小值为．
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