北京市清华大学附属中学2025一2026学年上学期九年级12月阶段性反馈数学试题(PDF版,含答案)

2025北京清华附中初三 12月月考
数 学
（清华附中初 23级）2025.12
一、选择题（本题共 24分，每小题 3分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. “赠人玫瑰手有余香，志愿服务助人为乐”，下列志愿服务标志中为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用配方法解方程 x2 6x 8 = 0时，配方结果正确的是（ ）
2 2
A. (x 3) =17 B. (x + 3) =14
2 2
C. (x 6) = 44 D. (x 3) =1
3. 若△ABC∽△DEF ， AB和DE是对应边，且 AB = 2 ，DE = 3，则 ABC与 DEF 的周长比是
（ ）
A. 1: 2 B. 1: 4 C. 2:3 D. 4 : 9
4. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ）
A. sin30 B. sin45 C. cos60 D. tan45
5. 如图， AB是 O的弦，半径OC ⊥ AB于点 D．若 AB = 24 ，OC =13，则OD的长是（ ）
13
A. 4 B. 5 C. 8 D.
2
6. 二次函数 y x2的图象向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）
2 2
A. y = ( x + 3) + 2 B. y = ( x 3) + 2
2 2
C. y = (x + 3) 2 D. y = (x 3) 2
7. 2025 年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的
DeepSeek，豆包，Kimi三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（ ）
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1 1 1 1
A. B. C. D.
6 2 3 9
y = ax28. 对于二次函数 + bx + c (a 0)，定义其图象上点 (x, y)的“点值”为 t = x + y．已知该抛物线
过点 (0, 2)，顶点的“点值”为 4，且与 x轴的两交点的“点值”之和为 4，对于上述二次函数，下列结
论中正确的有（ ）
①b = 4；
②其图象与 x轴的两个交点均在 y轴右侧；
③其图象上有两个点的“点值”为 0；
④存在实数 t0 ，使得函数图象上有且仅有一个点以 t0 为“点值”．
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ②③④
二、填空题（本题共 24分，每小题 3分）
2
9. 抛物线 y = x 2x的顶点坐标为_______．
2 2
10. 关于 x的一元二次方程 (k 1) x + x + k + 2k 3 = 0有一个根为 0，则 k的值为_______．
11. 如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时
针转动了120 ，此时砝码被提起了____________ cm．（结果保留 ）
12. 在Rt△ABC中， C = 90 ， tanA = 3，则 cosA的值为_______．
13. 关于 x的一元二次方程 x2 + 3x = m有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是______．
14. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边
DF保持水平，并且边DE与点 B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE = 20cm ，EF = 10cm ，得
边DF离地面的高度 AC =1.6m，CD = 8m，则树高 AB是_______ m．
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15. 如图，A，B为圆 O上两点， AOB = 60 ，C为圆 O上一动点（不与 A、B重合），D为 AC 的中
点．若圆 O的半径为 2，则线段 BD的长的最大值为_______．
16. 桌子上从左至右依次放着四件物品，分别记为 A，B，C，D．现将这四件物品按以下步骤操作：
第一步：A与左边的物品交换位置；
第二步：B与右边的物品交换位置；
第三步：C与左边的物品交换位置；
第四步：D与右边的物品交换位置．
在操作过程中，若物品左边或右边无其它物品则不需要交换
（1）若这四件物品初始摆放位置从左到右是“A，B，C，D”，完成步操作后，从左到右的物品顺序是
_______；
（2）若完成四个步骤后，C的位置与初始位置完全相同，且 D最终在最右侧，那么这四件物品的初始摆
放位置从左到右依次是_______．（填一种即可）
三、解答题（本题共 72分，其中 17、18、20、21、23题每小题 5分，19、22、24、25题每
小题 6分，26题 7分，27、28题每小题 8分）
2
1
17. 计算： + 2cos30 ∣1 3∣+ 12 ．
2
18. 解方程： x2 + 4x = 7 ．
19. 已知2a2
2
3a + 7 = 0，求代数式 (a 4) + a (a + 5)的值．
20. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知线段 AB，其中点 A( 1, 2)，点B ( 3,1)；
（1）在图中画出线段 AB关于原点中心对称的图形 A B ，并标注字母；
（2）点 A 的坐标为_______；点 B 的坐标为_______；
（3）sin A OB = _______．
