北京市牛栏山第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京牛栏山一中高一（上）期中
数 学
第 I卷
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分，四个选项中只有一个正确选项）
A = 1,0,1,2,3 ,B = x∣x 3
1. 设集合 ，则 A B =（ ）
A. 1,0,1,2,3 B. 1,0,1,2 C. 1,0,1 D. 0,1
2. 设 a,b,c为实数，且 a b 0 c，则（ ）
A. ac bc B. a c b + c
1 1
C. D. a + c b c
a c
3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 (0,+ )上单调递增的函数为（ ）
x y = x x y = lnx y = x 1A. y = 2 B. C. D.
4. “ lg x lg y”是“ x y”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3
5. 函数 f (x) = 2x 的零点所在的区间为（ ）
x
1 1 3 3
A. 0, B. ,1 C. 1, D. , 2
2 2 2 2
x
6. 函数 y = 的图象大致为（ ）
x2 +1
A. B. C. D.
x x
7. 函数 f (x) = 2 + 4 （ ）
A. 有最大值，也有最小值
B. 没有最大值，有最小值
C. 有最大值，没有最小值
D. 没有最大值，也没有最小值
8. 点声源在空间中传播时，衰减量 L（单位：分贝）与传播距离 r（单位：米）的关系式为
第1页/共8页
πr2
L =15lg ，取 lg 3 0.5, lg 5 0.7 ，则 r从 6 米变化到 30 米时，衰减量的增加值约为（ ）
4
A. 21dB B. 20dB C. 18dB D. 14dB
2
9. 已知函数 f (x) = x + log2 x，若 f (x +1) 5，则 x的取值范围是（ ）
A. ( 1,1] B. (0,1] C. ( ,1) D. ( ,1]
(4 a)x, x 1
10. 已知函数 f (x) = x ， (a 0且 a 1)在 R上存在最值，则 a的取值范围是（ ）
a , x 1
A. {a | a 4} B. {a | a 4或0 a 1}
C. {a | a 4或0 a 1} D. {a | a 4或1 a 2}
第 II卷
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分）
1
11. 函数 f (x) = lg (x +1)+ 的定义域为______.
x 2
12. 根式 m 3 m 2 化成分数指数幂为___________．
13. 设a = 0.3 5 ,b = 2.10.2 ,c = log 3 ，则 a,b,c的大小关系是___________．（用“>”号连接） 0.3
x
1
14. 已知函数 f ( x)是定义在 R上的奇函数，当 x 0 时， f (x) = 1，则函数 f ( x)的值域为
2
___________；不等式 f (x) log2 (x +1)的解集为___________．
ax, x 0

15. 已知函数 f (x) = 1 ，下列说法正确的是___________． 2
x ax + , x 0
4
1
①函数 f ( x)的图象恒过定点 0, ；
4
②若函数 f ( x)在R 上单调，则 a 0 ；
③若方程 f (x) = k可能有 5 个实数根，则 a的取值范围是 a 1；
④当 a 0 时，必存在点M (m,m)在函数 f ( x)的图象上．
三、解答题（本大题共 6小题，共 85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．）
16. 已知集合 A ={x | 4 x +1 7},B = x | x2 2x 3 0 ,C ={x | a 1 x 2a +1}．
（1）求 A B；
（2）若 A C，求实数 a的取值范围；
（3）若B C ，求实数 a的取值范围．
第2页/共8页
17. 化简下列各式，并求值．
2
0.5 1
（1） 16
0
( ) 2 1
3
+ 3
log2 3
+ 2
9 3 8
1
（2） log3 +lg4+2lg5+log48
27
ax 1
18. 已知函数 f (x) = （ a为常数， a 0 ，且 a 1）
ax +1
（1）判断 f ( x)的奇偶性，并用定义证明：
（2）当a = 3时，证明：函数 f ( x)在定义域内单调递增；
3
（3）求使不等式 f (x) 成立的 x的取值集合．
4
19. 经检测，餐后 4 小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度 y1 与时间 t满足关系式：
y1 = 8 2t (0 t 4)．服用药物 N 后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度 y2 与时间 t满足关系式：
2 t ,0 t 1

