7.1为什么要证明寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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7.1为什么要证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某班级到劳动实践基地参加活动，基地指导老师让同学排成一列纵队后，按照从前到后的顺序四人一组，根据李明和张雪的对话
给出以下四个结论：
①如果李明和赵伟同一组，那么张雪和王凯也同一组；②如果李明和赵伟不同一组，那么张雪和王凯也不同一组；③如果张雪和王凯同一组，那么李明和赵伟也同一组；④如果张雪和王凯不同一组，那么李明和赵伟也不同一组．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①②③
2．下列推理正确的是（ ）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁
B．如果a>b，b>c，那么a>c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D．因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
3．下列说法正确的是（ ）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
4．对假命题“若，则”举反例，举例正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．用反证法证明命题“如果在钝角中，那么”时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．25的平方根是5 B．0.01的平方根是
C．只有正数才有算术平方根 D．平方根是其本身的数只有0
8．下列命题中正确的是（ ）
A．两边对应成比例的两个直角三角形相似
B．两角相等的三角形相似
C．所有的正边形都相似
D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似
9．某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（　　）
A．嫌疑犯乙 B．嫌疑犯丙 C．嫌疑犯甲 D．嫌疑犯甲和丙
10．下列命题是假命题的有（ ）
①若，则；②若a，b是有理数，则；③两点确定一条直线；④如果，那与是对顶角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列语句中命题的个数为（ ）
①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除
A．1 B．2 C．3 D．4
12．下面给出4个命题：①等边三角形一定是锐角三角形；②三角形的外角都大于它的任何一个内角；③若，则是的函数；④点不可能在第二象限．其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．
（1）“如果，那么”是一个假命题；
反例： ；
（2）“如果，那么”是一个假命题．
反例： ．
14．若要说明命题“若，则”是假命题，则任意举出一个反例，写出和的值： ．
15．观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式为 ；第6个算式为 ；用含有字母的式子表示第个算式为 ．
16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、G、H八道工序，加工要求如下：①工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，工序F须在工序C、D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C E F G H
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 3
若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 分钟．
17．某厂对A，B，C三种型号的彩电分别降价15%，10%，5%，因此该厂宣称其产品平均降价10%，你认为该厂的说法正确吗？ .（填“正确”或“不正确”）
三、解答题
18．四边形中，点E在边上，连接、．设，，，，给出下列五个关系式，①；②；③；④；⑤；将其中的三个关系作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．
(1)用序号写出一个真命题（书写形式如：如果xxx，那么xxx），并给出证明；
(2)用序号写出三个真命题（不需要证明）
(3)在本题可以书写的命题中，只有一个是假命题，是哪一个？说明理由．
19．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
20．当n为正整数时，的值一定是质数吗？
21．利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
22．你的眼睛可信吗？
(1)比较图①中线段a和b的大小；
(2)图②中由粗线围成的四边形是正方形吗？
23．写出下列命题的逆命题，并指出逆命题的真假．
（1）若，则；
（2）如果a，b都是偶数，那么是偶数．
24．如图，四边形中，点E在边上，连接、．给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．
(1)用序号写出一个真命题（书写形式如：如果×××，那么××）．并给出证明；
(2)用序号再写出三个真命题（不要求证明）．
《7.1为什么要证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D B A D C C C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键．
设中间隔着的人用代替，令右为前，左为后，则排序为：，，，王凯，，张雪，，赵伟，，，李明，，，，然后再根据选项分析即可．
【详解】解：依题意，设中间隔着的人用代替，令右为前，左为后，则排序为：
，，，王凯，，张雪，，赵伟，，，李明，，，
对于①，如果李明和赵伟同一组，满足四人一组，则有（赵伟，，，李明）这样排列，那么（王凯，，张雪，）为一组，故①正确；
对于②，如果李明和赵伟不同一组，那么可以排列（李明，，，），（，赵伟，，），则（，王凯，，张雪），故张雪和王凯可能在同一组，故②错误；
对于③，如果张雪和王凯同一组，那么可以排列（，王凯，，张雪），则（，赵伟，，），故李明和赵伟可能不在同一组，故③错误；
对于④，如果张雪和王凯不同一组，可以排列（，，，王凯），（，张雪，，赵伟），（，，李明，），符合题意李明和赵伟也不同一组；
或者可以排列（，，王凯，），（张雪，，赵伟，），（，李明，，），符合题意李明和赵伟也不同一组，故④正确，
故选：C．
2．B
【分析】根据判断命题的真假性，即可得到答案.
【详解】解：A、哥哥与弟弟的年龄差不变，故本项错误；
B、根据不等式性质，a>b，b>c，那么a>c，正确；
C、∠A与∠B相等是因为它们的度数相等，故本项错误；
D、对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，故本项错误；
故选择：B.
