第七章证明寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第七章证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个角是直角，那么他们相等
C．两直线平行，内错角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
2．汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，某时刻雨刮器的位置如图①所示，其示意图如图②所示，，此时的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
3．如图，直线被直线所截，添加下列一个条件，可以判定直线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形的对应边相等
5．如图，在的内部有一点，过点作与角的两边，分别交于点，，下列四种作法中，面积最小的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列命题中，不是定理的是（　　）
A．直角三角形两锐角互余
B．两直线平行，同旁内角互补
C．n边形的内角和为（n﹣2）×180°
D．相等的角是对顶角
7．如图是嘉淇证明“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”的过程，下列判断不正确的是（ ）
证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
已知：如图，直线，，，，．
求证： △ ．
证明：（已知），
（垂直的定义）．
□ （已知）．
（垂直的定义），
○ （等量代换），
（ ◇ ）
A．△代表 B．□代表
C．○代表 D．◇代表两直线平行，同位角相等
8．，其中能判定的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．三个角分别相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的两个底角相等
C．相等的角是对顶角 D．若，则
10．能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（ ）．
A． B．
C． D．
11．下列命题正确的有（ ）
①过一点有且只有一条直线平行于已知直线
②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
③若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等．
④相等的两个角是对顶角．
⑤平行于同一直线的两直线互相平行．
⑥连接A、B两点的线段就是两点之间的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少元”，乙说“至多元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为(　　)
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
二、填空题
13．老师为了表扬好人好事，于是找了小聪、小明、小丽、小红四人核实一件事．小聪说：“是小明做的．”小明说：“是小红做的．”小丽说：“不是我做的．”小红说：“小明说错了．”这四人中只有一人说了真话，这件好事是 做的．
14．命题“同底等高的两个三角形面积相等”的条件是 ，结论是 ．
15．生活中常见一种折叠拦道闸，如图①．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②．已知于点A，，则的度数为 ．
16．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
17．如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶
①若 ，则 ．
②若 ，则 是 的中位线．
③若 ，则 ．
图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是 (选填①②③中其一)
三、解答题
18．如图，O是直线上一点，平分，点M是射线上一点．
(1)在直线上方画一条射线，使得．在射线上找一点N，使得．
(2)在（1）的条件下，判断与的位置关系，并说明理由．
19．如图，点在直线上，是上一点，连接平分平分．
(1)求证：；
(2)若与互余，求证：．
20．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
21．如图所示，平分，平分，且，试说明与的位置关系．
22．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
如图，在的边上任取一点，作交于点，作交于点．
，
___________，___________．（___________）
，
___________．（___________）
∵，
___________．（___________）
___________．（___________）
，
___________．
23．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
24．如图，已知，，试判断与的大小关系，在下列解答中填空．
解：．
理由：（补角的定义），（已知），
（________）．
（________）．
（________）．
又（已知），
（________）．
（________）．
（________）．
《第七章证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D A D D D B C
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】先写出各项的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解：A选项的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，命题不成立，不符合题意；
B选项的逆命题为：两个相等的角是直角，命题不成立，不符合题意；
C选项的逆命题为：内错角相等，两直线平行，命题成立，符合题意；
D选项的逆命题为：两个实数的平方相等，这两个实数相等，命题不成立，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查判断逆命题的真假．正确的写出逆命题，是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了平行线的判定，理解平行线的判定定理是解答关键．
根据同旁内角互补，两直线平行来求解．
【详解】解：，
，
依据是同旁内角互补，两直线平行．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟记平行线的判定定理．根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴不能推出，故选项A不符合题意；
∵，
∴，故选项B符合题意；
和是对顶角，不能推出，故选项C不符合题意；
∵，
∴，
∴不能推出，故选项D不符合题意，
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了命题与定理、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A．全等三角形的对应高相等，故A是错误的；
B．全等三角形的对应中线相等，故B是错误的；
C．全等三角形的对应角平分线相等，故C是错误的；
D．全等三角形的对应边相等，故D是正确的．
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．构造全等三角形，结合三角形面积进行判断即可．
分①，②，③，三种情况比较与大小，均得到，即得．
【详解】解：如图①，当时，
过点E作交于点M，
则
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
如图②，当，延长线交于点时，
过点E作于点M，
则，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
如图③，当，延长线交于点时，
∵，
∴，
∴是钝角，
过点F作，垂足为点M，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
综上，面积最小的是A选项，
故选：A．
6．D
【分析】根据定理是正确的命题判断．
【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理；
两直线平行，同旁内角互补，B是定理；
n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理；
相等的角不一定是对顶角，D不是定理．
故选D．
【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7．D
【分析】根据垂直的定义得到∠1=∠2 ，再根据平行线的判定，可证a//b ，注意平行线的性质和判定的区别.
【详解】证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
已知：如图，直线a，b，c，a⊥c，b⊥c．求证：a//b ．
证明：∵a⊥c（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义）．
∵b⊥c （已知）．
∴∠2=90°（垂直的定义），
∴∠1=∠2 （等量代换），
∴a//b（ 同位角相等，两直线平行）
A，△代表 a//b，故A正确，
B，□代表 b⊥c，故B正确，
C，○代表 ∠1=∠2，故C正确，
D，◇代表 同位角相等，两直线平行，故D不正确.
