多选题增分专练(八)　新定义问题（含解析）2026届高中数学二轮复习多选题增分专练

多选题增分专练(八)　新定义问题
1.麦克斯韦妖,是在物理学中假想的妖,能探测并控制单个分子的运动,是第二类永动机的一个范例.而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论.设随机变量x的所有取值为1,2,…,n,且P(x=i)=Pi>0(i=1,2,…,n), Pi=1,定义x信息熵H(x)=- Pilog2Pi,则下列说法正确的是 (　　)
A.当n=1时,H(x)=0
B.当n=2时,若P1∈,则H(x)与P1正相关
C.若P1=P2=,Pk+1=2Pk(k≥2,k∈N),则H(x)=2-
D.若n=2m,随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m,且P(y=j)=Pj+P2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(x)≥H(y)
2.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急.约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件.恩格斯曾经把对数的发明称为17世纪数学的三大成就之一. 已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 2 024≈3.306 2, 则下列说法正确的是 (　　)
A.若正实数x,y,z满足3x=4y=6z ,则 +=
B.若一个正整数n的20次方是一个13位整数,则n=4
C.2 0242 024是位数为6 692的正整数
D.将无理数log35写成小数形式后,其小数点后第一位数字为4
3.正态分布是一种重要的概率分布,它是由德国数学家、天文学家棣莫弗于1733年提出,但由于德国数学家高斯率先应用于天文学研究,故正态分布又称为高斯分布,记作X~N(μ,σ2).当μ=0,σ=1的正态分布称为标准正态分布,如果令Z=,则可以证明Z~N(0,1),即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布,如果Z~N(0,1),那么对任意的a,通常记Φ(a)=P(Z参考数据:可供查询的(部分)标准正态分布N(0,1)对应的概率值.
a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36
Φ(a) 0.594 8 0.598 7 0.606 4 0.636 8 0.640 6
A.已知Φ(a)=0.7,则P(|Z|B.Φ(a)+Φ(-a)=1
C.按以往的统计数据,该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占40%,据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108(精确到整数)
D.已知该市考生约有10 000名,某学生此次检测数学成绩为110分,则该学生在全市排名大概位于3 630~3 640名之间
4.如图,曲线C:x3+y3-3axy=0(a>0)过原点,其渐近线方程为l:x+y+a=0,则下列结论正确的是 (　　)
A.曲线C关于直线y=x对称
B.点(a,a)位于曲线C围成的封闭区域(阴影部分)外
C.若(x0,y0)在曲线C上,则-aD.曲线C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为
5.我们把方程xex=1的实数解称为欧米伽常数,记为Ω,Ω和e一样,都是无理数,Ω还被称为指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是 (　　)
A.Ω∈(0.5,1)
B.ln=Ω
C.Ω=uu,其中u=
D.函数f(x)=的最小值为f(Ω)
6.在股票市场中,股票的价格是有界的,投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险,这种变化的价格类似于我们数学中的数列,定义如果存在正数M,使得对一切正整数n,都有|an|≤M,则称{an}为有界数列,数列收敛指数列有极限,我们把极限存在(不含无穷大)的数列称为收敛数列,如数列an=,显然对一切正整数n都有|an|≤1,而的极限为0,即数列{an}既有界也收敛,如数列bn=(-1)n,显然对一切正整数n都有|bn|≤1,但不存在极限,即数列{bn}有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列是 (　　)
A.an=sin B.an=cos
C.a1=2,a2=3,an= D.an=