【点睛】本题考查了真假命题的判断，解题的关键是熟练的判断每个选项的真假性.
3．D
【详解】试题分析：依次分析各项，判断是否为真命题即可.
A、经验、观察或实验完全不一定能判断一个数学结论的正确与否，B、我们每个人都有学习推理的必要，C、对于自然数n，n2+n+37不一定是质数，故错误；
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个，本选项正确.
考点：命题与定理
点评：此类问题对常识性知识要求较高，贴近生活，在中考中较常见，常以选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
4．D
【分析】本题考查了举反例：符合命题条件，不符合命题结论的例子；根据题意，代入a与b的值，满足，但不满足的反例即可．
【详解】解：A、则，条件不成立，故不符合题意；
B、则，条件成立，结论成立，故不符合题意；
C、则，条件不成立，故不符合题意；
D、则，条件成立，且结论不成立，故符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】①无法证明；②条件不足，无法证明；③依据，运用勾股定理即可得到；④依据，且，运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到．
【详解】解：在四边形中，与不一定相等，
故①；②都不一定成立，
∵，
∴中，；
中，；
中，；
中，；
∴，故③正确；
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰三角形，，
是等腰三角形，，
∴
，故④正确．
综上所述，真命题的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握勾股定理以及等腰三角形的性质．
6．A
【分析】此题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题关键．
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可．
【详解】解：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，
用反证法证明命题“如果在钝角中，那么”时，应先假设．
故选：A．
7．D
【分析】根据平方根的概念判断即可．
【详解】解：A、25的平方根是±5，故本选项命题是假命题；
B、0.01的平方根是±0.1，故本选项命题是假命题；
C、正数和0都有算术平方根，故本选项命题是假命题；
D、平方根是其本身的数只有0，故本选项命题是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的概念，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．C
【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握相似图形的判定方法是解题的关键．
根据相似图形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A．当一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边对应成比例时，这两个直角三角形不相似，故该命题错误，不符合题意；
B．两角分别相等的两个三角形相似，该命题错误，不符合题意；
C．所有的正边形的内角都相等，对应边成比例，故所有的正边形都相似，命题正确，符合题意；
D．有两边成比例且夹角相等的三角形相似，命题错误，不符合题意；
故选：C．
9．C
【分析】根据大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走和条件（3）可知，案犯显然不是乙；根据条件（1）可知作案对象一定在甲、丙中间，或两人都是嫌犯．由（2）得，若丙作案，那么甲必作案，但是没有证据能够直接证明丙一定作案，所以嫌疑犯必是甲．
【详解】解：由于“大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走”，根据条件（3）可知：乙肯定不是主犯；
根据（1）可知：嫌疑犯必在甲和丙之间；
由（2）知：若丙作案，则甲必作案；
由于没有直接证明丙作案的证据，因此根据（1）（2）可以确定的是甲一定是嫌疑犯．
故选C．
【点睛】本题考查了推理与证明，解决问题的关键是读懂题意，能够运用排除法分析解决此类问题．
10．C
【分析】本题考查了真假命题的判断，根据平方根、两点确定一条直线、绝对值、对顶角的性质，逐个判断，即可得到答案．
【详解】若，则或，故①是假命题；
当，是有理数，且，符号相同时可以得到，故②是假命题；
两点确定一条直线，故③是真命题；
，和与不一定是对顶角，故④是假命题；
∴假命题有①②④
故选：C．
11．B
【分析】本题考查命题的定义，命题是指判断一件事情的语句，根据命题的定义依次判断即可．
【详解】解：命题是指判断一件事情的语句，
∴①④是命题，②③不是命题，
故选：B．
12．B
【分析】本题考查三角形的性质、函数的定义以及点的坐标相关知识，解题的关键是依据各知识点的定义和性质，对每个命题逐一进行分析判断．
依据等边三角形内角的度数及锐角三角形的定义判断命题①．根据三角形外角与内角的关系判断命题②．按照函数的定义判断命题③．通过假设点A在第二象限，列出不等式组并分析其解集情况来判断命题④．
【详解】①等边三角形的三个内角都相等，且都为．
因为锐角三角形是指三个角都小于的三角形，，所以等边三角形一定是锐角三角形，①命题正确，是真命题；
②三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，比如直角三角形中直角的外角是，并不大于直角本身，所以“三角形的外角都大于它的任何一个内角”错误，②是假命题；
③对于，当取一个正数时，比如，不是有唯一确定的值与对应．
根据函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，如果给定一个值，相应的就确定唯一的一个值，那么就称是的函数，所以不是的函数，③该命题错误，是假命题；
④假设点在第二象限，则横坐标，即；纵坐标，即．不存在既小于1又大于，所以不等式组无解，即点不可能在第二象限，④命题正确，是真命题．
综上，真命题有（1）（4），共2个，
