多选题增分专练(四) 数列（含解析）2026届高中数学二轮复习多选题增分专练
文档属性
| 名称 | 多选题增分专练(四) 数列（含解析）2026届高中数学二轮复习多选题增分专练 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 33.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-17 11:28:05 | ||
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文档简介
多选题增分专练(四) 数列
1.已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S15-S11)(S15-S12)<0,则下列结论正确的是 ( )
A.a13+a14>0 B.S11C.当n=14时,Sn取最大值 D.当Sn<0时,n的最小值为27
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,=Sn+2an+1,数列的前n项和为Tn,n∈N*,则下列选项正确的为 ( )
A.数列{an+1}是等差数列 B.数列{an+1}是等比数列
C.数列{an}的通项公式为an=2n-1 D.Tn<1
3.已知数列{an}满足a1=2,anan+1+an-an+1+1=0,记数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列结论正确的是 ( )
A.数列{an}是周期数列 B.a2 024=
C.S2 024>T2 024 D.T2 024=1
4.(2024·石家庄二模)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),前n项和为Sn,则下列说法正确的是 ( )
A.数列{an}有最小项,且有最大项
B.使an∈Z的项共有5项
C.满足anan+1an+2≤0的n的值共有5个
D.使Sn取得最小值的n为4
5.对于数列{an}(an∈N*),定义bk为a1,a2,…,ak中最大值(k=1,2,…,n)(n∈N*),把数列{bn}称为数列{an}的“M值数列”.如数列2,2,3,7,6的“M值数列”为2,2,3,7,7,则下列命题正确的是 ( )
A.若数列{an}是递减数列,则{bn}为常数列
B.若数列{an}是递增数列,则有an=bn
C.满足{bn}为2,3,3,5,5的所有数列{an}的个数为8
D.若an=(-2)n-1(n∈N*),记Sn为{bn}的前n项和,则S100=(2100-1)
6.(2024·益阳三模)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项和,满足a3=2a1+a2,则下列说法正确的是 ( )
A.若{an}是正项数列,则{an}是递增数列
B.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n一定是等比数列
C.若存在M>0,使|an|≤M对 n∈N*都成立,则{|an|}是等差数列
D.若an>0,且a1=,Tn=a1·a2·…·an,则当n=7时,Tn取最小值
7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,则下列结论正确的是 ( )
A.数列{an}是等比数列
B.数列{log2(an+1)}是等差数列
C.数列{an}的前n项和为2n+1-n-2
D.a20能被3整除
8.(2024·扬州模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则下列说法正确的是 ( )
A.a2 023>a2 022 B.4-1=4an+1an
C.+的最小值为8+ D.<1 012
多选题增分专练(四) 数列
1.选ABD
首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,所以(S15-S11)(S15-S12)=(a15+a14+a13+a12)×3a14=6a14(a14+a13)<0,若a14>0,则a14+a13一定大于零,不符合题意,所以a14<0,a14+a13>0,故A正确;
由A可知S15-S11=a15+a14+a13+a12=2(a14+a13)>0,所以S15>S11,S15-S12=3a14<0,所以S15由A可知,因为a14<0,a14+a13>0,可知a13>0,故当n=13时,Sn取最大值,故C错误;
S27==27a14<0,S26==13(a14+a13)>0,故D正确.
2.选BCD
由Sn+1=Sn+2an+1,得an+1=Sn+1-Sn=2an+1,可化为an+1+1=2(an+1),由S1=a1=1,可得数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1=2n,即an=2n-1.又==-,可得Tn=1-+-+…+-=1-<1.
易错提醒:由于不能裂项==-后求和,也不能得到Tn<1,漏选D项.
3.选ABD
由anan+1+an-an+1+1=0,
得an+1=.由a1=2,
计算得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2=a1,
因此{an}为周期数列,且周期为4,A正确;
(技巧:先根据已知条件求出数列的前几项,确定周期,然后利用数列的周期性即可判断选项B、C、D)
由A知,a2 024=a4=,B正确;由周期性,得S2 024=506S4=506(a1+a2+a3+a4)=506×<0,T2 024==(a1×a2×a3×a4)506=1,则S2 0244.选ABD
因为an=(n∈N*),
所以an+1-an=-=.
