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分课时教学设计
第十课时《18.5 分式方程（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本章“分式方程”是人教版数学八年级上册分式章节的核心内容，承接此前整式方程的解法基础，是方程知识体系的重要延伸．它首次引入“分母含未知数”的方程形式，打破整式方程的局限，为解决更复杂的实际问题提供新工具．其“去分母化整式方程”的转化思想，是数学中化归思想的典型应用，能培养学生转化与检验的严谨思维．同时，分式方程的解法与检验步骤，为后续反比例函数、一元二次方程等内容的学习奠定基础，是连接初中代数与高中数学的关键过渡知识点，兼具知识衔接与能力培养的双重价值．
学习者分析 学生已熟练掌握整式方程的解法，理解分式的概念与运算，具备一定的方程建模和转化思想基础，能初步通过设未知数、找等量关系列方程．但分式方程是首次接触的“分母含未知数”的方程类型，学生易受整式方程解题习惯影响，忽略“检验”步骤，对“去分母时最简公分母为0会导致增根”的原理理解存在困难．同时，学生抽象思维仍在发展，对增根的本质及分式无意义的条件判断不够敏锐，在找最简公分母、去分母时易出现计算失误．因此，教学中需借助实例对比，强化“转化—求解—检验”的逻辑链条，突破增根理解的难点，贴合学生的认知梯度设计探究活动．
教学目标 1．理解分式方程的概念，能区分分式方程和整式方程． 2．掌握解分式方程的基本思路，会解可化为一元一次方程的分式方程． 3．理解分式方程无解的原因，掌握检验分式方程的解的方法．
教学重点 掌握分式方程“去分母化整式方程”的解法及检验步骤．
教学难点 理解增根本质，准确判断分式方程无解的情况．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解分式方程的概念，能区分分式方程和整式方程． 2．掌握解分式方程的基本思路，会解可化为一元一次方程的分式方程． 3．理解分式方程无解的原因，掌握检验分式方程的解的方法．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是一元一次方程？ 答案：如果方程中只含有一个未知数 （元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。 2．什么是二元一次方程？ 答案：含有两个未知数 ，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程。 3．请说出几个一元一次方程或二元一次方程的实例？ 预设：x+1=3 x＋y＝6 2x＋y＝8 指出：我们以前学习的方程都是整式方程。学生活动2： 学生积极回答活动意图说明： 通过复习所学习过的整式方程，为学习分式方程做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 出示：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 讲解：为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程 ． ① 问题：观察方程 ①，它和我们之前学的一元一次方程相比，有什么明显的不同特点？ 预设：方程①的分母中含有未知数， 归纳：分母中含未知数的方程叫作分式方程． 满足分式方程的条件： （1）是方程；（2）方程中含分母；（3）分母中含有未知数． 思考：如何解分式方程①呢？ 分析：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程． 问题1：如何将分式方程化为整式方程？ 预设：通过去分母将分式方程转化为带式方程。 问题2：如何去分母？去分母的依据是什么呢？ 预设：方程两边同乘最简公分母为(30＋v)(30－v) 利用等式的性质2，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母． 解：方程两边乘最简公分母(30＋v)(30－v) ，得 90(30－v)＝60(30＋v)． 解得 v＝6． 检验：将v＝6代入①中，左边＝，右边＝，这时左、右两边的值相等，因此v＝6是分式方程①的解． 追问：将方程①化成整式方程的关键步骤是什么？ 答：去分母 由此可知，江水的流速为6km/h． 探究：运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程，② 你发现了什么问题？ 解：方程两边同乘(x－5)(x＋5)，得 x＋5＝10． 解得 x＝5． 追问：x＝5 是分式方程的解吗？ 预设：将x＝5代入②，分母x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义． 因此，x＝5虽然是整式方程x＋5＝10的解，但不是分式方程的解． 实际上，这个分式方程无解． 思考：比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 预设：解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)． 方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解为v＝6．当v＝6时，最简公分母(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同． 方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解为x＝5．当x＝5时，最简公分母(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解． 归纳：解分式方程产生不适合原方程的解的原因 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被扩大了．对于整式方程来说，求出的解成立；而对于原分式方程来说，当分母为0时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解． 讲解：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 例1：解方程． 解：方程两边乘x(x－3)，得 2x＝3x－9． 解得 x＝9． 检验：当x＝9时，x(x－3)≠0． 所以，原分式方程的解为x＝9． 例2：解方程． 解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3． 解得 x＝1． 检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解． 归纳：解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．得到整式方程的解后，要对其进行检验． 解分式方程的一般过程如下： 学生活动3： 学生小组合作探究，班内交流后，认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 以轮船航行问题引入，列出分母含未知数的方程，界定分式方程概念。基于分式方程特点，推导 “去分母化整式方程” 的解题思路，渗透化归思想。