4.4一次函数的应用寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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4.4一次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（　　）
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/3
2．甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲的速度是 B．乙的速度是
C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地
3．一次函数图象如图，则关于x的方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
4．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（厘米）与观察时间x（天）之间的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴），根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．从开始观察起，60天后该植物停止长高 B．直线的函数表达式为
C．观察第40天时，该植物的高度为14厘米 D．该植物最高为15厘米
5．如图，线段是一辆小轿车加满油后油箱剩余油量与行驶路程的函数图象，线段是一辆客车加满油后油箱剩余油量与行驶路程的函数图象．当两车油箱加满油后，下列描述错误的是（ ）
A．当用完油箱的油，小轿车比客车多行驶了
B．当两车行驶的路程均为时，两车油箱剩余油量相同
C．当两车油箱剩余油量都为时，两车行驶的路程差为
D．小轿车和客车耗油量分别是和
6．如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（ ）．
A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④
7．已知直线经过点，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
8．某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（ ）
A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元
B．当时，
C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km
D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元
9．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
10．小明用相同的酒精灯分别给相同质量的煤油和水加热，它们的温度随着加热时间的变化情况如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．加热前煤油比水的温度高
B．加热过程中，煤油温度上升的速率是
C．加热时，煤油的温度比水的温度高
D．煤油比水早达到
11．如图，将“一个圆柱形的空玻璃杯固定在一个与其形状相同的无水鱼缸内”看作一个容器．现对准玻璃杯杯口匀速注水，直到容器注满为止，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部中央．则能刻画容器最高水位h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，直线分别交轴、轴于点、，交线段于点，连接，当直线将的面积分为相等的两部分时，的周长为（ ）

A． B． C．12 D．16
二、填空题
13．已知一次函数，当x增加3时，y减少2，则该一次函数的表达式是 ．
14．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ．
15．物理课上，于老师让同学们做如下实验：在水盆中放入质地均匀的木块，在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块B露出水面的高度（单位：）与铁块的质量（单位：），发现它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块的质量为时，木块露出水面的高度为 ．
实验次数 一 二 三
铁块的质量 25 50 75
高度 44 38 32
16．已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是
17．某风景区团体票的收费标准是：20人以内（含20人）每人25元，超过20人的，超过部分每人10元，则当一个参观团超过20人时，应收门票费y（元）与团内游客数x（人）之间的函数关系式是 ，若某参观团所付的门票费用是840元，则该团共有 名游客．
三、解答题
18．已知一次函数．
(1)画出一次函数的图象；
(2)由图可知，若方程，求方程的解．
19．如图，某超市的送货员小强和小明从超市门口出发，准备沿相同路线给相距的同一客人送货，小强比小明先出发，且速度保持不变，小明出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设小强行走的时间为（分钟），他们离开超市的距离为（米）．
(1)求和的值；
(2)两人在送货过程中能否相遇？若能，求出此时小强行走的时间，若不能，请说明理由．
(3)若小明送货过程中恰好与小强相距100米，直接写出此时小强行走的时间是多少分钟．
20．游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下：
方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费；
方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费．
设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，其函数图象如图所示．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义；
(3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案．
21．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月用电量为千瓦时时，应交电费元．
