多选题增分专练(七)　解析几何（含解析）2026届高中数学二轮复习多选题增分专练

多选题增分专练(七)　解析几何
1.(2024·昆明模拟)设直线l:y=kx-1(k∈R)与圆C:x2+y2=6,则下列结论正确的为 (　　)
A.直线l与圆C可能相离
B.直线l不可能将圆C的周长平分
C.当k=2时,直线l被圆C截得的弦长为
D.直线l被圆C截得的最短弦长为2
2.(2024·太原三模)已知曲线C:x2+y2cos α=1(0<α<π),则下列结论正确的是 (　　)
A.曲线C可能是直线 B.曲线C可能是圆
C.曲线C可能是椭圆 D.曲线C可能是双曲线
3.(2024·深圳模拟)设椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是 (　　)
A.|PF1|+|PF2|=5
B.离心率e=
C.△PF1F2面积的最大值为12
D.以线段F1F2为直径的圆与圆(x-4)2+(y-3)2=4相切
4.(2024·汕头三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,动点P在C上,若定点M(2,)满足|MF|=2|OF|,则下列结论正确的是 (　　)
A.C的准线方程为x=-2
B.△PMF周长的最小值为5
C.四边形OPMF可能是平行四边形
D.·的最小值为-3
5.(2024·吕梁三模)已知椭圆+=1(a1>b1>0)的离心率为e1,双曲线-=1(a2>0,b2>0)的离心率为e2,两曲线有公共焦点F1,F2,P是椭圆与双曲线的一个公共点,∠F1PF2=60°,则以下结论正确的是 (　　)
A.-=-
B.+=1
C.=3
D.若e2∈[,2],则e1∈
6.已知圆O:x2+y2=r2(r>0),直线l:y=k(x+2).当k=1时,直线l与圆O有且仅有一个公共点,则下列说法正确的是 (　　)
A.若动点P到定点(-4,0)的距离是到定点(-1,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹为圆O
B.若直线l和圆O交于M,N两点,且OM⊥ON,则k的值为±
C.设Q(x,y)为圆O上任意一点,则的取值范围是
D.若直线l与圆O相交于A,B两点,则△AOB面积的最大值为2
7.已知O为坐标原点,椭圆T:+=1的右焦点为F,过点F的直线交椭圆T于A,B两点,则下列结论正确的是 (　　)
A.|AB|的最小值为
B.若M(异于点F)为线段AB的中点,则直线AB与OM的斜率之积为-
C.若=-2,则直线AB的斜率为±
D.△AOB面积的最大值为3
多选题增分专练(七)　解析几何
1.选BD　
因为直线l过定点(0,-1),且点(0,-1)在圆C内,所以直线l与圆C必相交,A错误;
若直线l将圆C的周长平分,则直线l过原点,此时直线l的斜率不存在,但这是不可能的,所以B正确;
当k=2时,直线l的方程为2x-y-1=0,圆心C到直线l的距离为=,所以直线l被C截得的弦长为2=,C错误;
因为圆心C到直线l的距离为d=≤1,所以直线l被C截得的弦长为2≥2,当且仅当k=0,即d=1时,等号成立,D正确.
2.选ACD　
因为α∈(0,π),所以cos α∈(-1,1).当cos α=0时,曲线C:x=±1为直线,故A正确;如果曲线C是圆,则cos α=1,矛盾,故曲线C不可能是圆,故B错误;当cos α∈(0,1)时,曲线C可化为x2+=1,且>1,表示焦点在y轴上的椭圆,故C正确;当cos α∈(-1,0)时,曲线C为焦点在x轴上的双曲线,故D正确.
易错提醒:解答本题容易忽视当α=时,cos α=0,曲线C可能是直线,漏掉选项A.