通过对比两类分式方程的求解差异，凸显检验必要性，总结检验方法，引导学生经历由特殊到一般的认知过程。结合例题，巩固分式方程解法，提升学生运算能力与严谨解题意识。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：18.5 分式方程（第1课时） 一、分式方程的概念 二、分式方程的解法 三、分式方程无解的原因及检验的方法教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：A 2．已知是分式方程的解，那么的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 3．解分式方程： (1) (2)． 解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即， 经检验：是原分式方程的解； （2）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验：是原分式方程的解． 选做题： 4．已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 答案：且 【综合拓展类练习】 5．若分式方程 有增根，求k的值． 解：方程两边都乘，得， ∵增根为， ∴， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 答案：C 3．解方程： (1) (2) 解：（1）， 方程两边同时乘， 得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）， 方程两边同时乘， 得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 选做题： 4．若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 答案： 解：∵关于的分式方程有增根， ∴令分母， 解得． 故增根为． 故答案为：． 【综合拓展类作业】 5．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． (1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 解：（1）， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）， 去分母，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得．
教学反思 本课教学通过实例探究、对比分析，帮助学生掌握了分式方程“去分母—求解—检验”的核心流程，多数学生能准确转化整式方程．但教学中发现，部分学生对增根本质理解不深，仍存在遗漏检验步骤、最简公分母找错的问题．同时，抽象原理讲解偏多，具象化演示不足，导致基础薄弱学生跟不上思路．后续需优化教学，增加实际错题辨析环节，用直观案例拆解“最简公分母为0”的逻辑，设计分层练习强化薄弱点，同时通过小组讨论深化转化思想，让学生在实践中养成严谨的解题习惯．
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同步探究学案
课题 18.5 分式方程（第1课时） 单元 第十八章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解分式方程的概念，能区分分式方程和整式方程． 2．掌握解分式方程的基本思路，会解可化为一元一次方程的分式方程． 3．理解分式方程无解的原因，掌握检验分式方程的解的方法．
重点 掌握分式方程“去分母化整式方程”的解法及检验步骤．
难点 理解增根本质，准确判断分式方程无解的情况．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是一元一次方程？ 2．什么是二元一次方程？ 3．请说出几个一元一次方程或二元一次方程的实例？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助整式方程，研究分式方程。 本章引言问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程 ． ① 问题：观察方程 ①，它和我们之前学的一元一次方程相比，有什么明显的不同特点？ 归纳：分母中含__________的方程叫作分式方程． 满足分式方程的条件： （1）是方程；（2）方程中含________；（3）分母中含有________． 思考：如何解分式方程①呢？ 想一想：将方程①化成整式方程的关键步骤是什么？ 由此可知，江水的流速为6km/h． 探究：运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程，② 你发现了什么问题？ 想一想：x＝5 是分式方程的解吗？ 思考：比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 归纳：解分式方程产生不适合原方程的解的原因 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被扩大了．对于整式方程来说，求出的解成立；而对于原分式方程来说，当分母为0时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解． 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 例1：解方程． 例2：解方程． 归纳：解分式方程的关键是将分式方程化为_____方程，具体做法是“_______”，即方程两边乘_________．得到整式方程的解后，要对其进行检验． 解分式方程的一般过程如下：
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知是分式方程的解，那么的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．解分式方程： (1) (2)． 选做题： 4．已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 【综合拓展类练习】 5．若分式方程 有增根，求k的值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 2．如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 3．解方程： (1) (2) 选做题： 4．若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 【综合拓展类作业】 5．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． (1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少．
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第十八章 分式
18.5 分式方程
（第1课时）
1．理解分式方程的概念，能区分分式方程和整式方程．
2．掌握解分式方程的基本思路，会解可化为一元一次方程的分式方程．