故选：B．
13．
【解析】略
14．，（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可．
【详解】解：当，时，，
但，，
∴不成立．
∴命题“若，则”是假命题．
故答案为：，（答案不唯一）
15．
【分析】本题考查数字类规律探究，按照前三个算式的规律书写第4个算式，第6个算式即可；观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于，根据此规律写出即可；
【详解】解：由题意，可知：第4个算式为；
第6个算式为：；
∴第个算式为；
故答案为：，，．
16．28
【分析】本题考查逻辑推理，有理数的运算，结合题意进行正确的推理即可．
【详解】解：假设这两名学生为甲，乙，
∵工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序都需要 9 分钟完成，
∴甲学生做工序，乙学生做工序，需要 9 分钟，
然后甲学生做工序，同时乙学生做工序，
乙学生工序完成后接着做工序，
此时需要 9 分钟，
最后乙学生做工序，甲学生同时做工序完成后接着做工序，
此时需要 10 分钟，
则（分钟），
即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 28 分钟．
故答案为： 28 ．
17．不正确
【分析】设A，B，C三种型号的彩电的价格分别为x,y,z,那么它们总共降价了15%x+10%y+5%z,降价的百分比为：（15%x+10%y+5%z）÷（x+y+z），要使它等于10%，即（15%x+10%y+5%z）÷（x+y+z）=10%，解得x=z,也就是说如果A，C型号的彩电价格相同时，平均降价才为10%，故不正确．
【详解】本题应根据降价后的各个型号彩电的价格计算出平均价格，再计算平均降价，由于A，B，C三种型号彩电的价格不知道，因此根据平均数的定义无法计算此次降价的平均数，故该厂的说法不正确.
【点睛】本题考查算术平均数，根据算术平均数的定义只有A，B，C三种型号的彩电价格知道的情况下，才能计算其平均数．
18．(1)如果①②③，那么④⑤，证明见解析
(2)如果①②④，那么③⑤；如果①②⑤，那么③④；如果①③④，那么②⑤
(3)如果②③④，那么①⑤，理由见解析
【分析】（1）如果，那么④⑤；先根据，，利用证出，得出，再根据，得出，即可证出；
（2）根据命题的结构和有关性质、判定以及真命题的定义，写出命题即可；
（3）根据题意得到和和是全等的等边三角形，此时C、D、E在同一直线上，进而判断即可．
【详解】（1）解：（1）如果①②③，那么④⑤；理由如下：
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴；
（2）解：如果①②④，那么③⑤；如果①②⑤，那么③④；如果①③④，那么②⑤
（3）如果②③④，那么①⑤．
如图，和和是全等的等边三角形，此时C、D、E在同一直线上，
，，但与不平行．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本的性质和判定，灵活应用．
19．见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可．
【详解】解：已知：如图，，
求证：；
证明：过点作，如图，
∵，
，
，
，
三角形内角和．
20．不一定
【分析】寻找一个正整数n，代入代数式求解出结果，使得这个结果不是质数即可．
【详解】解：不一定．
∵当时，，是一个合数，
∴n为正整数时，的值不一定是质数．
【点睛】本题意在让学生继续体会：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，明白为什么需要证明．
21．见解析
【分析】延长CO至点E，使，连接AE、BE，然后证明四边形AEBC是矩形，再根据矩形的性质可得．
【详解】已知：中，，是斜边上上的中线；
求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
证明：如图，延长至点E，使，连接，
，点O为中点，
四边形AEBC是平行四边形，
，
平行四边形AEBC为矩形，
，
，
，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)由粗线围成的四边形是正方形
【分析】此题考查了比较线段的长度，正方形的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据度量法比较即可；
（2）根据正方形的定义判断即可．
【详解】（1）解：通过度量可得，；
（2）解：根据正方形的定义可得，由粗线围成的四边形是正方形．
23．（1）逆命题是：如果，则，是真命题；
（2）逆命题是：如果是偶数，那么a，b都是偶数，是假命题．
【分析】（1）根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题进行求解即可；
（2）根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题进行求解即可．
【详解】解：（1）若ab=0，则a=0的逆命题为：如果a=0，则ab=0；是真命题；
（2）如果a，b都是偶数，那么a+b是偶数的逆命题为：如果a+b是偶数，那么a，b都是偶数；是假命题．
【点睛】本题主要考查了写出命题的逆命题和判定命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握逆命题的定义．
24．(1)如果，那么；理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）如果，那么；先根据，，利用证出，得出，再根据，得出，即可证出；
（2）根据命题的结构和有关性质、判定以及真命题的定义，写出命题即可．
【详解】（1）解：（1）如果①②③，那么④⑤；理由如下：
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴；
（2）解：如果，那么；
如果，那么；
如果，那么．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本的性质和判定，灵活应用．
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