7.约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体(包括13种阿基米德多面体、无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱)以外,所有由正多边形面组成的凸多面体.其中,由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体,又叫帐塔、平顶塔,是指在两个平行的多边形(其中一个的边数是另一个的两倍)之间加入三角形和四边形所组成的多面体.各个面为正多边形的台塔,包括正三、四、五角台塔.如图是所有棱长均为1的正三角台塔,则该台塔 (　　)
A.共有15条棱 B.表面积为3+2
C.高为 D.外接球的体积为
8.中国结是一种手工编织工艺品,其外观对称精致,符合中国传统装饰的习俗和审美观念,中国结有着复杂曼妙的曲线,其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系xOy中,到两定点F1(-a,0),F2(a,0)距离之积为常数a2的点的轨迹C是双纽线.若M(3,0)是曲线C上一点,则下列结论正确的是 (　　)
A.曲线C的图象关于原点对称
B.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)
C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
D.曲线C上有且仅有3个点P满足|PF1|=|PF2|
多选题增分专练(八)　新定义问题
1.选ABD　
当n=1时,i=1,P1=1,因此H(x)=-(1×log21)=0,A正确;
当n=2时,P1∈,H(x)=-P1log2P1-(1-P1)·log2(1-P1),令f(t)=-tlog2t-(1-t)log2(1-t),t∈,则f'(t)=-log2t+log2(1-t)=log2>0,即函数f(t)在内单调递增,所以H(x)与P1正相关,B正确;
因为P1=P2=,Pk+1=2Pk(k≥2,k∈N),所以Pk=P2×2k-2==(k≥2,k∈N),则Pklog2Pk=·log2=-(k≥2,k∈N),而P1log2P1=log2=-,于是H(x)=-Pklog2Pk=+++…++=-++++…++,令Sn=+++…++,则Sn=+++…++,两式相减得Sn=+++…+-=-=1-,因此Sn=2-,则H(x)=-+Sn=-+2-=2-,C错误;
H(x)=- Pilog2Pi=Pilog2=P1log2+P2log2+…+P2m-1log2+P2mlog2,H(y)=(P1+P2m)log2+(P2+P2m-1)·log2+…+(Pm+Pm+1)·log2=P1log2+P2log2+…+P2m-1log2+P2mlog2,由于Pi>0(i=1,2,…,2m),即有>,则log2>log2,因此Pilog2>Pilog2,所以H(x)>H(y),所以H(x)≥H(y)成立,D正确.
2.选BCD　
令3x=4y=6z=k,则x=log3k,y=log4k,z=log6k,所以+-=+-=logk3+logk4-logk6=logk=logk2≠0,故A错误;
设n20=k,则20lg n=lg k,则当n=3时,20lg 3≈20×0.477 1=9.542,此时lg k≈9.542,则k≈109.542=100.542×109,因为100.542∈(1,10),所以不符合题意;当n=4时,20lg 4≈40×0.301 0=12.04,此时lg k≈12.04,则k≈1012.04=100.04×1012,因为100.04∈(1,10),所以符合题意;
当n=5时,20lg 5≈20×(1-0.301 0)=13.98,此时lg k≈13.98,则k≈1013.98=100.98×1013,因为100.98∈(1,10),所以不符合题意,当n≥5时,位数一定超14位,故B正确;
设2 0242 024=t,则2 024lg 2 024=lg t,因为lg 2 024≈3.306 2,所以2 024lg 2 024≈2 024×3.306 2=6 691.748 8,则lg k≈6 691.748 8 k≈106 691.748 8=100.748 8×106 691,同理100.748 8∈(1,10),所以2 0242 024是位数为6 692的正整数,故C正确;
log35===≈=≈1.465 101 66,故D正确.
3.选BCD　
因为Φ(a)=0.7,即P(Za)=1-P(Za)=0.4,故A错误;因为Φ(a)+Φ(-a)=P(Za)=1,故B正确;
由题意可知P(Z>a)=1-Φ(a)=0.4,即Φ(a)=0.6,对比表格可知0.25由题意可知a==0.35,且Φ(0.35)≈0.636 8,可得P(Z>0.35)=1-Φ(0.35)≈0.363 2,则10 000×0.363 2=3 632,所以该学生在全市排名大概位于3 630~3 640名之间,故D正确.