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21. 如图，在四边形 ABCD中， AC平分 BAD， ACD = B = 90 ．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若 AB = 3， AD = 4，求 AC的长．
2
22. 二次函数 y = ax + bx + c (a 0)的图象经过点 ( 1,0)；当 x =1时，该函数有最小值为 4．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在坐标系中直接画出该二次函数图象和一次函数 y = x 3的图象；
（3）直线 y = m与抛物线的交点为 A( x1,y1 )，B (x2,y2 )，和直线 y = x 3的交点为C ( x3 ,y3 )，当
x3 x1 x2 时，直接写出 x1 + x2 + x3 的取值范围．
23. 国产 AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别
以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四
类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互
相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选
择一类进入直播间听讲解．
（1）甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______；
（2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率．
24. 如图，在三角形 ABC中，点 E为 AB边上一点，以 AE为直径的 O与直线BC相切于点 D，点 D在
线段 BC上，连接 AD，若 AC = AD．
（1）求证： CAD = 2 DAB；
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3
（2）若BE = 2， sinB = ，求 AC的长．
5
2
25. 某型号清洁机器人在执行任务时，其“清洁效率”C (m / min )和“系统功率”P (W )会随移动速度
v (m / s)发生变化．技术人员在标准测试环境下记录了实验数据：
移动速度 v (m / s) 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
2
清洁效率C (m / min ) 2.8 6.7 9.0 9.8 10.0
系统功率 P (W ) 10 16 22 28 34
【模型说明】
Ⅰ．功率模型：系统功率 P与速度 v之间近似满足一次函数关系．
Ⅱ．效率模型：清洁效率理论上等于速度与清扫宽度的乘积，但实测数据显示增长趋势逐渐放缓，这是因
为在较高速度下，单次清扫的清洁度会下降（例如，有更多灰尘未被吸入），导致“有效清洁面积”的增
长速度低于理论值．本实验数据反映的是综合了覆盖速度与清洁效果的“有效清洁效率”
（1）分析数据，可以发现，可以用函数刻画清洁效率 C与移动速度 v之间的关系，在给出的平面直角坐
标系中，画出该函数的图象；
（2）若要求系统功率 P不超过 26W ，则移动速度 v的最大允许值为_______ m / s ；
C
（3）为优化机器人性能，技术人员定义综合性能指标： t = （单位功耗创造的清洁效率）．
P
①满足 t 0.35的速度范围约为_______ v _______；（结果保留一位小数）
②在此速度范围内，清洁效率 C的最小值约为_______ m2 / min ．（结果保留一位小数）
26. 在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y = ax
2 4a2x (a 0)．
（1）求抛物线的对称轴（用含 a的式子表示）；
（2）M (x1,y1 )和N (x2 ,y2 )是抛物线上的两点，若对于1 a x1 2 a， x2 = 4a，还有 y1 y2 ，求 a
的取值范围．
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27. 如图，60 PAQ 90 ，点 B为射线 AP上一定点，点 C为射线 AQ上一动点，连接BC，D为线
段 BC上一点， BAD = 60 ，将线段 BD绕点 B顺时针旋转60 得到线段 BE，连接 AE，DE，线段
DE与 AC交于点 F，当点 C运动到如图所示位置时，有 ADE = BCA = ．
（1）①请补全图形；②求 BAC的大小（用 表示）；
（2）若CF = AF + AE，用等式表示DF与 EF 的数量关系并证明．
28. 在平面直角坐标系 xOy中，对于 P内的一点 M，若存在点 N使得线段MN 的中点恰好在 P上，则
称点 N是点M关于 P的“关联点”；特别地，当点 N是点 M关于 P的“关联点”且 PMN 为直角三
角形时，则称点 N是点M关于 P的“直角关联点”．
（1）如图，已知点 A(0,1)， O的半径为 2．
( ) 12 11 ①在点 B1 15,0 ，B2 , ，B3 (0, 4)中，点 A关于 O的“关联点”是_______；
5 5
②若点 B是点 A关于 O的“直角关联点”，且点 B在第一象限，直接写出点 B的坐标；
③若直线 y = kx + b(k 0) 上有且只有一个点是点 A关于 O的“关联点”，且该点恰好为点 A关于 O
的“直角关联点”，直接写出 k的值；
（2）已知 P的半径为 3，若存在半径为 r的 T ，对于 T 上的任意一点 Q，都存在 P上的点 C与
P内一点 D，满足CD =1，且点 Q为点 D关于 P的“直角关联点”，直接写出 r的取值范围．
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参考答案
一、选择题（本题共 24分，每小题 3分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D B D D D
二、填空题（本题共 24分，每小题 3分）
y = x2 2
2
9. 【答案】解： 2x = (x 2x +1) 1= (x 1) 1，
所以抛物线的顶点坐标为 (1, 1) .