令an+1-an>0,
即(2n-7)(2n-9)<0,解得又n∈N*,所以当n=4时,an+1-an>0,则当1≤n≤3或n≥5时,an+1-an<0.令an=>0,解得n>,所以a1=->a2=->a3=-3>a4=-9,a5>a6>a7>…>0,所以数列{an}有最小项a4=-9,且有最大项a5=9,故A正确;
由an∈Z,则∈Z.又n∈N*,所以n=3或n=4或n=5或n=6或n=9,所以使an∈Z的项共有5项,故B正确;
要使anan+1an+2≤0,又an≠0,所以an,an+1,an+2中有1个负数或3个负数,所以n=1或n=2或n=4,故满足anan+1·an+2≤0的n的值共有3个,故C错误;
因为当n≤4时,an<0,当n≥5时,an>0,所以当n为4时,Sn取得最小值,故D正确.
5.选ABD
若数列{an}是递减数列,则a1是a1,a2,…,ak中最大值(k=1,2,…,n)(n∈N*),所以bn=a1,{bn}为常数列,A正确;若数列{an}是递增数列,则ak是a1,a2,…,ak中最大值(k=1,2,…,n)(n∈N*),所以bk=ak,即an=bn,B正确;满足{bn}为2,3,3,5,5,则a1=2,a2=3,a3可以取1,2,3,a4=5,a5可以取1,2,3,4,5,所有数列{an}的个数为3×5=15,C错误;若an=(-2)n-1(n∈N*),则数列{an}中奇数项构成递增的正项数列,偶数项都是负数,则有b2k-1=b2k=(-2)2k-2=22k-2,所以S100=2(1+22+24+…+298)=(2100-1),D正确.
6.选ACD
设数列{an}的公比为q,由a3=2a1+a2,可得a1q2=2a1+a1q,因为a1≠0,则q2-q-2=0,解得q=-1或q=2,因为{an}是正项数列,故a1>0,q=2>0,故{an}是递增数列,故A正确;
由上分析知,q=-1或q=2,当q=-1时,Sn==a1[1-(-1)n],此时,若n为偶数,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n都是0,不符合,故B错误;
若q=2,则{|an|}是递增数列,此时不存在M>0,使|an|≤M对 n∈N*都成立;若q=-1时,易得|an|=|a1|,故存在M=|a1|,使得|an|≤M对 n∈N*都成立,此时{|an|}为常数列,故{|an|}是公差为0的等差数列,故C正确;
因为an>0,a1=,故由上分析知q=2,则Tn=a1·a2·…·an=q1+2+…+(n-1)==·.由==×2n,当1≤n≤6时,0<×2n<1,故Tn+11,故Tn+1>Tn,数列{Tn}递增,且T8>T7,则当n=7时,Tn取最小值,故D正确.
易错提醒:对于选项C,不能想到q=-1,不能判断{|an|}是等差数列.
7.选BCD
由an+1=2an+1,可得an+1+1=2(an+1),所以数列{an+1}是等比数列,即an=2n-1,则a1=1,a2=3,a3=7,显然有a1·a3≠,所以a1,a2,a3不成等比数列,故A错误;
由数列{an+1}是等比数列,可得an+1=2n,即log2(an+1)=log22n=n,故B正确;
由an=2n-1,可得前n项和Sn=21-1+22-1+23-1+…+2n-1=-n=2n+1-n-2,故C正确;
法一:由a20=220-1=(3-1)20-1=×320+×319×(-1)+×318×(-1)2+…+×3×(-1)19+×(-1)20-1=3×[×319+×318×(-1)+×317×(-1)2+…+×(-1)19],故D正确;
法二:由210=1 024,1 024除以3余数是1,所以1 0242除以3的余数还是1,从而可得220-1能被3整除,故D正确.