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，以及垂直的定义，解题的关键是注意平行线的性质和平行线的判定的区别.
8．D
【分析】本题考查了平行线的判定，由判定方法逐一判定即可．
【详解】解：A.因为，所以，故不符合题意；
B.与非同位角、内错角，所以无法判断，故不符合题意；
C.与非同位角、内错角，所以无法判断，故不符合题意；
D.因为，与是同位角，所以，故符合题意；
故选：D．
9．B
【分析】本题考查命题的真假判断，涉及全等三角形的判定、等腰三角形的性质、对顶角的定义及不等式的性质，解题的关键是熟练掌握相关概念和性质．
【详解】A．三个角分别相等的两个三角形相似但不一定全等(全等需要边对应相等)，故A是假命题；
B．等腰三角形的两个底角相等是等腰三角形的基本性质，故B是真命题；
C．相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角相等)，故C是假命题；
D．若，，则但，故D是假命题．
故选：B．
10．C
【分析】利用三角形的外角性质即可判断．
【详解】、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意；
、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意；
、是钝角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是假命题，此选项符合题意；
、∠是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
11．A
【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，对顶角，两点间的距离，平行公理，逐一进行判断即可．
【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故①为假命题；
如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，故②为假命题；
若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等；故③为真命题；
相等的两个角不一定是对顶角；故④为假命题；
平行于同一直线的两直线互相平行；故⑤为真命题；
连接A、B两点的线段的长就是两点之间的距离；故⑥为假命题；
综上：共有2个真命题；
故选A．
12．C
【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题．
【详解】解：设这本书的价格为元，由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，即，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格多于13元，即，
所以这本书的价格满足：
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选：C．
【点睛】本题考查推理与论证，不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格．
13．小丽
【分析】本题主要考查了逻辑推理，采用假设法是解决此类问题常用的方法．运用假设法，假设其中一人为真话，然后进行推论，看是否矛盾即可．
【详解】假设小明说的真话，则好事是小明做的，那么小明说的假话，小丽说的真话，小红说的假话，矛盾．
假设小明说的真话，则好事是小红做的，那么小丽说的假话，小丽说的真话，小红说的假话，矛盾．
假设小丽说的真话，则好事不是小丽做的，若小红说的是假话，那么小明说的是真话，矛盾．
所以小丽说的是假话，则好事是小丽做的，
故答案为：小丽
14． 两个三角形有公共边且该边上的高线相等 这两个三角形的面积相等
【分析】本题主要考查了命题的组成，解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题一般都能够写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面就是题设，“那么”后面就是结论，据此可得答案．
【详解】解：命题“同底等高的两个三角形面积相等”的条件是两个三角形有公共边且该边上的高线相等，结论是这两个三角形的面积相等．
故答案为：两个三角形有公共边且该边上的高线相等；这两个三角形的面积相等
15．270°
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作．得到，再证明即可．
【详解】解：如图所示，过点作．
，
．
．
，
．
．
故答案为：．
16．真
【分析】本题主要考查了判断命题真假，原命题的逆命题．先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，它是真命题，
故答案为：真．
17．③
【分析】图2是③的反例示意图，可利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质证明命题①和②是真命题．本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【详解】解：图2是③的反例示意图．
真命题为命题①和②，
命题①的证明：
证明：过点作交边于点，连接，
又，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，，
命题②的证明如下：
证明：如图，延长至点，
使，连接，
是边的中点，
．
又，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
，
，
是边的中点，
是的中位线．
故答案为：③．
18．(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）作的垂线即可得到，在射线上找一点N，连接，使得，即可得到；
（2）先证明，再根据内错角相等两直线平行证明即可．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了作垂线，作线段，等边对等角，角平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）结合角平分线定义得到，即可证明；
（2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明．
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵与互余，
∴，
∴，
∴．
20．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行 ）以及垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理和垂直的定义是解题的关键．要判断在同一平面内，两条都垂直于同一条直线的直线是否平行，可通过同位角相等来判定两直线平行，先找出与这两条直线和已知直线相关的角，再分析角的关系．
【详解】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，理由如下：
设这两条直线为、，同垂直的直线为，与的夹角为，与的夹角为．
，（已知条件 ）
，（垂直的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，此时夹角为 ）
（等量代换 ）
（同位角相等，两直线平行的判定定理 ）
所以在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
21．，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，平行线的判定；由平分，平分，根据角平分线的性质可得，，由，可得，根据同位角相等，两直线平行即可证得结论．
【详解】解： 平分，平分，
，，
，
，
．
22．见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给出的推理过程进行证明即可．
【详解】解：，，
，（两直线平行，同位角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等）．
∵，
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换）．
，
．
23．(1)一共能组成三个命题，见解析
(2)都是真命题，推理见解析
【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可
【详解】（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，
∴，
∵，
∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24．同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查平行线的判定和性质，同角的补角相等，等量代换，掌握相关知识是解决问题的关键．根据每一步的推理找到依据即可．
【详解】解：．
理由：（补角的定义），（已知），
（同角的补角相等）．
（内错角相等，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
又（已知），
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)