故答案为： (1, 1) .
2 2
10. 【答案】解： x = 0是关于 x的一元二次方程 (k 1) x + x + k + 2k 3 = 0的一个根
∴把 x = 0 代入方程中得： k 2 + 2k 3 = 0，
即 (k +3)(k 1) = 0
解得： k1 = 3,k2 =1，
k 1 0，
k 1，
k = 3，
故答案为： 3．
120 6
11. 【答案】解：根据题意，砝码提起的长度为： =4 (cm)，
180
故答案为： 4 ．
12. 【答案】解：在Rt△ABC中， C = 90 ， tanA = 3，
BC
即 = 3，
AC
设 AC = x，则 BC = 3x，
由勾股定理，得 AB = AC2 + BC2 = x2 + (3x)2 = 10x2 = 10x，
AC x 1 10
∴ cos A = = = = ．
AB 10x 10 10
10
故答案为： ．
10
13. 【答案】解： x2 + 3x = m，
整理得 x2 + 3x m = 0，
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∵关于 x的一元二次方程 x2 + 3x = m有两个不相等的实数根，
∴ = 3
2 4 ( 1) ( m) 0，
9
解得m ，
4
9
故答案为：m ．
4
14. 【答案】解： FED = BCD = 90 ，且 D = D，
FED∽ BCD，
EF DE 0.1 0.2
= ，即： = ，
CB DC CB 8
解得： BC = 4 m，
AB = BC + AC = 4+1.6 = 5.6（m），
树高 AB是5.6m ，
故答案为：5.6．
1
15. 【答案】解：如图，取OA的中点 E，连接OC,BE,DE，则EA = EO = OA =1，
2
∵D为线段 AC的中点，
∴DE是 OAC的中位线，
1
∴DE = OC =1，
2
∴EO = EA = DE ，即 D是以点 E为圆心，1 为半径的圆上的一点，
∴线段 BD长度的最大值即是点 B与 E 上的点的最大距离，
如图，当点 D在线段 BE的延长线上时，即 BD在 E 的直径上，线段 BD的长度取得最大值，
连接 AB，
∵ AOB = 60 ，OA =OB = 2，
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∴ AOB为等边三角形，
∵ E为OA的中点，
∴ BE ⊥OA，
∴ BE = OB2 OE2 = 3 ，
∴线段 BD长度的最大值为BE +DE = 3 +1．
故答案为： 3 +1．
16. 【答案】解：（1）初始顺序为 A,B,C,D，
第一步：A与左边物品交换，但 A位于最左侧，无物品可交换，顺序不变，仍为 A,B,C,D；
第二步：B与右边物品交换，B位于第 2 位，右边为 C，交换后顺序为 A,C,B,D；
第三步：C与左边物品交换，C 位于第 2 位，左边为 A，交换后顺序为 C, A,B,D；
第四步：D与右边物品交换，D位于第 4 位，无右边物品，不交换，顺序仍为C, A,B,D；
（2）若初始顺序为C, A,B,D，
∴第一步：A与左边物品交换，顺序为 A,C,B,D；
第二步：B与右边物品交换，交换后顺序为 A,C,D,B；
第三步：C与左边物品交换，交换后顺序为 C, A,D,B；
第四步：D与右边物品交换，交换后顺序为C, A,B,D，此时，C的位置与初始位置完全相同，且 D最终
在最右侧，
故答案为：①C, A,B,D，②C, A,B,D（答案不唯一）．
三、解答题（本题共 72分，其中 17、18、20、21、23题每小题 5分，19、22、24、25题每
小题 6分，26题 7分，27、28题每小题 8分）
2
1
17. 【答案】解： + 2cos30 ∣1 3∣+ 12
2
3
= 4+ 2 +1 3 + 2 3
2
= 4+ 3 +1 3 + 2 3
= 5+ 2 3 .