(1)当月用电量不超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________；
当月用电量超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________．
(2)小新家十月份的用电量为160千瓦时，求他家十月份应交电费多少元．
(3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电多少千瓦时．
22．近年来随着人们生活水平的提高，海鲜受到众多家庭的喜爱．某扇贝养殖场今年采用新技术投资养殖了500万笼扇贝，并且全部被订购．已知每笼扇贝的成本是60元，售价是120元．打捞出售过程中发现，一部分扇贝生长情况不符合要求，最后只能按照20元一笼出售，如果利润为y万元，不符合要求的扇贝有x万笼．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当符合要求的扇贝有多少万笼时，养殖场不赔不赚？
23．综合与实践
【调查发现】
某学校每天有500名学生在学校用午餐，配餐公司提供两种套餐：经济餐和营养餐．经济餐每份售价18元，每份成本17元；营养餐每份售价20元，每份营养餐的平均成本随着销售量的变化而变化，
（1）若某一天共售出200份经济餐，则当天经济餐的利润为________元．（利润收入成本）
【收集数据】
小山统计了第10周每日营养餐和经济餐的售出份数以及当天的总利润，如下表．
周一 周二 周三 周四 周五
营养餐（份） 295 300 305 290 315
经济餐（份） 205 200 195 210 185
总利润（元） 1155 1200 1245 1110 1335
（2）小山设每日营养餐售出x份，当天总利润为y元，并根据表中的数据在坐标系中描出各点，请帮助小山补全周二的对应点A和周四的对应点B．
【建模应用】
（3）小山观察后猜想这五个点在同一条直线上，请验证小山的猜想．
（4）小山假设当时，y与x之间的关系始终符合第（3）问中的一次函数，他预测若某一天平均每份营养餐的成本为15元，则当天总利润将超过2000元，小山的预测正确吗？请说明理由．
24．某舞蹈培训中心为扩大宣传向中小学生推出优惠活动，活动方案如下：
方案一：购买会员卡，每张会员卡的费用是1200元，仅限本人一年内使用，每次培训收费60元．
方案二：不购买会员卡，每次培训收费80元．
(1)小玲为练习舞蹈经常到培训中心培训，若每年舞蹈培训x次，按方案一付费，则每年总费用为元，按方案二付费，则每年总费用为元，写出和关于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
(2)如图所示的是在同一平面直角坐标系中画出（1）中的两个函数图象，记它们的交点为A，求点A的坐标，并解释点A的实际意义．
(3)根据（2）中的函数图象，请分析小玲选择哪种活动方案更合算．
《4.4一次函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C C B D D A D
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据正比例函数的待定系数法，即可求解．
【详解】设函数解析式为：y＝kx（k≠0），
∵图象经过(3，﹣3)，
∴﹣3＝k×3，解得：k＝﹣1，
∴这个函数的关系式为：y＝﹣x，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正比例函数的待定系数法，掌握待定系数法，是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像和性质．
根据图像信息分析结论即可．
【详解】A．由图像可判断，甲一小时走了，故甲的速度是，选项不符合题意．
B．由图像可判断，乙4小时走了，故乙的速度是,选项符合题意．
C．由图像可判断，乙先出发1小时，选项不符合题意．
D．由图像可判断，乙比甲晚到地，选项不符合题意．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解．
【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为，
∴关于的方程的解是．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，可判断A；设直线的解析式为，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式可判断B；把代入②的结论进行计算即可判断C；把代入②的结论进行计算可判断D．
【详解】解：A.∵射线CD平行于x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，
故A的说法不正确；
B.设直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
所以，直线的解析式为，
故B的结论不正确；
C.当时，，
即第40天，该植物的高度为14厘米；
故C的说法正确；
D当时，，
即第50天，该植物的高度为16厘米；
故D的说法错误．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查一次函数运用，根据图形求出两个一次函数的解析式，结合交点求解即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
小轿车耗油量是：，
客车耗油量是：，
，
故A、D正确，不符合题意，
设的解析式为：，
将点，代入得，
，
解得：，
∴
同理可得的解析式为：，
当时，
，
，
故B正确，不符合题意，
当时，
，解得：，
，解得：，
，
故C错误，符合题意，
故选：C．
6．B
【分析】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键．根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④．
【详解】解：直线分别与、轴交于点、，
点，点，
，，
，故①正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，故②不正确；
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，故③正确；
如图，过点作于，
，
，
，
，
当时，，
，
点的坐标为，故④不正确．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程之间的关系，解题的关键是正确理解直线上的点与方程解的对应关系．