8.选ABD
因为an+1-an=-an=>0,即an+1>an,所以数列{an}为递增数列,可得a2 023>a2 022,故A正确;
因为an+1=,则2an+1-an=,两边平方整理得4-1=4an+1an,故B正确;
因为数列{an}为递增数列且an≥1>0,则为递减数列,所以为递减数列,不存在最小值,故C错误;
因为4-1=4an+1an,整理得an=an+1-,两边平方得=+->-,即-<,可得-<,-<,…,-<,所以-<×(2 023-1)=1 011,即-1<1 011,所以<1 012,故D正确.
1.已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S15-S11)(S15-S12)<0,则下列结论正确的是 ( )
A.a13+a14>0 B.S11
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,=Sn+2an+1,数列的前n项和为Tn,n∈N*,则下列选项正确的为 ( )
A.数列{an+1}是等差数列 B.数列{an+1}是等比数列
C.数列{an}的通项公式为an=2n-1 D.Tn<1
3.已知数列{an}满足a1=2,anan+1+an-an+1+1=0,记数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列结论正确的是 ( )
A.数列{an}是周期数列 B.a2 024=
C.S2 024>T2 024 D.T2 024=1
4.(2024·石家庄二模)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),前n项和为Sn,则下列说法正确的是 ( )
A.数列{an}有最小项,且有最大项
B.使an∈Z的项共有5项
C.满足anan+1an+2≤0的n的值共有5个
D.使Sn取得最小值的n为4
5.对于数列{an}(an∈N*),定义bk为a1,a2,…,ak中最大值(k=1,2,…,n)(n∈N*),把数列{bn}称为数列{an}的“M值数列”.如数列2,2,3,7,6的“M值数列”为2,2,3,7,7,则下列命题正确的是 ( )
A.若数列{an}是递减数列,则{bn}为常数列
B.若数列{an}是递增数列,则有an=bn
C.满足{bn}为2,3,3,5,5的所有数列{an}的个数为8
D.若an=(-2)n-1(n∈N*),记Sn为{bn}的前n项和,则S100=(2100-1)
6.(2024·益阳三模)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项和,满足a3=2a1+a2,则下列说法正确的是 ( )
A.若{an}是正项数列,则{an}是递增数列
B.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n一定是等比数列
C.若存在M>0,使|an|≤M对 n∈N*都成立,则{|an|}是等差数列
D.若an>0,且a1=,Tn=a1·a2·…·an,则当n=7时,Tn取最小值
7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,则下列结论正确的是 ( )
A.数列{an}是等比数列
B.数列{log2(an+1)}是等差数列
C.数列{an}的前n项和为2n+1-n-2
D.a20能被3整除
8.(2024·扬州模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则下列说法正确的是 ( )
A.a2 023>a2 022 B.4-1=4an+1an
C.+的最小值为8+ D.<1 012
多选题增分专练(四) 数列
1.选ABD
首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,所以(S15-S11)(S15-S12)=(a15+a14+a13+a12)×3a14=6a14(a14+a13)<0,若a14>0,则a14+a13一定大于零,不符合题意,所以a14<0,a14+a13>0,故A正确;
由A可知S15-S11=a15+a14+a13+a12=2(a14+a13)>0,所以S15>S11,S15-S12=3a14<0,所以S15
S27==27a14<0,S26==13(a14+a13)>0,故D正确.
2.选BCD
由Sn+1=Sn+2an+1,得an+1=Sn+1-Sn=2an+1,可化为an+1+1=2(an+1),由S1=a1=1,可得数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1=2n,即an=2n-1.又==-,可得Tn=1-+-+…+-=1-<1.
易错提醒:由于不能裂项==-后求和,也不能得到Tn<1,漏选D项.
3.选ABD
由anan+1+an-an+1+1=0,
得an+1=.由a1=2,
计算得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2=a1,
因此{an}为周期数列,且周期为4,A正确;
(技巧:先根据已知条件求出数列的前几项,确定周期,然后利用数列的周期性即可判断选项B、C、D)
由A知,a2 024=a4=,B正确;由周期性,得S2 024=506S4=506(a1+a2+a3+a4)=506×<0,T2 024==(a1×a2×a3×a4)506=1,则S2 024
因为an=(n∈N*),
所以an+1-an=-=.