18. 【答案】解： x2 + 4x = 7 ，
∴ x2 + 4x + 4 =11，
2
∴ (x + 2) =11，
∴ x + 2 = 11 ，
解得： x 1 = 2+ 11， x2 = 2 11．
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19. 【答案】解：∵2a2 3a + 7 = 0，
∴ 2a2 3a = 7，
2
∴ (a 4) + a (a + 5)
= a2 8a +16+ a2 + 5a
= 2a2 3a +16
= 7 +16
= 9 ．
20.【答案】（1）
解：如图，线段 A B 即为所求；
（2）
解：∵点 A( 1, 2)，点B ( 3,1)，且点 A,B关于原点中心对称的点是 A ,B ，
∴ A (1, 2)， B (3, 1)，
故答案为： (1, 2)， (3, 1)；
（3）
解：∵ A (1, 2)， B (3, 1)，
2 2
∴OA = 12 + 22 = 5 ， A B = (3 1) + ( 2+1) = 5 ，OB = 12 + 32 = 10 ，
∴OA 2 + A B 2 =OB 2 ，OA = A B ，
∴ OA B = 90 ，
∴△OA B 为等腰直角三角形，
∴ A OB = 45 ，
2
∴ sin A OB = ，
2
2
故答案为： ．
2
21. 【答案】（1）
证明：∵ AC平分 BAD，
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∴ BAC = CAD，
∵ ACD = B = 90 ，
∴△ACD∽△ABC；
（2）
解：∵△ACD∽△ABC，
AC AD AC 4
∴ = ，即 = ，
AB AC 3 AC
∴ AC = 2 3 （负值舍去）．
22. 【答案】（1）
解：∵当 x =1时，该函数有最小值为 4，
∴抛物线的顶点坐标为 (1, 4)，
2
设抛物线的解析式为 y = a (x 1) 4 ，
将点 ( 1,0)代入得：0 = 4a 4 ，
解得： a =1，
2
∴抛物线的解析式为： y = (x 1) 4 = x2 2x 3 .
（2）
解：当 y = 0 时， x2 2x 3 = 0，
解得： x1 = 1, x2 = 3，
∴与坐标轴的交点为 ( 1,0) ,(3,0)，
当 x = 2时， y = 5，当 x = 4 时， y = 5，
∴抛物线经过点 ( 2,5) ,(4,5)，
用五点法画图二次函数图象如下：
∵ y = x 3，
当 x = 0 ， y= 3，当 y = 0 ，则 x = 3，
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∴ y = x 3的图象与坐标轴的交点坐标为： (3,0)， (0, 3) .
一次函数 y = x 3的图象所示.