3.选BCD　
因为椭圆C:+=1,则a=5,b=4,c=3,由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2a=10,故A错误;
由椭圆离心率公式可得e==,故B正确;因为|F1F2|=2c=6,设点P到x轴的距离为h,显然hmax=b=4,则△PF1F2面积的最大值为=|F1F2|·b=×6×4=12,故C正确;
线段F1F2的中点为(0,0),则以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=9,其圆心为(0,0),半径r=3,且圆(x-4)2+(y-3)2=4的圆心为(4,3),半径R=2,则两圆的圆心距为d==5=r+R,即两圆外切,故D正确.
4.选BD　
因为抛物线C的焦点为F,准线方程为x=-,又点M(2,)满足|MF|=2|OF|,则 =2×,整理得3p2+8p-28=0,解得p=2或p=-(舍去),即抛物线C:y2=4x,所以准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),故A错误;
过点P作准线x=-1的垂线,垂足为H,由抛物线的定义可知|PH|=|PF|,
则△PMF的周长C△PMF=|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|MF|+|PH|=|PM|+|PH|+2≥|MH|+2=5,当且仅当M,P,H三点共线时取等号,所以△PMF周长的最小值为5,故B正确;
过点M作OF的平行线,交抛物线于点P,即解得即P,则|MP|=2-=≠|OF|,所以四边形OPMF不是平行四边形,故C错误;
设P,则=(1,),=,可得·=+y=-3≥-3,当且仅当y=-2时,等号成立,所以·的最小值为-3,故D正确.
5.选BCD　
根据题意,设F1(-c,0),F2(c,0),因为椭圆与双曲线有公共焦点,可得所以-=+,即-=+,所以A错误;
不妨设点P在第一象限,由椭圆和双曲线的定义,可得所以|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.又由余弦定理得=+-2|PF1|·|PF2|cos 60°,可得4c2=2+2-(-)=+3,所以+=+==1,所以B正确;
由-c2=3c2-3,可得=3,所以C正确;
因为e2∈[,2],所以∈,由+=1可得∈,所以e1∈,所以D正确.
6.选ACD　
由题意知直线x-y+2=0与圆O相切,则=r,即r=2,故圆O的方程为x2+y2=4.设P(x,y),则由题意知=2,整理得x2+y2=4,故动点P的轨迹方程就是圆O的方程,所以动点P的轨迹为圆O,所以A正确;
由于OM⊥ON,|OM|=|ON|,所以△MON是等腰直角三角形,所以圆心到直线l的距离d==×2=,解得k=±,所以B错误;
=1+,可看作点Q(x,y)与点R(-4,2)连线的斜率.
设=t,则y=tx+4t+2,如图所示,当直线y=tx+4t+2与圆x2+y2=4相切时,
t取得最值,此时=2,解得t=0或t=-,则-≤≤0,故=1+∈,所以C正确;由题意知△AOB的面积S=×2×2×sin∠AOB=2sin∠AOB,由B可知,当k=±时∠AOB=,sin∠AOB取得最大值1.
(注意:对前面选项的结论的应用)
故△AOB面积的最大值为2,所以D正确.
7.选BC　
易知当直线AB垂直于x轴时,|AB|取得最小值,由椭圆T的方程知F(1,0),当x=1时,y=±,所以|AB|的最小值为3,故A错误;
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),x1≠x2,x0≠0,
因为M为线段AB的中点,所以x0=,y0=.又点A,B在椭圆T上,所以+=1,+=1,两式相减得=-·=-·,所以·=-,即直线AB与OM的斜率之积为-,故B正确;
易知直线AB的斜率存在且不为零,设直线AB的方程为x=my+1,代入椭圆T的方程得(3m2+4)y2+6my-9=0,则y1+y2=,y1y2=.因为=-2,所以y1=-2y2,所以y1+y2=-y2=,则y2=,y1=,所以y1y2=·=,解得m=±,所以直线AB的斜率为±,故C正确;
△AOB的面积S=|OF||y1-y2|=|y1-y2|==,令 =t,则t≥1,S==.因为函数y=3t+在t∈[1,+∞)上单调递增,所以当t=1,即m=0时,△AOB的面积取得最大值,且最大值为,故D错误.