多选题增分专练(一)　函数与导数（含解析）2026届高中数学二轮复习多选题增分专练

多选题增分专练(一)　函数与导数
1.(2024·苏州模拟)定义min{x,y}表示x,y中的最小者,设函数f(x)=min{x2-3x+3,3-|x-3|},则下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)有且仅有一个极小值点为
B.f(x)有且仅有一个极大值点为3
C. x∈(-∞,2]∪[5,+∞),f(x)≤1
D. k∈R,f(x)≤k恒成立
2.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x+y)·f(x-y)=f(x)+f(y),且f(0)≠0,则下列结论正确的是 (　　)
A.f(0)=1 　B.y=f(x)为奇函数
C.y=f(x)不存在零点 　D.f(2x)=f(x)
3.若f(x)=|ln x|的图象在x=x1,x=x2(x1A.x1x2=1
B.x1+x2的最小值为2
C.l1,l2在y轴上的截距之差为2
D.l1,l2在y轴上的截距之积可能为-1
4.已知函数f(x)=ln(+x)+2x3,g(x)是定义在R上的偶函数,且g(x)在(-∞,0]上单调递增,则下列判断正确的是 (　　)
A.f(x)·|g(x)|是奇函数
B.|f(x)|·g(x)是奇函数
C.f(g(2 023))D.g(f(2 023))>g(f(2 024))
5.(2024·苏州三模)已知x1,x2,x3,x4是函数f(x)=x4+2x3-13x2-20x+24的四个零点,记f(x)的导函数为f'(x),则 (　　)
A.x1+x2+x3+x4=20
B.x1x2x3x4=24
C.g(x)=f'(x)在[0,1]上的最小值为-36
D.存在m∈R,使得h(x)=f'+m是奇函数
6.已知定义域为R的函数f(x)满足以下条件:① x,y∈R,f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y);②f(0)≠0;③ k>0,使得f(k)=0.则下列结论正确的是 (　　)
A.f(0)=1 B.f(2k)=-1
C.f(x)为奇函数 D.f(x+4k)=f(x)
7.已知函数f(x)=aex-x+a2(a∈R),则下列命题正确的是 (　　)
A.当a≤0时,f(x)是R上的减函数
B.当a>0时,x=ln a是f(x)的极小值点
C.当a=e时,f(x)取到最小值e2+2
D.当a>0时,f(x)>2ln a+恒成立
8.已知函数f(x)=ax-xa(x>0,a>0且a≠1),则下列命题正确的是 (　　)
A.当a=e时,f(x)≥0恒成立
B.当0C.当a>e时,f(x)没有零点
D.存在a>1,使得f(x)存在2个极值点
多选题增分专练(一)　函数与导数
1.选ACD　
由题意,函数f(x)=作出函数f(x)的图象,如图所示,
由图象知,f(x)有且仅有一个极小值点为,所以A正确;函数有两个极大值点1和3,所以B错误;
令f(x)≤1,可得x≤1或或解得x≤2或x≥5,即当x∈(-∞,2]∪[5,+∞)时,f(x)≤1,所以C正确;由图象知,当x=3时,函数f(x)取得最大值f(3)=3,所以存在实数k≥3,使得f(x)≤k恒成立,所以D正确.
2.选ACD　
由2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得2[f(0)]2=2f(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1,所以A正确;
函数f(x)的定义域为全体实数,由f(0)=1,显然不符合f(-x)=-f(x),所以函数f(x)不是奇函数,所以B不正确;
由2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),令y=0,可得2[f(x)]2=f(x)+f(0),即2[f(x)]2-f(x)-1=0,解得f(x)=1或f(x)=-,所以函数y=f(x)没有零点,所以C正确;
由2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),令y=x,可得2f(2x)f(0)=f(x)+f(x),所以2f(2x)=2f(x),即f(2x)=f(x),所以D正确.
易错提醒:解决抽象函数问题的方法一般为赋值法,本题的易错之处为不能利用赋值法得到f(0)=1而漏选A.
3.选AC　
对于A、B,由题意可得01,当01时,f'(x)=,所以l1,l2的斜率分别为k1=-,k2=,因为l1⊥l2,所以k1k2=-=-1,解得x1x2=1,
(结论:互相垂直的两条直线的斜率之积为-1)
所以x1+x2>2=2,
(注意:利用基本不等式时要注意等号是否成立,本题中x1故A正确,B错误;
对于C、D,l1的方程为y+ln x1=-(x-x1),即y=-x+1-ln x1.令x=0,得y=1-ln x1,所以l1在y轴上的截距为1-ln x1.l2的方程为y=x-1+ln x2,可得l2在y轴上的截距为-1+ln x2,所以l1,l2在y轴上的截距之差为1-ln x1-(-1+ln x2)=2-ln(x1x2)=2,l1,l2在y轴上的截距之积为(1-ln x1)(-1+ln x2)=-(1-ln x1)(1+ln x1)=(ln x1)2-1>-1,故C正确,D错误.