4.选ACD　
若把曲线C的解析式x3+y3-3axy=0中的x,y互换,则方程不变,故曲线C的图象关于直线y=x对称,A正确;
点(a,a)在第一象限,且a3+a3-3a3=-a3<0,故点(a,a)位于曲线C围成的封闭区域(阴影部分)内,B错误;
曲线在渐近线x+y+a=0的上方,故y0>-x0-a,即y0+x0>-a.又当(x0,y0)在第一象限内时,由+-3ax0y0=0,得+=(x0+y0)(-x0y0+)=3ax0y0,故x0+y0==≤3a,当且仅当x0=y0=时,等号成立,故-a因为曲线C在第一象限内的点满足x3+y3-3axy=0,故3axy=x3+y3≥2,即xy≤,当且仅当x=y=时,等号成立,故曲线C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为,D正确.
5.选AB　
由xex=1得ex-=0,设g(x)=ex-,因为g(x)单调递增,则Ω为g(x)的唯一零点,因为g(0.5)·g(1)=(-2)(e-1)<0,故Ω∈(0.5,1),故A正确;
由题意ΩeΩ=1,所以eΩ=>0,故ln eΩ=ln,即ln=Ω,故B正确;
若Ω=uu,其中u=,则Ω=, 故ln=ln=,由选项B可知ln=Ω,因为ln=≠Ω=,显然不成立,故C错误;
由f(x)=(x>0),得f'(x)=,设h(x)=xex+ln x+x+1,则h'(x)=(x+1)>0,故h(x)在(0,+∞)上单调递增,因为ΩeΩ=1,ln=Ω,即ln Ω=-Ω,故h(Ω)=2>0,故 x0>0且x0<Ω,使得h(x)在(x0,Ω)上有h(x)>0,此时f'(x)>0,f(x)在(x0,Ω)上单调递增,故f(Ω)不是f(x)的最小值,故D错误.
6.选AC　
思维路径:根据数列的通项公式(递推公式)列出数列的前几项,结合所给定义判断即可.
因为an=sin,所以an={-1,1,-1,…},所以|an|≤1,但是an的极限不存在,即an=sin有界但不收敛,故A正确;
因为an=cos,所以an={0,0,0,0,…},所以an=0,且an的极限为0,所以an=cos有界且收敛,故B错误;
因为a1=2,a2=3,an=,所以a3==,a4===,a5===,a6===,a7===2,a8===3,所以an=,所以|an|≤3,但是an的极限不存在,所以有界但不收敛,故C正确;
因为an=,所以an=,所以an的极限为0,且|an|≤1.所以an=有界且收敛,故D错误.
7.选ACD　
台塔下底面6条棱,上底面3条棱,6条侧棱,共15条棱,A正确;台塔表面有1个正六边形,3个正方形,4个正三角形,由所有棱长均为1,得表面积为S=6××1×1×+3×1×1+4××1×1×=3+,B错误;
如图①,上底面正三角形ABC在下底面正六边形DEFGHI内的投影为△A'B'C',则点O'是正六边形DEFGHI的中心,也是△A'B'C'的中心,
△A'B'C'和△O'DE都是正三角形,C'是△O'DE的中心,由棱长为1,得EC'=,所以台塔的高CC'===,C正确;如图②,设上底面正三角形ABC的外接圆圆心为O1,则半径r1=,
下底面正六边形DEFGHI的外接圆圆心为O2,则半径r2=1.
设台塔的外接球的球心为O,半径为R,OO2=a,则有a2+12=+或a2+12=+,解得a=0,所以R=r2=1,则台塔的外接球体积V=πR3=,D正确.
8.选AC　
|PF1|·|PF2|=·=a2,化简得到=2a2(x2-y2),将M(3,0)代入可得2a2=9,所以曲线C:=9(x2-y2).把(-x,-y)代入=9(x2-y2)得=9(x2-y2),所以曲线C的图象关于原点对称,故A正确;
令y=0,解得x=0,x=±3,即曲线经过(0,0),(3,0),(-3,0),结合图象,得-3≤x≤3.令x=±1,得y2=<1,令x=±2,得1由(x2+y2)2=9(x2-y2),可得x2+y2=≤9,所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离d=≤3,故C正确;
点P满足|PF1|=|PF2|,则P在F1F2的垂直平分线上,则xP=0,设P(0,yP),则()2=a2,所以yP=0,故只有原点满足,故D错误.