5.5三元一次方程组寒假练习 （含解析）北师大版数学八年级上册

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5.5三元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．三个整数a，b，c满足，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
3．解方程组时，要使解法较为简便，应先消去（　　）
A．x B．y C．z D．常数
4．解方程组时，要使解法较为简便，应（ ）
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数
5．观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（ ）
A． B． C． D．或
6．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（ ）
A． B． C． D．
7．三元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
8．已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜40元，阿俊打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜10元，则根据题意可得到下列哪一个结论（ ）
A．一份套餐的价钱必为140元 B．一份套餐的价钱必为120元
C．单点一片鸡排的价钱必为90元 D．单点一片鸡排的价钱必为70元
9．三堆西瓜共120个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的西瓜放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的西瓜放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的西瓜放入第一堆，这时三堆西瓜的个数恰好相等，则第一堆原有西瓜（ ）个．
A．30 B．35 C．50 D．55
10．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
11．某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（ ）
A．140元 B．145元 C．150元 D．165元
12．小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题
13．已知，则的值为 ．
14．方程组的解是 ．
15．方程组的解为 ．
16．已知每件A奖品售价相同，每件B奖品售价也相同，老师要网购A，B两种奖品共16件．若购买A奖品9件，B奖品7件，则电子钱包内的钱会差230元；若购买A奖品7件，B奖品9件，则电子钱包内的钱会剩余230元．老师实际购买了A奖品1件，B奖品15件，则电子钱包内的钱会剩余 元．
17．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙2件、丙1件，则需525元；若购买甲2件、乙3件、丙4件，则需675元；若购买甲、乙、丙各1件，则需 元．
三、解答题
18．解方程组．
19．解方程组：
(1)；
(2)
20．已知，当时，，当时，；当时，，求当时，的值．
21．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元，若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？
22．解下列方程或方程组
(1)
(2)
(3)
23．解方程：
（1） （2）
（3） （4）
24．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？
《5.5三元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C B B C D C D A
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】设■，▲，●，由题可得，则可求解．
【详解】解：设■，▲，●，
，
，
又，
，
，
，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三元一次方程的应用，理解题意，列出方程得出未知数的关系是解题关键．
2．C
【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出的值，进而求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
3．C
【分析】第一个方程中不含z，而第二个方程和第三个方程z的系数互为相反数，所以消去z，与①即可组成二元一次方程组，从而实现消元．
【详解】解： ，
得：④，
④与①即可组成二元一次方程组，
∴要使解法较为简单，应先消去z．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解三元一次方程组，灵活运用加减消元法是解答本题的关键．
4．B
【分析】观察方程组各未知数的系数，消去的计算量比较小，
本题考查了，消元法解方程组，解题的关键是：熟练掌握，消元法解方程组．
【详解】解：，
②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组，
故选：．
5．B
【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．
【详解】解：
方程①+②，②+③可直接消去未知数y，
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，列出方程组，解方程组求出、的值，再把出、的值代入计算即可．
【详解】解：如下图所示，
设中间小方格中的数是，
则有，
解得：，
，
，
的立方根是．
故选：C．
7．D
【详解】解：，
，得，
，得，解得，
把代入①，得，
把代入③，得，
则方程组的解为
故选：D．
8．C
【分析】设一片鸡排的价钱为x元，一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元，根据题意列方程组求解即可．
【详解】解：设一片鸡排的价钱为x元，一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元，
根据题意得：，
得：，
∴一片鸡排的价钱为90元．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设出未知数，根据题意找对等量关系是解决本题的关键．
9．D
【分析】此题考查了列三元一次方程组和解三元一次方程组的方法．设原来第1堆有x个西瓜，第2堆有y个西瓜，第3堆有z个西瓜．根据最后每堆有个西瓜列方程组求解．
【详解】解：设原来第1堆有x个西瓜，第2堆有y个西瓜，第3堆有z个西瓜，根据题意，得：
，
解得：．
即原来第1堆有55个西瓜．
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了三元一次方程组以及加减消元法，运用加减消元法消去c即可得到答案，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【详解】解：，
②﹣①，得，即④
②×3+③，得，即⑤
由④⑤可知，A选项正确，
故选：A．
11．B
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为元、元、元，根据B盒和C盒的成本列出方程组，通过消元法求出的值，再代入A盒的成本表达式求解即可．
【详解】解：设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为元、元、元，根据题意得：
，
则，
化简得：，
由得，
则A盒成本为：
（元），
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c的方程和得出关于a、b的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于a、b、c的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意把代入原方程组，得，
把代入，得，
可组成方程组，
解得，
则．
故选：D．
13．1
【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解．
【详解】解：
得
∴
故答案为：．
14．
【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解决问题的关键．由得，然后把分别代入①和③即可求解．
【详解】
得
解得
把代入①得
解得
把代入③
解得
∴
故答案为：
15．
【分析】本题考查了解三元一次方程组，先整理出，再代入，得出，再把代入，得出，则把代入解出，即可作答．
【详解】解：
由得出，整理得
把代入，得出
解得
把代入，得出
把代入，得出
∴方程组的解为
故答案为：
16．1610
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是找出等量关系列出方程组． 设A奖品的售价为元/件，B奖品的售价为元/件，电子钱包内的钱为元．根据两种卖法列出方程组得出和，然后把变形可得答案．
【详解】解：根据题意，得
由，得，即．
由，得，即．
所以，
所以电子钱包内的钱会剩余1610元．
17．240
【分析】本题考查三元一次方程组的应用．设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出的值即可．
【详解】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，
根据题意，得，
得：，
整理，得．
∴购买甲、乙、丙各1件，则需240元；
故答案为：240．
18．
【分析】先将比例式子转换为二元一次方程，再用加减消元法分别求出未知数的值．
【详解】解： 原方程组可转化为，
③×2-①，得：
④
用②×2+④×5，得：
，
解得：，
将代入①，得到：，
再将，代入③，得：，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解此题的关键是将比例算式化为二元一次方程．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
（1）先整理，再用加减消元法进行运算即可；
（2）先运用加减消元法把三元一次方程组化成二元一次方程组，再运用代入消元法进行运算即可．
【详解】（1）解：整理得，
得，
解得，
把代入②，得，
解得，
方程组的解为；
（2）解：，
得，
得，即，
得，
解得，
把代入④得，
解得，
把，代入①得，
解得，
方程组的解为．
20．28
【分析】根据题意先得到关于，，的三元一次方程组，进而即可求解．
【详解】根据题意，得

