多选题增分专练(六)　概率与统计（含解析）2026届高中数学二轮复习多选题增分专练

多选题增分专练(六)　概率与统计
1.(2024·三门峡模拟)某灯具配件厂生产了一种塑胶配件,该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值(单位:分)作为一个样本,得到如下所示的频率分布直方图,则(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (　　)
A.m=0.03
B.样本质量指标值的平均数为75
C.样本质量指标值的众数小于其平均数
D.样本质量指标值的第75百分位数为85
2.已知a,b∈R,有一组样本数据为2+a,3,6-b,7-a,8,10,11+b,12,13,若在这组数据中再插入一个数8,则 (　　)
A.平均数不变 B.中位数不变
C.方差不变 D.极差不变
3.(2024·合肥模拟)下表是某人上班的年收入(单位:万元)与上班年份的一组数据:
年份x 1 2 3 4 5 6 7
收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
则下列命题正确的有 (　　)
A.年收入的均值为4.3
B.年收入的方差为1.2
C.年收入的上四分位数为5
D.若y与x可用回归直线方程=0.5x+来模拟,则=2.3
4.张同学从学校回家要经过2个路口,假设每个路口等可能遇到红灯或绿灯,每个路口遇到红绿灯相互独立,记事件A:“第1个路口遇到绿灯”,事件B:“第2个路口遇到绿灯”,则 (　　)
A.P(A)= B.P(AB)=
C.P(B|)= D.P(A+B)=
5.随机变量X~N(2,σ2),且P(0≤X≤2)+P(X≥t)=0.5,随机变量Y~B(t,p),0A.t=4 B.P(2≤Y≤3)=
C.p= D.D(4Y)=4
6.(2024·潍坊三模)下列说法正确的是 (　　)
A.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件
B.掷一枚质地均匀的骰子两次,“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件
C.若x1,x2,x3,x4,x5,2的平均数是7,方差是6,则x1,x2,x3,x4,x5的方差是
D.某人在10次射击中,设击中目标的次数为X,且X~B(10,0.8),则X=8的概率最大
7.在n次独立重复试验(即伯努利试验)中,每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A发生的次数X服从二项分布B(n,p).事实上,在无限次伯努利试验中,另一个随机变量的应用也很广泛,即事件A首次发生时试验进行的次数Y,我们称Y服从“几何分布”,经过计算E(Y)=,由此推广在无限次伯努利试验中,试验进行到事件A和都发生后停止,此时所进行的试验次数记为Z,则P(Z=k)=(1-p)k-1p+pk-1(1-p),k=2,3,…,那么下列说法正确的是 (　　)
A.P(X=5)=5p(1-p)4 B.P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…
C.P(Y=3)的最大值为 D.E(Z)=-1
8.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选,其中部分次品芯片会被淘汰,筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”,B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后,该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(5.40,0.052),现从中随机抽取M个,这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间(5.35,5.55),则下列说法正确的是(若ξ~N(μ,σ2),P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997 4) (　　)
A.P(B|A)>P(B)
B.P(A|B)C.P(5.35<ξ<5.55)≈0.84
D.P(m=45)取得最大值时,M的估计值为53
多选题增分专练(六)　概率与统计
1.选ACD　
由题意知(0.01+0.015+0.035+m+0.01)×10=1,解得m=0.03,故A正确;
样本质量指标值的平均数为55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5,故B错误;
样本质量指标值的众数是=75<76.5,故C正确;
前3组的频率之和为(0.01+0.015+0.035)×10=0.6,前4组的频率之和为0.6+0.03×10=0.9,故第75百分位数位于第4组,设其为t,则(t-80)×0.03+0.6=0.75,解得t=85,即第75百分位数为85,故D正确.
2.选AD　
原数据的平均数为8,插入一个数8,平均数不变,故A正确;取a=-2,b=1,原数据的中位数为9,新数据的中位数为8.5,故B错误;新数据的方差为s'2=[(2+a-8)2+(3-8)2+…+(13-8)2+(8-8)2]<[(2+a-8)2+(3-8)2+…+(13-8)2]=s2,故C错误;因为3<8<13,所以8不是最值,故新数据的极差不变,故D正确.