（3）
解：∵直线 y = m与抛物线的交点为 A( x1, y1 )，B (x2 , y2 )，
∴点 A、B关于对称轴对称，
x
∴ 1
+ x2 =1，
2
∴ x1 + x2 = 2，
y = x2 2x 3
联立 ，
y = x 3
x = 0 x = 3
解得 或 ，
y = 3 y = 0
∴抛物线与 y = x 3交点的横坐标为 0 或 3，
当 y = x 3 = 4时， x = 1，
∵ x3 x1 x2 ，如图所示：
∴ 1 x3 0，
∴ 1+ 2 x1 + x2 + x3 2+ 0 即1 x1 + x2 + x3 2 ．
23. 【答案】（1）
∵共有 4 个主题，
1
∴甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是 ；
4
（2）
列表如下：
乙
A B C D
甲
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A (A,B) (A,C ) (A,D)
B (B, A) (B,C ) (B,D)
C (C, A) (C,B) (C,D)
D (D, A) (D,B) (D,C )
共有 12 中等可能结果，其中甲乙都没有选择“D．专家系统”的共有 6 种结果．
6 1
所以 P（甲乙都没有选择“D．专家系统”）= = ．
12 2
24.【答案】（1）
证明：连接OD，
∵以 AE为直径的 O与直线 BC相切于点 D，
∴ ODC = 90 = 2+ 3，
∵OD =OA，
∴ 1= 2，
设 1= 2= ，则 3 = 90 ，
∵ AC = AD，
∴ C = 3 = 90 ，
∴ CAD =180 C 3 = 2
∴ CAD = 2 DAB；
（2）
解：过点D作DH ⊥ AB于点 H ，
∵以 AE为直径的 O与直线 BC相切于点 D，
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∴OD ⊥ BC ，
设OA =OD =OE = 3x，
∵ BE = 2
3 OD 3x
∴ sinB = = =
5 OB 3x + 2
∴ x =1，
∴OA =OD =OE = 3，OB = 5
∴ BD = OB2 OD2 = 4，
1 1
∵DH BO = BD OD ，
2 2
BD OD 12
∴DH = = ，
BO 5
9
∴OH = OD
2 DH 2 = ，
5
9 24
∴ AH = AO +HO = 3+ = ，
5 5
12
∴ AC = AD = AH
2 +DH 2 = 5．
5
25. 【答案】（1）
解：如图：
（2）
解：设系统功率 P与速度 v之间的函数解析式为 P = kv + b，
10 = 0.3k +b
将 (0.3,10)， (0.6,16)代入得： ，
16 = 0.6k +b
k = 20
解得： ，
b = 4
即 P = 20v + 4，
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∵ P 26 ，
∴ 20v + 4 26 ，
解得： v 1.1，
即移动速度 v的最大允许值为1.1 m / s ；
故答案为：1.1；
（3）
①解：由（1）中图象可知，清洁效率 C与速度 v之间近似满足二次函数关系，
设二次函数解析式为C = av2 + bv + c，
6.7 = a 0.62 + b 0.6+ c

将 (0.6,6.7)， (0.9,9.0) 2， (1.2,9.8)代入得： 9.0 = a 0.9 + b 0.9+ c，

9.8 = a 1.2
2 + b 1.2+ c
6.7 = 0.36a + 0.6b + c

即 9.0 = 0.81a + 0.9b + c

9.8 =1.44a +1.2b + c
25
a = 3

121
解得： b = ，
6
c = 2.4


25 121
即C = v
2 + v 2.4 ，
3 6
25 121
v2 + v 2.4
∴ C ，
t = = 3 6
P 20v + 4
当 t 0.35时，
25 121
v2 + v 2.4
3 6 0.35
20v + 4