令an+1-an>0,
即(2n-7)(2n-9)<0,解得
由an∈Z,则∈Z.又n∈N*,所以n=3或n=4或n=5或n=6或n=9,所以使an∈Z的项共有5项,故B正确;
要使anan+1an+2≤0,又an≠0,所以an,an+1,an+2中有1个负数或3个负数,所以n=1或n=2或n=4,故满足anan+1·an+2≤0的n的值共有3个,故C错误;
因为当n≤4时,an<0,当n≥5时,an>0,所以当n为4时,Sn取得最小值,故D正确.
5.选ABD
若数列{an}是递减数列,则a1是a1,a2,…,ak中最大值(k=1,2,…,n)(n∈N*),所以bn=a1,{bn}为常数列,A正确;若数列{an}是递增数列,则ak是a1,a2,…,ak中最大值(k=1,2,…,n)(n∈N*),所以bk=ak,即an=bn,B正确;满足{bn}为2,3,3,5,5,则a1=2,a2=3,a3可以取1,2,3,a4=5,a5可以取1,2,3,4,5,所有数列{an}的个数为3×5=15,C错误;若an=(-2)n-1(n∈N*),则数列{an}中奇数项构成递增的正项数列,偶数项都是负数,则有b2k-1=b2k=(-2)2k-2=22k-2,所以S100=2(1+22+24+…+298)=(2100-1),D正确.
6.选ACD
设数列{an}的公比为q,由a3=2a1+a2,可得a1q2=2a1+a1q,因为a1≠0,则q2-q-2=0,解得q=-1或q=2,因为{an}是正项数列,故a1>0,q=2>0,故{an}是递增数列,故A正确;
由上分析知,q=-1或q=2,当q=-1时,Sn==a1[1-(-1)n],此时,若n为偶数,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n都是0,不符合,故B错误;
若q=2,则{|an|}是递增数列,此时不存在M>0,使|an|≤M对 n∈N*都成立;若q=-1时,易得|an|=|a1|,故存在M=|a1|,使得|an|≤M对 n∈N*都成立,此时{|an|}为常数列,故{|an|}是公差为0的等差数列,故C正确;
因为an>0,a1=,故由上分析知q=2,则Tn=a1·a2·…·an=q1+2+…+(n-1)==·.由==×2n,当1≤n≤6时,0<×2n<1,故Tn+1
易错提醒:对于选项C,不能想到q=-1,不能判断{|an|}是等差数列.
7.选BCD
由an+1=2an+1,可得an+1+1=2(an+1),所以数列{an+1}是等比数列,即an=2n-1,则a1=1,a2=3,a3=7,显然有a1·a3≠,所以a1,a2,a3不成等比数列,故A错误;
由数列{an+1}是等比数列,可得an+1=2n,即log2(an+1)=log22n=n,故B正确;
由an=2n-1,可得前n项和Sn=21-1+22-1+23-1+…+2n-1=-n=2n+1-n-2,故C正确;
法一:由a20=220-1=(3-1)20-1=×320+×319×(-1)+×318×(-1)2+…+×3×(-1)19+×(-1)20-1=3×[×319+×318×(-1)+×317×(-1)2+…+×(-1)19],故D正确;
法二:由210=1 024,1 024除以3余数是1,所以1 0242除以3的余数还是1,从而可得220-1能被3整除,故D正确.
8.选ABD
因为an+1-an=-an=>0,即an+1>an,所以数列{an}为递增数列,可得a2 023>a2 022,故A正确;
因为an+1=,则2an+1-an=,两边平方整理得4-1=4an+1an,故B正确;
因为数列{an}为递增数列且an≥1>0,则为递减数列,所以为递减数列,不存在最小值,故C错误;
因为4-1=4an+1an,整理得an=an+1-,两边平方得=+->-,即-<,可得-<,-<,…,-<,所以-<×(2 023-1)=1 011,即-1<1 011,所以<1 012,故D正确.
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