5.4二元一次方程与一次函数寒假练习 （含解析）北师大版数学八年级上册

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5.4二元一次方程与一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
3．某生物小组观察一植物生长，得到株高y（厘米）与观察天数x的关系，并画出如图所示的图像（是线段，射线平行于x轴）．下列说法中，错误的是（ ）
A．该植物在50天后停止长高 B．该植物的株高最高为15厘米
C．AC所在直线对应的函数表达式为 D．第40天该植物的株高为14厘米
4．如图，直线与轴、轴交于，两点，的平分线交轴于点，则直线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数的图象与的图象交于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数说法不正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点
B．y随x的增大而增大
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
8．弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，有两点，现另取一点，满足：的值最小．则a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
10．执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
11．函数的图象与函数的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是
14．与二元一次方程对应的一次函数表达式是 ，是该方程的一个解，则对应一次函数图象上的一个点为（1， ）．
15．已知，当时，，则 ；y随x的增大而 ．
16．一个弹簧不挂重物时长，挂重物后伸长的长度与所挂重物的质量x成正比例．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：）与所挂重物质量（单位：）的函数解析式是 ．
17．一次函数与交于点C，则C点坐标为 ．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示．
(1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象；
(2)用作图象的方法解方程组：．
19．阅读材料，回答以下问题：
我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面直角坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上．
例如是方程的一个解，对应点，如下图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，另外方程的解还有对应点将这些点连起来正是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解．所以，我们就把条直线就叫做方程的图象．
一般的，任意二元一次方程解的对应点连成的直线就叫这个方程的图象．请问：
（1）已知、、，则点__________（填“A或或”）在方程的图象上．
（2）求方程和方程图象的交点坐标．
（3）已知以关于的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简．

20．如图，已知直线与直线交于点，点的纵坐标为1，且直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)连接，求．
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上点E处．

(1)求点E的坐标；
(2)求折痕所在直线的函数表达式；
(3)延长直线交x轴于点F，求的面积．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象交于点．
(1)求m与k的值；
(2)当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，直接写出n的取值范围．
23．已知平面直角坐标系中三点，试判断这三点是否在同一条直线上，并说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数图象交于点．
(1)求点的坐标，并求的面积；
(2)若直线与轴交于点，与直线或交于点，且的面积为的面积的2倍，求的值．
《5.4二元一次方程与一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C C B D B B C
题号 11 12
答案 D C
1．B
【分析】本题考查一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的关系．由图象交点坐标可得方程组的解．
【详解】解：由图象可得直线与直线相交于点，
则关于，的二元一次方程组的解为：
故选：B
2．A
【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
直接根据图象作答即可．
【详解】解：由图象可知直线与直线有公共点，
∴二元一次方程组的解为，
即二元一次方程组的解为，
故选：A．
3．B
【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，可判断A；设直线的解析式为，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式可判断C；把代入②的结论进行计算即可判断B；把代入②的结论进行计算可判断D．
【详解】解： 轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，故A的说法正确，不符合题意；
设直线的解析式为，
∵经过点，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，故C的结论正确，不符合题意；
当时，，即第50天，该植物的高度为16厘米，因此该植物的株高最高为16厘米，故B的说法错误，符合题意;
当时，，即第40天，该植物的高度为14厘米；故D的说法正确，不符合题意.
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
4．C
【分析】对于已知直线，分别令与为0求出对应与的值，确定出与的坐标，在轴上取一点，使，连接，由为的平分线，得到，利用得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式．
【详解】解：对于直线，
令，则；令，则，则，
，，即，，
根据勾股定理得：，
在轴上取一点，使，连接，
为的平分线，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，即，
设直线解析式为，
将与坐标代入得：，
解得：，
则直线解析式为．
故选：C．
【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
5．C
【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键；
根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解．
【详解】方程组的解即为方程组的解，
一次函数与的图象交于点，
方程组的解为，
即方程组的解为，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了两个一次函数交点坐标的求解，解题的关键是理解两函数图象的交点坐标是对应方程组的解．联立两个一次函数的解析式组成方程组；解方程组求出x和y的值，得到交点坐标；对比选项得出正确答案．
【详解】解：联立两函数解析式得：
将第一个方程代入第二个方程得：，
∴．
把代入得：．
所以交点Q的坐标为．
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数图象与性质等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键．
先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：将点和代入，得：
，解得，
所以该一次函数的解析式为．
A．当时，，图象与轴交于，故该选项正确，不符合题意；
B．由，故随的增大而增大，故该选项正确，不符合题意；
C．令，即，解得．因，当时，，故该选项正确，不符合题意；
D．由，，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故该选项错误，符合题意．
故选D．
8．B
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是设出函数关系式，利用待定系数法求出的值．
根据图象，设出直线解析式为，把，代入函数解析式，可得函数关系式为：，求直线与 y 轴交点即可．
【详解】解：设解析式为，
把，代入得：，
解得：，
则函数关系式为：，
当时，．
故选：B．
9．B
【分析】此题主要考查了轴对称－最短路线问题和一次函数的知识，根据已知作出点A关于直线的对称点是解题的关键．
先作出点A关于直线的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得到答案．
【详解】解：作点A关于的对称点，连接交直线于C，则,此时的值最小．
设直线的解析式为，把代入得到，
则，
解得：，
故直线的函数解析式为：，
把C的坐标代入解析式可得，．
解得．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了程序图，求函数关系式，根据题意列出函数关系式即可，读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键．
【详解】解：∵输入后第一步取x的相反数得到，在此基础上“”得到，在此基础上“”得到，
∴输出的应为，
∴所得与之间的函数关系式为，
故选：．
11．D
【分析】本题主要考查了一次函数，点坐标的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．通过联立两个函数方程求解交点坐标，再根据坐标的符号判断所在象限．
【详解】解：联立解析式，
解得，
∴ 交点坐标为 ，
∵ ，，
∴ 交点在第四象限．
故选：D．
12．C
【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，把代入函数关系即可得出的值，进而得出的值．
【详解】解：已知和，
．
，
，
，
当时，，
解得．
，
，
即；
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
13．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴一次函数与的交点P的坐标是．
故答案为：．
14． / 3
【分析】本题考查的是一次函数图象与二元一次方程（组）的关系，理解二元一次方程的解对应函数图象上的点的坐标是解答的关键．根据二元一次方程的解是对应一次函数图象上的点的坐标解答即可．
【详解】解：与二元一次方程对应的一次函数表达式是，
∵是该方程的一个解，又当时，，
∴对应一次函数图象上的一个点为，
故答案为：，3．
15． 减小
【分析】本题考查了待定系数法和一次函数的性质，先将已知的x和y的值代入函数表达式求出k的值，再根据k的正负判断y随x的变化情况．
【详解】解：当时，，
，解得．
，
随x的增大而减小．
故答案为：；减小．
16．
【分析】本题主要考查函数解析式问题，将实际问题抽象成函数解析式成为解题的关键．
根据题意可知，弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系，然后列出函数关系即可．
【详解】解：由题意得，弹簧总长（单位：）与所挂重物质量（单位：）的函数解析式是．
故答案为：．
17．
【分析】解方程组，即可得到结论．本题考查了两直线平行与相交问题，解二元一次方程组，正确的求得方程组的解是解题的关键
【详解】解：∵一次函数与交于点C，
∴，
得，
，
故答案为：
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了画一次函数图象，用图像法求解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握画一次函数的图象的方法，以及用图象法求解二元一次方程组的方法和步骤．
（1）按照列表、描点、连点的步骤即可画出该一次函数图象；
（2）根据图象，找出两个一次函数图象的交点坐标，即可解答．
【详解】（1）解：列出表格如下：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 1 ……
画出函数图形如下：
（2）解：∵可整理为，可整理为，
∴由图可知，的解为．
19．（1）C；（2）（3，1）；（3）
【分析】(1)利用图象法即可解决问题；
(2)求出方程组的解，即为两个方程的图象的交点坐标；
(3)解方程组求出m的值，根据绝对值的性质进行化简即可.
【详解】解：(1)如图，观察图象可知：点C在方程2x y= 1的图象上，