25 121
v2 + v 2.4 7v +1.4
3 6
25
v2
79
+ v 3.8 0，
3 6
25 2 79
当 v + v 3.8 = 0时，
3 6
2
79 25 6241 380 6241 4560 1681
Δ = 4 ( 3.8) = = =
6 3 36 3 36 36 36
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79 1681 79 41 79 41

6 36
v = = 6 6
79 41
= 6 6 = ，
25 50 100 100
2
3 3 6
79+ 41 120 38
解得： v1 = = =1.2,v2 = = 0.38 0.4，
100 100 100
65
∵ 0，
9
65 2
∴当 v +12v 3.8 0时， 0.4 v 1.2，
9
故答案为：0.4 ，1.2；
25 2 121
②解：C = v + v 2.4 ，
3 6
121 121 121
v = 6 = 6 = 6
121
对称轴为直线 = =1.21 1.2，
25 50 100 100
2
3 3 6
25
∵ 0， 0.4 v 1.2，
3
∴在此速度范围内，清洁效率 C最小时 v = 0.4，
25 2 121 4 121
此时C = 0.4 + 0.4 2.4 = + 2.4 4.3．
3 6 3 15
故答案为： 4.3．
26. 【答案】（1）
2 2
解：抛物线 y = ax 4a x (a 0)，
4a2
∴对称轴直线为 x = = 2a；
2a
（2）
解：∵ x2 = 4a，
y = a(4a)2∴ 2 4a
2 (4a) =16a3 16a3 = 0，
∴ 当1 a x1 2 a，都有 y1 0，
抛物线 y = ax2 4a2x = ax(x 4a)，根为 x = 0 和 x = 4a，
①当 a 0 时，开口向上，对称轴直线为 x = 2a，
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∵ y1 y2 = 0 ，
∴0 x1 4a，且1 a x1 2 a，
∴1 a 0且 2 a 4a，
由 1 a 0 得 a 1；
2
由 2 a 4a 得 2 5a，即a ；
5
2
∴ a 1 ；
5
②当 a 0 时，开口向下，对称轴直线为 x = 2a，
∵ x = 4a 0， y1 0
∴ x1 4a或 x1 0 ，
∵ a 0 ，
∴1 a 1 0 ， 2 a 2 0，即当1 a x1 2 a时始终有 x1 0 ，
∴ 对于所有 1 a x1 2 a，都有 y1 0；
2
综上， a 的取值范围为 a 0 或 a 1．
5
27. 【答案】（1）
解：①如图，补全图形如下：
②∵线段 BD绕点 B顺时针旋转60 得到线段 BE，
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∴ BD = BE， DBE = 60 ，
∴ BDE为等边三角形，
∴ BED = 60 = BDE，
∴ BAD = BED = 60 ，
如图，记 AD,BE的交点为K ，
∵ AKB = DKE ，
∴ ABK = ADE = ，
∵ ACB = ，
∴ BAC =180 60 =120 2 .
（2）
解：如图，延长CA至 I ，且 AI = AE，则 I = AEI ，
∵CF = AF + AE，
∴CF = AF + AI = FI，
∵ BAD = BED = 60 ， AKB = EKD，
∴ AKB∽ EKD，
AK BK
∴ = ，
EK DK
∵ BKD = AKE ，
∴ BKD∽ AKE，
∴ KAE = DBK = 60 ，
∵ BAC =120 2 ，
∴ DAC =120 2 60 = 60 2 ，
∴ FAE = 60 (60 2 ) = 2 ，
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∵ FAE = I + AEI = 2 I ，
∴ I = = DCF ，
∵ IFE = CFD，
∴ IEF≌ CDF，
∴ EF = DF .