y2 = 4 ，现假定某患者餐后立刻服用药物 N ，且血液中微量元素总浓度 y等于 y1 与 y2 的
6 ,1 t 4
t
和．（参考数据： 2 1.41, 3 1.73）
（1）求 4 小时内血液中微量元素总浓度 y的最高值；
（2）若餐后 4 小时内，血液中微量元素总浓度 y不低于 8 的累积时长不少于 2.5 小时，则认定该药物治疗
有效，否则需调整治疗方案，请你判断是否需要调整治疗方案，并说明理由．
2
20. 已知二次函数 f (x) = 2x 4ax + 5．
（1）若存在实数 x，使得 f (x) 0 成立，求实数 a的取值范围；
（2）已知函数 f ( x)的定义域为 1,a ，其中常数 a 1，求 f ( x)的值域；
（3）若函数 f ( x)在区间 ( ,3]上单调递减，且对任意的 x1, x2 1,a + 2 ，总有 f (x1 ) f (x2 ) 24
恒成立，求实数 a的取值范围．
21. 若在定义域内存在实数 x0 使 f (x +1) = f (x )+ f (1)成立，则称函数有“漂移点” x0 0 0 ．
1
（1）请判断函数 f (x) = 是否有漂移点？并说明理由；
2x
（2）求证：函数 f (x) = x2 + 2x在 (0,1)上存在漂移点；
2
（3）若函数 f (x) = lg 2 在 (0,+ )上有漂移点，求实数 a的取值范围．
a (x +1)
第3页/共8页
参考答案
第 I卷
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分，四个选项中只有一个正确选项）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A C D D A A C
第 II卷
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分）
1 x +1 0
11. 【答案】函数 f (x) = lg (x +1)+ 需满足 ，
x 2 x 2 0
解得 x 1 且 x 2 ，
1
故函数 f (x) = lg (x +1)+ 的定义域为 ( 1,2) (2,+ )，
x 2
故答案为： ( 1,2) (2,+ )
1
1 2 1 1 2 1
12. 【答案】 m·3 m 2 = m·(m 2 )3 = m·m 3 = m3 = m3 6 = m .

1
故答案为：m6 .
13. 【答案】由 c = log 3 log 5 0 0 0.2 ，即b a c . 0.3 0.31= 0 a = 0.3 0.3 =1= 2.1 b = 2.1
故答案为：b a c
x x
1 1
14. 【答案】因为 y = 单调递减，所以当 x 0 时， y = 的值域为(0,1)，
2 2
x
1
所以 f (x) = 1 ( 1,0) ，且单调递减，
2
因为函数 f ( x)是定义在 R上的奇函数，图象关于原点对称，
所以当 x 0 时， f ( x)单调递减，且此时 f (x) (0,1)，
又 f (0) = 0，
综上， f ( x)的值域为 ( 1,1) ；
令 x +1 0，解得 x 1，
所以 y = log2 ( x +1)在 ( 1,+ )上单调递增，且当 x = 0 时， y = 0 ，
又 f ( x)在 R上单调递减，且 f (0) = 0，
所以当 1 x 0 时， f (x) log2 (x +1)，
第4页/共8页
综上， f (x) log ( 1,0]2 (x +1)的解集为 .
故答案为： ( 1,1) ， ( 1,0]
2 1 1 1
15. 【答案】由解析式知 f (0) = 0 a 0+ = ，即函数图象恒过定点 0, ，①对，
4 4 4
1 a
y = x2 ax + 的开口向上，且对称轴为 x = ，
4 2
当 a 0 时 y = ax在 ( , 0)上单调递减，值域为 (0,+ )，
2 1 1y = x ax + 在[0,+ ) 上单调递增，值域为[ ,+ )，
4 4
显然 f ( x)在R 上不单调，且 f (x) = k最多有 2 个根，
当 a = 0 时，在 ( , 0)上 f (x) = 0 ，显然 f ( x)在R 上不单调，
1 1
y = x2 + 在[0,+ ) 上单调递增，值域为[ ,+ )，则 f (x) = k有 0 个、1 个或无数个根，
4 4
当 a 0 时 y = ax在 ( , 0)上单调递增，值域为 ( , 0)，则 y = f (x) 值域为 (0,+ )，
1 a a 1 a2
y = x2 ax + 在[0, ) 上单调递减，在 ( + ) 上单调递增，值域为[ ,+ )
4 2 2 4
( ) ( ) 1 a
2
显然 f x 在R 上不单调，且 f x = k在 0，即0 a 1时最多有 3 个根，
4
1 a2
若 0，即 a 1时， f ( x)在[0,+ ) 上有 2 个零点，记为 x1, x2 ，且 x2 x1 0 ，
4
a a
在[0, x1), ( , x2 ) 上 y = f (x) 单调递减，在 (x y = f x1, ), (x2 ,+ ) 上 ( ) 单调递增，
2 2
此时 f (x) = k可能存在 5 个根，其中 y = f (x) 大致图象如下，
综上，函数 f ( x)在R 上不单调，②错，方程 f (x) = k可能有 5 个实数根，则 a 1，③对，
1 1 1 1 1
当 a = 0 时，在[0,+ ) y = x
2
上 + 与 y = x有交点 ( , )，即M ( , ) ，
4 2 2 2 2