根据直线上的点与方程解的对应关系即可求解．
【详解】∵直线经过点，
∴时，，
∴方程的解为，
故选：．
8．D
【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题意计算即可得出答案．
【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确；
B．当时，，即，与原选项相符，正确；
C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确；
D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确．
故选：D．
9．A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．
观察图象找到当时的值即为本题的答案．
【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点，
即当时，
所以关于的方程的解为，
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查从图像中获取信息和一次函数的性质．由图可知加热前，煤油和水的温度是一样的；由题图可知，加热过程中煤油温度上升的速率为；结合题图信息，利用待定系数法求得水在加热前中关系式为，求得当时，，则可求得煤油的温度比水的温度高的温度；结合图像可知煤油在加热时达到，水在加热时达到，即可知煤油比水早达到．
【详解】解：由题图可知，加热前，煤油和水的温度是一样的，故A选项错误；
由题图可知，加热过程中，煤油温度上升的速率为，故B选项错误；
由题图可知，当水加热到时，需要20min，
设水在加热前中，温度y与时间x的关系式为，将，代入，得解得
∴，当时，，
∵加热时，煤油的温度是，
∴加热时，煤油的温度比水的温度高，故C选项错误；
∵煤油在加热时达到，水在加热时达到，
∴煤油比水早达到，
故选：D．
11．A
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握函数的图象是解题关键．设圆柱形的空玻璃杯的高度为厘米，注入水的速度为厘米/分，分三种情况：①在将水匀速注满圆柱形的空玻璃杯前、②在水注满圆柱形的玻璃杯后，且水位未超过圆柱形的玻璃杯的高度前、③当水位超过圆柱形的玻璃杯的高度后，据此求解即可得．
【详解】解：设圆柱形的空玻璃杯的高度为厘米，注入水的速度为厘米/分，
由题意可知，①在将水匀速注满圆柱形的空玻璃杯前，，是一条经过原点的直线的一部分；
②在水注满圆柱形的玻璃杯后，且水位未超过圆柱形的玻璃杯的高度前，，是平行于轴的直线的一段；
③当水位超过圆柱形的玻璃杯的高度后，容器最高水位开始匀速上升，但由于鱼缸的底面大于玻璃杯的底面，所以此时水位匀速上升的速度比开始慢，与的函数图象是直线的一部分；
故选：A．
12．B
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理．根据题意点为的中点，利用中点坐标求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点的坐标，据此求解即可．
【详解】解：∵直线将的面积分为相等的两部分，
∴点为的中点，
∴点，
∵，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴点，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：B．
13．
【分析】本题考查一次函数的表达式求解，利用一次函数的变化关系,结合已知条件列出关于k的方程，进而求出k的值,确定函数表达式.
【详解】已知一次函数,当x增加3时，即x变为，此时y减少2，则此时y的值为.
将代入函数可得,展开得到,移项可得.
又∵原函数为,所∴,两边抵消，得到.
解方程，可得.
∴该一次函数的表达式是.
故答案为:
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，本题要注意利用一次函数的性质,列出方程组,求出k值．
14．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的图象与x轴的交点的横坐标为的解，由此可解．
【详解】解：关于x的方程的解为，
一次函数的图象与x轴的交点坐标为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一次函数的应用，采用待定系数法求出高度与铁块的质量的关系式是解此题的关键．
设，利用待定系数法求出，当时，求出的值即可得到答案．
【详解】解：设，
将代入解析式得：，
解得：，
∴高度与铁块的质量的关系式为：，
当时，，
∴当铁块质量为时，木块露出水面上的高度为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解．
【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为，
∴关于的方程的解是
故答案为：
17． 54
【分析】根据题意x＞20，可求得解析式；当y=840时，840＞2025，所以代入解析式求得x的值即是所求．
【详解】解：∵x＞20，
∴y=10（x-20）+20×25=10x+300 （其中x是整数）；
∵840＞2025，
∴该团超过20人，
当y=840时，840=10x+300，
解得x=54，
答：该团共有54名游客．
故答案为：y=10x+300；54．
【点睛】本题考查了一次函数的应用．解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质：
（1）确定两点后，连接即可；
（2）一次函数与轴的交点坐标即为方程的解．
【详解】（1）函数的图象如图所示；
（2）从图象上可知一次函数与轴的交点坐标为
则关于的方程的解是．
19．(1)和的值分别为16，20
(2)能相遇，12分钟
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的应用、函数的图象、求函数解析式，从函数图象中获取信息是解题的关键．
（1）利用函数图象求出小明原来的速度，再乘以得到后来的速度，即可求出的值，利用函数图象求出小强的速度，得出的值，；
（2）先设小强路程与时间函数，代入已知点求出，得小强函数 。再分析小明运动阶段，分和 阶段，得出小明路程函数和，因时两人距离渐大不相遇，联立 时小强与小明的路程函数，即可解答。