3．理解分式方程无解的原因，掌握检验分式方程的解的方法．
1．什么是一元一次方程？
如果方程中只含有一个未知数 （元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。
2．什么是二元一次方程？
含有两个未知数 ，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程。
3．请说出几个一元一次方程或二元一次方程的实例？
x＋y＝6
2x＋y＝8
x+1=3
整式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？
为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程
． ①
方程①的分母中含有未知数，
观察方程 ①，它和我们之前学的一元一次方程相比，有什么明显的不同特点？
分母中含未知数的方程叫作分式方程．
满足分式方程的条件：
（1）是方程；（2）方程中含分母；（3）分母中含有未知数．
思考：如何解分式方程①呢？
分析：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程．
想一想：如何将分式方程化为整式方程？
分式方程
整式方程
去分母
转化
思考：如何解分式方程①呢？
想一想：如何去分母？去分母的依据是什么呢？
利用等式的性质 2，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．
最简公分母为(30＋v)(30－v)
思考：如何解分式方程①呢？
解：方程两边乘最简公分母(30＋v)(30－v) ，得
90(30－v)＝60(30＋v)．
解得
v＝6．
检验：将v＝6代入①中，左边＝，右边＝，这时左、右两边的值相等，因此v＝6是分式方程①的解．
将方程①化成整式方程的关键步骤是什么？
去分母
一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？
江水的流速为6km/h．
探究：运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程，②
你发现了什么问题？
解：方程两边同乘(x－5)(x＋5)，得
x＋5＝10．
解得
x＝5．
x＝5 是分式方程的解吗？
最简公分母为(x－5)(x＋5)
探究：运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程，②
你发现了什么问题？
将x＝5代入②，分母x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义．
因此，x＝5虽然是整式方程x＋5＝10的解，但不是分式方程的解．
实际上，这个分式方程无解．
思考：比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．
方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解为v＝6．当v＝6时，最简公分母(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．
思考：比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．
方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解为x＝5．当x＝5时，最简公分母(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解．
解分式方程产生不适合原方程的解的原因
在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被扩大了．对于整式方程来说，求出的解成立；而对于原分式方程来说，当分母为0时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解．
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
例1：解方程．
解：方程两边乘x(x－3)，得
2x＝3x－9．
解得
x＝9．
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝9．
例2：解方程．
解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3．
解得
x＝1．
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．
归纳：解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．得到整式方程的解后，要对其进行检验．
解分式方程的一般过程如下：
【知识技能类练习】必做题：
1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
A
【知识技能类练习】必做题：
2．已知是分式方程的解，那么的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
C
【知识技能类练习】必做题：
3．解分式方程：
(1) (2)．
解：（1）去分母，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
即，
经检验：是原分式方程的解；
（2）去分母，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
经检验：是原分式方程的解．
【知识技能类练习】选做题：
4．已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ．
且
【综合拓展类练习】
5．若分式方程 有增根，求k的值．
解：方程两边都乘，得
，
∵增根为，
∴，
∴．
分式方程无解的原因及检验方法
分式方程的概念
去分母
检验
解方程
分式方程
分式方程的解法
【知识技能类作业】必做题：
1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
C
【知识技能类作业】必做题：
3．解方程：
(1) (2)
解：（1）方程两边同时乘
，得
，
解得，
检验：当时，
，
∴原方程的解为；
（2）方程两边同时乘
，得
，
解得，
检验：当时，
，
∴原方程无解．
【知识技能类作业】选做题：
4．若关于的分式方程有增根，则增根是 ．
【综合拓展类作业】
5．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：．
(1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少．
解：（1）去分母，得
，
解得；
检验：当时，，
∴是原方程的解；
【综合拓展类作业】
5．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：．
(1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少．
（2），
去分母，得，
∵分式方程无解，
∴分式方程有增根，
∴，解得，
把代入，得
，解得．