y = x2
1
ax + 2 1
当 a 0 时，在[0,+ ) 上 4 ，则 x (a +1)x + = 0，
4
y = x
第5页/共8页
a +1 0
1
显然 = (a +1)
2 4 1 = a2 + 2a 0，且 1 ，即上述方程在[0,+ ) 上有根，
4 0
4
所以存在点M (m,m)在函数 f ( x)的图象上，④对.
故答案为：①③④
三、解答题（本大题共 6小题，共 85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．）
16. 【答案】（1）
由题设 A ={x | 3 x 6},B = x (x +1)(x 3) 0 ={x | x 1或 x 3}，
所以 A B ={x | x 1或 x 3}；
（2）
a 1 3
5
由 A C，则 2a +1 6 ，可得 a 4 ；
2
a 1 2a +1
（3）
a 1 2a +1 a 1 2a +1
由 B C ，则 或 ，可得 2 a 0或 a 1 .
a 1 1 2a +1 3
17. 【答案】（1）
1
2
0.5 1 216 0 2 1 4 2
2
3( ) log 3 3

+ 3 2 3 3 + 2 = +1 (2 ) + 3
9 3 8 3 2
4 2
= + 4+3 =1 .
3 3
（2）
1 3 3 1
log3 +lg4+2lg5+log48=log 3
3
3 +lg4+lg25+log 2
3
2 = 3+ lg10
2 + = 3+ 2+ = .
27 2 2 2 2
18. 【答案】（1）
f ( x)为奇函数，证明如下：由解析式知函数定义域为R ，
a x 1 1 ax
且 f ( x) = = = f (x)，所以 f ( x)为奇函数，
a x +1 1+ ax
（2）
3x 1 2
f (x) = =1 ，任取 x1, x2 R ，且 x x ，
3x +1 3x
1 2
+1
2 2 2 2
则 f (x1) f (x2 ) =1 (1 ) = x1 x x x3 +1 3 2 +1 3 2 +1 3 1 +1
第6页/共8页
x x x x
2(3 1 +1) 2(3 2 +1) 2(3 1 3 2 )
= =
x2 x x x(3 +1)(3 1 +1) (3 2 +1)(3 1 +1)
x x
因为 x x1 x21 x2 ，所以3 3 0 ，3
2 +1 0,3 1 +1 0 ，
所以 f (x1 ) f (x2 ) 0，即 f (x1 ) f (x2 )，
所以函数 f ( x)在R 上单调递增；
（3）
ax 1 3 x 3
由 f (x) = ，得a 1 (ax +1)，所以 a x 7，
ax +1 4 4
当 a 1时，可得 x loga 7 ，当0 a 1时，可得 x loga 7 ，
综上，当 a 1时，不等式解集为 x x loga 7 ，当0 a 1时，不等式解集为 x | x loga 7 .
19. 【答案】（1）
8 2t + 2 t ,0 t 1