3.选AD　
由题意可得,年收入的均值=×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,故A正确;由题意可得
年份x 1 2 3 4 5 6 7
收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
1.96 1 0.49 0.01 0.25 0.81 2.56
所以年收入的方差
s2=×(1.96+1+0.49+0.01+0.25+0.81+2.56)=≠1.2,故B错误;因为7×0.75=5.25,所以年收入的上四分位数为从小到大排列的第6个数据,是5.2,故C错误;因为年份的平均数=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,即样本中心点为(4,4.3),所以=-0.5=4.3-0.5×4=2.3,故D正确.
4.选ABD　
P(A)=P(B)=,∴A正确;A,B相互独立,P(AB)=P(A)P(B)=,∴B正确;∵A,B相互独立,∴,B也相互独立,故P(B|)====,∴C错误;P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,∴D正确.
易错提醒:D选项,由于误认为事件A与事件B为互斥事件,得到P(A+B)=P(A)+P(B),从而漏选D.
5.选ABC　
∵X~N(2,σ2),且P(0≤X≤2)+P(X≥t)=P(2≤X≤4)+P(X≥t)=0.5,∴t=4,故A正确;
∵E(X)=2,∴E(Y)=E(X)=2,∵Y~B(4,p),
∴E(Y)=4p=2,∴p=,故C正确;
∵Y~B,∴P(2≤Y≤3)=+=,故B正确;
∵D(Y)=4××=1,
∴D(4Y)=16D(Y)=16,故D错误.
6.选BCD　
事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生,所以不是互斥事件,故A错误;设A=“第一次向上的点数是1”,B=“两次向上的点数之和是7”,则P(A)=,P(B)==,P(AB)=,因为P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立,故B正确;由x1,x2,x3,x4,x5,2的平均数是7,得x1,x2,x3,x4,x5的平均数为8.由x1,x2,x3,x4,x5,2的方差是6,则(++++)-14(x1+x2+x3+x4+x5)+72×5+25=36,所以(++++)-16(x1+x2+x3+x4+x5)+82×5=6,所以x1,x2,x3,x4,x5的方差为[(++++)-16(x1+x2+x3+x4+x5)+82×5]=,故C正确;由X~B(10,0.8)得,当X=r(1≤r≤10,r∈Z)时,P(X=r)=·,当r≥2时,令==≥1,即r≤,令==≥1,解得r≥,即≤r≤,所以当r=8时,P(X=8)最大,故D正确.
易错提醒:由于不能利用作商法得到P(X=r)=·的最大值而漏选D.
7.选BCD　
因为X~B(n,p),所以P(X=5)=p5(1-p)n-5,故A错误;Y=k表示进行了k次,前k-1次未发生,所以P(Y=k)=p(1-p)k-1,故B正确;P(Y=3)=p(1-p)2=p3-2p2+p,令φ(p)=p3-2p2+p,p∈(0,1),所以φ'(p)=3p2-4p+1=(3p-1)(p-1)=0,解得p=或p=1(舍去).当p∈时,φ'(p)>0,φ(p)在单调递增.当p∈时,φ'(p)<0,φ(p)在单调递减,所以φ(p)max=φ=,即P(Y=3)的最大值为,故C正确;E(Y)=p+2p(1-p)+3p(1-p)2+…=,所以2p(1-p)+3p(1-p)2+…=-p,　①
用1-p代换p得,2(1-p)p+3(1-p)p2+…=-(1-p),　②
由①②得E(Z)=2[(1-p)p+p(1-p)]+3[(1-p)p2+(1-p)2p]+…=2p(1-p)+3p(1-p)2+…+2(1-p)p+3(1-p)p2+…=-p+-(1-p)=-1,故D正确.
8.选ACD　
由题意P(B|A)>P(B),故A正确;由P(A)P(B|A)>P(A)P(B),则P(AB)>P(A)P(B).
又P(AB)+P(A)=P(A)P(B|A)+P(A)P(|A)=P(A),于是P(AB)>P(B)[P(AB)+P(A)],即P(AB)-P(AB)P(B)>P(B)P(A),因此>,即>,则P(A|B)>P(A|),故B错误;P(5.35<ξ<5.55)=P(5.40-0.05<ξ<5.40+3×0.05)=P(μ-σ<ξ<μ+3σ)=[P(μ-σ<ξ<μ+σ)+P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)]=×(0.682 6+0.997 4)=0.84,故C正确;m~B(M,0.84),P(m=45)=×0.8445×0.16M-45,设f(x)=×0.8445×0.16x-45,==0.16×>1,解得x<≈52.6,f(53)>f(52),由==0.16×<1,解得x>=53+,即f(53)>f(54),所以P(m=45)取得最大值时,M的估计值为53,故D正确.