28. 【答案】（1）
0 15 1+ 0 15 1
解：① AB1的中点坐标为 , ，即 , 2 2
，
2 2
2 2
15 1
该点与圆心 O的距离为 + = 2，故点 B1符合定义；
2 2
12 11
0 1+
AB 5 5
6 8
2 的中点坐标为 , ，即 , ，
2 2 5 5

2 2
6 8
该点与圆心 O的距离为 + = 2，故点
B2 符合定义；
5 5
0+ 0 1 4 3
AB3 的中点坐标为 , ，即 0, ，
2 2 2
2
3 3
该点与圆心 O的距离为 02 + = 2，故点
B3不符合定义；
2 2
故答案为： B1， B2 ．
②根据定义， OAB为直角三角形，
∵O (0,0)， A(0,1)，
由图可知，若 AOB = 90 ，则点 B在 x轴上，不符合题意；
若 ABO = 90 ，则OB OA =1 2，则点 B在 O内，不符合题意；
故只有 OAB = 90 一种情况，
∴ AB ⊥ y轴，
∴点 B的纵坐标为 1，
0+ x 1+1 x
设 B ( xB ,1)
B
，则 AB的中点坐标为
B
, ，即 ,1 ，
2 2 2
2
x
∴ B
2
+1 = 2，
2
解得 x = 2 3 ，或B xB = 2 3 （由题意，负值舍去），
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∴ B (2 3,1)．
③设该点为点C (c,kc + b)，
由定义，可知 AC的中点坐标为
0+ c 1+ kc +b c 1+ kc +b
, ，即 , ，
2 2 2 2
2 2
c 1+ kc +b
由定义，得 + = 2
2 ，
2 2
(1+ k 2 )c2整理，得 + 2(b+1)kc + b2 + 2b 15 = 0，
∵有且只有一个点满足定义，
2
∴ = 2(b+1)k 4(1+ k
2 )(b2 + 2b 15) = 0，
∴16k 2 b2 2b +15 = 0，
求点 A关于 O的“直角关联点”，由②可知， ACO = 90 的情况不存在，
所以分两种情况：
当 AOC = 90 时，由②可知，点 C在 x轴上，∴C (c, 0)，
0+ c 1+ 0 c 1
此时 AC的中点坐标为 , ，即 , ，
2 2 2 2
2 2
c 1
∴ + = 2，
2 2
解得 c = 15 ，或 c = 15 ，
∴ 15k + b = 0，即b = 15k 或 15k + b = 0，即b = 15k，
分别代入16k 2 b2 2b +15 = 0，解得 k = 15 （负值已舍去），
当 OAC = 90 时，由②可知， c = 2 3 ，或 c = 2 3 ， kc + b =1，
∴ 2 3k + b =1，即b =1 2 3k，或 2 3k + b =1，即b =1+ 2 3k，
分别代入16k 2 b2 2b +15 = 0，解得 k = 3 （负值已舍去），
∴ k的值为 15 或 3 ．
（2）
解：如图，构造 P，由题意，可知，点 D在以点 C为圆心，1 为半径的圆上，且在 P内，
当 PDQ = 90 时，由图可知，点 D存在两种临界情况，即点 D在 P上，为最近端，和点 D在PC
上，为最远端，
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显然，当点 D在 P上时，记为D1 ，此时点 Q也在 P上，
当点 D在 PC上时，记为D2 ，设此时D2 的“直角关联点”为点 M，中点为 N ，
∴ PD2 = PC CD2 = 3 1= 2 ，
∴D N = PN 2 PD 22 2 = 9 4 = 5 ，
∴D2M = 2D2N = 2 5 ，
∴ PM = PD 22 +D M
2
2 = 4+ 20 = 2 6 ，
∴当 T 的圆弧均在如图所示的圆环中时，满足题意，
分两种情况，第一种： T 的圆心在圆环中，直径小于圆环宽度，即 2r PM PC = 2 6 3，
3
∴0 r 6 ，
2
第二种， T 的圆心与点 P重合，圆弧在圆环内，且当 T 为圆环最外部时仍满足题意，即
PC r PM ，
∴3 r 2 6 ，
当 DPQ = 90 时，由图可知，点 D存在两种临界情况，即点 D在 P上，为最近端，和点 D在PC
上，为最远端，
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当点 D在 P上时，记为D1 ，设此时D1 的“直角关联点”为点M1 ，中点为 N1，
∵ D1PM1 = 90 ，
∴D1M1 = 2PN1 = 6，
∴ PM1 = DM
2 PD 2 ， 1 1 1 = 3 3
当点 D在 PC上时，记为D2 ，设此时D2 的“直角关联点”为点 M，中点为 N ，
同理，可得D2M 2 = 2PN2 = 6 ，
∴ PM = D M 2 2 ， 2 2 2 PD2 = 4 2
4 2 3 3 3 3同之前说理，分两种情况，第一种： T 在圆环内，此时0 r = 2 2 ，
2 2
第二种： T 的圆心与点 P重合，此时3 3 r 4 2 ，
3
综上，0 r 6 ，或3 r 2 6 ，或3 3 r 4 2 ．
2
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