根据题意 y = 4 ，
14 2t ,1 t 4
t
2
1 17 17
当0 t 1时， y = 2 t + ，其最大值为 ；
2 2 2
2
当1 t 4时， y =14 2 t + 在 1, 2 )单调递增，在 ( 2, 4)单调递减，其最大值为14 4 2 ； t
17 17
又 14 4 2 ，故当 t 0, 4 时， y的最大值为 ，
2 2
17
即 4 小时内血液中微量元素总浓度 y的最高值为 ；
2
（2）
当0 t 1时，令8 2t + 2 t 8，则 t ( t 1) 0，解得 t 0,1)；
4
当1 t 4时，令14 2t 8，则 t 2 3t + 2 0 ，解得 t 1, 2 ；
t
故血液中微量元素总浓度 y不低于 8 的累积时长为 2 小时，需要调整治疗方案.
20. 【答案】（1）
2
由题意，在R 上 f (x) = 2x 4ax +5 0 能成立，
= ( 4a)2
10 10
所以 4 2 5 =16a2 40 0，可得a 或 a ；
2 2
（2）
f (x) = 2x2 4ax + 5图象的开口向上，对称轴是 x = a 1，
第7页/共8页
2
故 f (x) 在 1,a 上单调递减，而 f (1) = 7 4a， f (a) = 5 2a ，
所以 f ( x)的值域为[5 2a2 ,7 4a]；
（3）
因为 f (x) 在区间 ( ,3]上是减函数，所以 a 3，
因此任意的 x1, x2 1,a + 2 ，总有 f (x1 ) f (x2 ) 24，
而 a 1 (a + 2) a = 2，只需 f (x) f (x) = f (1) f (a) 24即可，
max min
所以7 4a (5 2a2 ) 2 24，即 a2 2a 11 0，则 (a 1) 12，解得1 2 3 a 1+ 2 3，
又 a 3，因此 a 3,1+ 2 3 .
21. 【答案】（1）
1 1 1 1
假设函数 f (x) = 有漂移点 x0 ，则 = + ，
2x 2(x0 +1) 2x0 2
1
即 x
2
0 + x0 +1= 0，由于 = 3 0，所以此方程无实数根，与假设矛盾，所以函数 f (x) = 没有漂移
2x
点.
（2）
2
令 g (x) = f (x +1) f (x) f (1) = (x +1) + 2x+1 x2 2x 3 = 2 x+2x 2 ，
因为 g (0) = 1， g (1) = 2 ，根据零点存在性定理得，函数 g (x)在 (0,1)至少有一个零点 x0 ，即
g (x0 ) = 0，即 f (x0 +1) = f (x0 )+ f (1) f (x) = x
2 x
，所以函数 + 2 在 (0,1)上存在漂移点.
（3）
由对数函数的定义域得 a 0 ，
2
若函数 f (x) = lg 2 在 (0,+ )上有漂移点 x
( ) 0
，
a x +1
2 2 1 1
则 lg = lg + lg = lg2 2 2 ，
a (x 2a 20 + 2) a (x0 +1) a (x0 +1)
2
2 1 1
即 =2 2 ，整理得 2a = 1+ ,
(x0 + 2) a (x0 +1)

x0 +1
2
1 1
因为 x0 (0,+ )，所以 1+ (1, 4)，即a , 2 ,
x0 +1 2
1
所以实数 a的取值范围 , 2 .
2
第8页/共8页