（3）先求出小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为，再分和两种情况讨论，结合小明与小强相距100米，分别求出对应的值即可解答．
【详解】（1）解：小明原来的速度为（米/分），
小明后来的速度为（米/分），
，
的值为16．
小强的速度为（米/分），
（分），
（2）解：设小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为，
代入得，，
解得：，
小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为，
∵小明先以原速度40（米/分） 行驶，出发一段时间后速度提高到原来的倍，即提速后的速度60（米/分） ．
∴当时，小明行走的时间是分钟，
∴小明的路程函数为 ；
当时，小明在前分钟走了120米，之后以60米/分的速度行驶，行驶时间是分钟，
所以路程，
化简可得 ．
∵时，通过图象和计算可知两人距离逐渐拉大，不会相遇，
两人相遇即他们离开超市的距离相等，联立小强和小明在 阶段的路程函数：
，
将代入，得
．
解得 ．
综上，两人在送货过程中能相遇，此时小强行走的时间是12分钟．
（3）解：∵小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为，
当时，，
此时小明和小强的距离为（米），
，
当时，小明和小强不能相距100米；
当时，小明和小强的距离为（米），
小明与小强相距100米，
，
解得：或；
综上所述，小强行走的时间是或分钟．
20．(1)
(2)，点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元
(3)见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设直线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答．
（2）理解题意，得每次游泳的原价为（元），设直线的解析式为，故．因为点为直线的交点，则，得点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元．
（3）结合（2），则当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠，即可作答．
【详解】（1）解：设直线的解析式为．
由图可知的图象经过．
解得
．
（2）解：由可知，金卡会员每次游泳的费用为10元．
办理会员金卡后，每次游泳按原价的五折收费，
每次游泳的原价为（元）
设直线的解析式为，
．
点为直线的交点，
此时，
即．
解得．
此时．
点的坐标为．
点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元．
（3）解：由（2）得游泳20次的时候，方案一与方案二的费用相同，此时选择方案一与方案二都可以；
当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；
当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠．
21．(1)；．
(2)小新家十月份应交电费96元
(3)小明家十月份用电240千瓦时
【分析】本题主要考查一次函数的应用，
（1）根据题意分别列出两个函数关系式即可；
（2）根据题意将其代入（1）中第一个函数关系式即可；
（3）根据题意得出用电量超过了200千瓦时，然后代入（1）中第二个函数关系式即可；
理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键．
【详解】（1）解：当时，与的函数关系式是；
当时，与的函数关系式是，即．
故答案为；．
（2）∵，
∴（元）．
答：小新家十月份应交电费96元．
（3）∵小明家十月份的电费超过了120元，
∴用电量超过了200千瓦时．
把代入中，得．
答：小明家十月份用电240千瓦时．
22．(1)
(2)当符合要求的扇贝有200万笼时，养殖场不赔不赚
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及根据实际问题列一次函数关系式．
（1）利用总利润符合要求的扇贝的笼数不符合要求的扇贝的笼数，即可得出y关于x的关系式；
（2））代入，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴，
即y与x之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
∴（万笼）．
答：当符合要求的扇贝有200万笼时，养殖场不赔不赚．
23．（1）200（2）图见解析（3）见解析（4）小山的预测正确，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）用单件利润乘以销量，列式计算即可；
（2）根据表格数据，描点即可；
（3）待定系数法求出一次函数解析式，验证其它点是否在直线上即可；
（4）求出营养餐的成本为15元时的总利润，代入函数解析式，求出的值，进而求出值，进行判断即可．
【详解】解：（1）（元）；
故答案为：200；
（2）由题意，描点如图：
（3）设经过点的直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
∴这五个点在同一条直线上；
（4）小山的预测正确，理由如下：
由题意得：当营养餐的成本为15元时，总利润为：，
∴，
解得：，
当时，；
故小山的预测正确．
24．(1)y1＝60x+1200， y2＝80x
(2)点A的坐标的实际意义为当培训次数为60次时，两种计费方式的总费用一样多，都为4800元
(3)当培训次数少于60时，选择方式二更省钱；当培训次数等于60时，两种方式的总费用都一样；当培训次数大于60时，选择方式一更省钱
【分析】（1）根据题意可以写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）根据（2）的结论结合图象解答即可．
【详解】（1）设培训x次时，
方案一费用为：y1＝60x+1200，
方案二的费用为：y2＝80x；
（2）由题意得，
解之，得
即点A的坐标为（60，4800）．
点A的坐标的实际意义为当培训次数为60次时，两种费用一样多，都为4800元．
（3）当培训次数少于60时，选择方式二更省钱；
当培训次数等于60时，两种方式的总费用都一样；
当培训次数大于60时，选择方式一更省钱．
【点睛】此题考查一次函数的实际运用，理解题意，根据题意得出y1和y2关于x的函数关系式是解题的关键．
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