4.选AD　
易知函数f(x),g(x)的定义域均为R.当x≥0时,易知函数f(x)单调递增.因为f(-x)+f(x)=ln(-x)-2x3+ln(+x)+2x3=0,所以f(x)为奇函数,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.因为g(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,所以g(x) 在[0,+∞)上单调递减.因为f(-x)·|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,所以f(x)·|g(x)|是奇函数,所以A正确;
因为|f(-x)|·g(-x)=|f(x)|·g(x),所以|f(x)|·g(x)是偶函数,所以B错误;因为g(2 023)>g(2 024),所以f(g(2 023))>f(g(2 024)),所以C错误;
因为0=f(0)g(f(2 024)),所以D正确.
易错提醒:要先说明0=f(0)5.选BCD　
由题意可得f(x)=x4+2x3-13x2-20x+24=(x-x1)(x-x2)·(x-x3)(x-x4)=x4-(x1+x2+x3+x4)x3+(x1x2+x3x4+x1x3+x2x4+x1x4+x2x3)x2-(x1x2x3+x1x2x4+x2x3x4+x1x3x4)x+x1x2x3x4,所以x1+x2+x3+x4即为x3系数的相反数,即x1+x2+x3+x4=-2,故A错误;x1x2x3x4即为常数项24,即x1x2x3x4=24,故B正确;因为g(x)=f'(x)=4x3+6x2-26x-20,所以g'(x)=12x2+12x-26=12-29,则g'(x)在[0,1]上单调递增.又g'(1)=-2,则g'(x)<0在[0,1]上恒成立,所以g(x)在[0,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=4+6-26-20=-36,故C正确;因为g(x)=f'(x)=4x3+6x2-26x-20,则g(-1-x)=4(-1-x)3+6(-1-x)2-26(-1-x)-20=-4x3-6x2+26x+8,所以g(x)+g(-1-x)=-12,所以g(x)的对称中心为,所以g+6关于(0,0)对称,即h(x)=f'+m=g+m为奇函数,则m=6,所以存在m=6,使得h(x)为奇函数,故D正确.
6.选ABD　
法一:令x=y=0,由条件①得2f(0)=2[f(0)]2,(点拨:赋值法的应用)
由于f(0)≠0,所以f(0)=1,故A正确;
令x=k,y=0,由条件①得f(2k)+f(0)=2[f(k)]2,由于f(k)=0,所以f(2k)+1=0,因此f(2k)=-1,故B正确;
取x为,取y为-,由条件①得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),即f(x)+f(-x)=2f(x),因此f(x)=f(-x),所以函数f(x)为偶函数,故C错误;
取x为+k,取y为,由条件①得f(x+2k)+f(x)=2f(x+k)f(k)=0,因此f(x+2k)=-f(x),于是f(x+4k)=-f(x+2k)=f(x),故D正确.
法二:f(x)=cos x满足题中的3个条件:
① x,y∈R,cos 2x+cos 2y=2cos(x+y)cos(x-y);
②cos 0=1≠0;③k=>0,cos=0,cos 0=1,故A正确;cos=-1,故B正确;f(x)=cos x为偶函数,故C错误;cos=cos x,故D正确.
7.选ACD　
由题意,函数f(x)=aex-x+a2,定义域为R,则导函数为f'(x)=aex-1.当a≤0时,f'(x)<0,则函数f(x)在R上单调递减,故A正确;
当a>0时,令f'(x)=0,解得x=-ln a,当x>-ln a时,f'(x)>0,则函数f(x)在(-ln a,+∞)上单调递增;当x<-ln a时,f'(x)<0,则函数f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,所以x=-ln a为f(x)的极小值点,故B错误;
当a=e时,令f'(x)=ex+1-1=0,解得x=-1,当x>-1时,f'(x)>0,则函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,则函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,所以函数f(x)的最小值为f(-1)=e2+2,故C正确;
由B选项知,函数f(x)在x=-ln a取最小值,则f(x)≥f(-ln a)=ae-ln a+ln a+a2=a2+1+ln a,假设f(x)>2ln a+,则f(x)min>2ln a+,即a2--ln a>0在a>0恒成立,令g(x)=x2--ln x,x>0,则g'(x)=2x-=,令g'(x)>0,则x>,g(x)在上单调递增,令g'(x)<0,则00,所以g(x)>0恒成立,所以当a>0时,f(x)>2ln a+恒成立,故D正确.
8.选ABD　
当a=e时,f(x)≥0,即ex≥xe x≥eln x ≤,设g(x)=, 则g'(x)=,故当x∈(0,e)时,g'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)≤g(e)==,故A正确;
当0f(x)=0 ax=xa xln a=aln x,即=,当a>e时,由A选项可知,0f'(x)=axln a-axa-1,令f'(x)=0,得ax-1ln a=xa-1,两边取对数可得(x-1)ln a+ln(ln a)=(a-1)ln x,设h(x)=(x-1)ln a+ln(ln a)-(a-1)ln x,则h'(x)=ln a-,令h'(x)=0,得x=,∴h(x)在内单调递减,在上单调递增,∴h(x)最多有两个零点,即f'(x)=0至多有两个根.且当a=3时,f'(x)=3xln 3-3x2,f'(0)=ln 3>1,f'(1)=3ln 3-3>0,f'(2)=9ln 3-12=3(ln 27-ln e4)≈3(ln 27-ln 53)<0,f'(3)=27ln 3-27>0.则 x1∈(1,2),使得f'(x1)=0, x2∈(2,3),使得f'(x2)=0.故存在a>1,使得f(x)存在2个极值点,故D正确.