，得
解得
把代入，得

把代入，得

和组成二元一次方程组
解得

所以．
将代入，得
．
【点睛】本题主要考查解三元一次方程组，牢记解三元一次方程组的方法（通过代入法或加减法进行消元，将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组）是解题的关键．
21．105元
【分析】先设甲、乙、丙各一件分别需要x，y，z元，根据购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元，购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元，列出方程组求出的值即可.
【详解】解：设购甲、乙、丙各一件分别需要x，y，z元，根据题意得：
①×3-②×2得．
则现在购甲、乙、丙各一件共需105元
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据题意设出未知数，列出方程组，注意要把x，y，z以整体形式出现．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程，三元一次方程组，熟练掌握解题方法是解题的关键．
（1）按照移项，合并同类项，系数化1计算即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1计算即可；
（3）利用加减消元求解即可．
【详解】（1）解：
解得：，
∴原方程的解为：；
（2）解：，
∴原方程的解为：；
（3）解：，
得，，
得，，
解得，
将代入①得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
∴原方程组的解为：．
23．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题；
（2）先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题；
（3）三式相加得x+y+z=17，再求解即可解答本题；
（4）设x=3k，y=4k，z=5k，代入②，求得k的值，从而求得方程组的解．
【详解】解：（1），
将①代入②,得2y+z=13④，
将①代入③,得2y-2z=4⑤，
④-⑤，得z=3，
把z=3代入②,得y=5，
把y=5代入①,得x=6，
故原方程组的解是；
（2），
①+②，得3x+4z=-4④，
④+③，得7x=-14，
解得x=-2，
将x=-2代入④，得z=，
将x=-2代入①，得y=1．
故原方程组的解是；
（3），
①+②+③，得x+y+z=17④，
④-①，得z=3，
④-②，得x=6，
④-③，得y=8，
故原方程组的解是；
（4）
∵，
∴设x=3k，y=4k，z=5k，
代入②，得3k+4k+5k=36，
解得：k=3，
∴x=9，y=12，z=15，
故原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答．
24．他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
设他在甲换币机上换了次，乙换币机上换了次，丙换币机上换了次，根据甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．列出三元一次方程组，求出正整数解即可．
【详解】解：设他在甲换币机上换了次，乙换币机上换了次，丙换币机上换了次，
由题意得：，
整理得：，
又，且、、均为正整数，
∴当时，，不符合题意；当时，，此时；当时，，此时，不符合题意；
，
答：他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次．
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