故答案为C．
(2)由，
解得，
∴方程2x+3y=9和方程3x 4y=5图象的交点坐标为(3，1)；
(3)由，解得，
∵x+y=5，
∴+ =5，
∴m=，
当t>时， |1 7t|=t+2+1 7t=3 6t．
【点睛】本题考查二元一次方程的拓展，解题的关键是学会利用图象法解决问题，体现了数形结合的思想，属于中考常考题型．
20．(1)
(2)
【分析】此题主要考查平面直角坐标系中直线解析式和所围成三角形面积的求解，熟练掌握性质，即可解题．
（1）先求出点A的坐标，再把点A的坐标代入，求出k的值，即可；
（2）求出点B，C，D的坐标，再根据，解答即可．
【详解】（1）解：因为点在直线上，点的纵坐标为1，
所以，
解得，
所以点的坐标为．
因为点在直线上，
所以，
解得，
所以直线的表达式为．
（2）解：令，
解得，
所以．
同理，
所以，
所以，
所以．
21．(1)
(2)
(3)54
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式的综合应用．解答此题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用．
（1）根据折叠的性质知．在中，由勾股定理求得；
（2）根据知，由折叠的性质与勾股定理，求得，利用待定系数法求所在直线的解析式．
（3）先求出点，利用三角形面积公式求出答案即可．
【详解】（1）解：四边形是长方形，
，，
由折叠的性质知，，
，
在中，由勾股定理得，
；
（2）解：设所在直线的解析式为，
，
，
由折叠的性质知，，
设，
，，
由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
代入得，，
故所在直线的解析式为：．
（3）在中，令，则，
∴，
∴．
22．(1)；
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数性质，两条直线相交或平行问题，正确理解一次函数性质，并熟练掌握两条直线相交或平行情况是解题的关键．
（1）将点代入函数求解，即可得到m的值，再结合待定系数法求解即可得到k的值；
（2）联立与求出交点横坐标为，再结合题意和一次函数性质得到，求解，即可解题．
【详解】（1）解：将点代入函数有：，
解得，
，
，
解得；
（2）解：由（1）知，，
联立与有：，
解得，
当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，
又时，直线与直线平行，
，，
当时，解得，
即n的取值范围为．
23．A、B、C三点不在同一直线上，理由见解析
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，利用待定系数法求出直线的解析式，再判断点C是否在直线上即可得到结论．
【详解】解：三点不在同一直线上，理由如下：
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴不在直线上，
∴三点不在同一直线上．
24．(1)点的坐标为，的面积为2
(2)的值为或或或
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象交点问题，求平面直角坐标系中三角形的面积等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键；
（1）联立函数解析式求得点C的坐标为，再求的面积；
（2）设点的横坐标为，根据的面积为的面积的2倍，解得，再分点为直线与直线的交点，直线与直线的交点进行求解．
【详解】（1）解方程组，解得：，
点坐标为；
对于，当时，由得：，
点坐标为，，
；
（2）对于，当时，，
点A坐标为．
对于，当时，，
点D坐标为．
，
由题知，
设点的横坐标为，则，
解得：．
当点为直线与直线的交点时，
将代入得：，则，
将代入得；
将代入得：，则，
将代入得；
当点为直线与直线的交点时，
将代入得：，则，
将代入得；
将代入得：，则，
将代入得；
综上，满足条件的的值为或或或．
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