多选题增分专练(三)　平面向量与解三角形（含解析）2026届高中数学二轮复习多选题增分专练

多选题增分专练(三)　平面向量与解三角形
1.设a,b是两个非零向量,下列命题正确的是 (　　)
A.若a·b=0,则a∥b B.若a·b=|a||b|,则a∥b
C.若a⊥b,则a·b=(a·b)2 D.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b
2.已知z为复数,设z,,iz在复平面上对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,则下列结论正确的是 (　　)
A.||=|| B.⊥
C.||=|| D.∥
3.(2024·乌鲁木齐三模)已知点O(0,0),A(2,1),B(1,2),P(cos α,sin α)(0≤α<2π),则下列结论正确的是 (　　)
A.若α=,则⊥
B.若∥,则α=
C.若·=-,则sin 2α=
D.||的最大值为+1
4.如图,正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点,点P是以AB为直径的半圆上任意点,=λ+μ,则下列结论正确的是 (　　)
A.λ最大值为1
B.μ最大值为1
C.·最大值为2
D.·最大值为+2
5.(2024·泉州模拟)△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,△ABC的面积S=·,则下列说法正确的是 (　　)
A.A=30°
B.△ABC的周长的最大值为6
C.若bc=4,则△ABC为正三角形
D.若AB边上的中线长等于,则S=
6.(2024·泉州模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 (　　)
A.若a2+b2-c2>0,则△ABC是锐角三角形
B.tan A+tan B+tan C>0,则△ABC是锐角三角形
C.若a,b,c成等差数列,且b=2,则△ABC面积的最大值是
D.若a,b,c成等比数列,则cos(A-C)=1-cos B-cos 2B
7.(2024·保定三模)已知△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=2B,则下列说法正确的是 (　　)
A.a2=c(b+c)
B.+的最小值为3
C.若△ABC为锐角三角形,则∈(1,2)
D.若a=2,b=3,则c=5
8.已知△ABC所在平面内一点O满足3+2+4=0,则下列选项正确的是 (　　)
A.=+
B.延长AO交BC于点M,则BM=2CM
C.若BC=3,且·=·,则·=-6
D.若||=||=||=1,则·=-
多选题增分专练(三)　平面向量与解三角形
1.选BCD　
因为a·b=0,a,b是两个非零向量,所以a⊥b,故A错误;a·b=|a||b|cos=|a||b|,所以cos=1,所以=0,所以a∥b,故B正确;因为a⊥b,所以a·b=0,所以a·b=(a·b)2=0,故C正确;因为|a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,从而a·b=0,所以a⊥b,故D正确.
2.选AB　
由共轭复数的定义知||=||,A正确;设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,iz=-b+ai,∴A(a,b),B(a,-b),C(-b,a),∴·=-ab+ab=0,B正确;=(-b-a,a-b),=(-b-a,a+b),∴||=,||=,C错误;=(a,-b),显然与不一定共线,D错误.
3.选ACD　
由题意可知,=(-1,1),=(cos α,sin α),对于A,当α=时,P(0,1),所以=(-1,-1),即·=1-1=0,故⊥,故A正确;
对于B,因为∥,所以存在实数λ,使得=λ,即解得tan α=-1,故α=或α=,故B错误;
对于C,因为·=-cos α+sin α=-,所以(-cos α+sin α)2=,解得sin 2α=,故C正确;
对于D,因为=(cos α-2,sin α-1),所以||===,其中sin φ=,cos φ=,所以当sin(α+φ)=-1时,||max===+1,故D正确.
4.选ACD　
以AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,则
A(-1,0),D(-1,2),E(1,1),设∠BOP=α,
则P(cos α,sin α),
α∈[0,π],所以=(cos α+1,sin α),=(0,2),=(2,1),由=λ+μ,得2λ=cos α+1,λ+2μ=sin α,α∈[0,π].
对于A,当α=0时,λmax=1,故A正确;
对于B,μ=(2sin α-cos α-1)=sin(α-θ)-≤,故B错误;
对于C,·=2sin α≤2,故C正确;
对于D,·=sin α+2cos α+2=sin(α+φ)+2≤+2(其中tan φ=2),故D正确.
5.选BC　
对于A,S=·=bccos A=bcsin A,即可得到tan A=.又A∈(0,π),所以A=,故A错误.
对于B,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=4,利用基本不等式可知bc≤,所以b+c≤4,当且仅当b=c时取等号,此时周长最大值为6,故B正确.
对于C,由B可知当bc=4时,b+c=4,则b=c=2=a,故△ABC为正三角形,故C正确.
对于D,设AB边上的中线为CD,设AD=BD=t,在△ACD中,CD2=t2+b2-2tbcos=,在△ABC中,a2=(2t)2+b2-4tbcos=4,联立可解得t=b=,则S=×××=,故D错误.
6.选BCD　
cos C=>0,则角C是锐角,但不能判断角A,B是钝角,锐角,还是直角,故A错误;
tan A+tan B+tan C=tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan C=-tan C(1-tan Atan B)+tan C=tan Atan Btan C>0.又A,B,C∈(0,π),且A+B+C=π,所以角A,B,C都是锐角,故B正确;若a,b,c成等差数列,则2b=a+c=4,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=4,得ac=,S△ABC=acsin B===3tan.
又cos B=-1≥-1=,当且仅当a=c=2时取等号,所以B∈,tan∈,所以△ABC面积的最大值为3×=,故C正确;
1-cos B-cos 2B-cos(A-C)=1-cos 2B+cos(A+C)-cos(A-C)=2sin2B-2sin Asin C,若a,b,c成等比数列,则b2=ac,由正弦定理边化角可知,sin2B=sin Asin C,所以1-cos B-cos 2B-cos(A-C)=0,即cos(A-C)=1-cos B-cos 2B,故D正确.
7.选BCD　
由A=2B,得sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理得a=2bcos B,由余弦定理得a=2b·,则(c-b)(a2-b2-bc)=0,当b≠c时,a2-b2-bc=0,即a2=b(b+c).当b=c时,B=C.又A=2B,所以A=90°,B=C=45°,所以a=b,所以a2-b2-bc=-b2-b·b=0,所以a2=b(b+c),故A错误;
由a2=b(b+c),则+=+=++1≥3,当且仅当b=c时等号成立,故B正确;
在△ABC中,sin B≠0,由正弦定理,
得=====4cos2B-1.若△ABC为锐角三角形,又A=2B,则B∈,C=π-3B<,故B>,所以B∈,所以cos B∈,则cos2B∈,所以4cos2B-1∈(1,2),故C正确;
在△ABC中,由正弦定理==,又A=2B,a=2,b=3,得==,则cos B=.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得9=24+c2-2×2×c,整理得c2-8c+15=0,解得c=5或c=3.当c=3时,有C=B,又A=2B,所以B=C=45°,A=90°.因为b2+c2≠a2,则c=3不成立,故D正确.
8.选BCD　
3=2+4=2(-)+4(-),=+,故A错误;
延长AO交BC于点M,设BM=λCM,=m,所以=+,由3+2+4=0,得=+,所以=+=m=+,即解得
则BM=2CM,故B正确;
∵·-·=0,∴·=0,延长AO交BC于点M,∴AM⊥BC.∵BC=3,由B选项知BM=2CM=2,∴·=-||·||=-6,故C正确;由||=||=||=1,3=2+4,两边平方得9=4+16+16·,∴·=-,∴·=-(+2)(-)=-×(2-1-·)=-,故D正确.