7.3平行线的证明寒假练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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7.3平行线的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．同角的余角相等
B．相等的两个角是对顶角
C．同旁内角互补
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
3．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数条
4．如图，若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，下列推理中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．下列语句是真命题的有（ ）
①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间，线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两人一起研究一道数学题，如图，已知，甲说：“若还知道，则能得到．”乙说：“若还知道，则能得到”则下列说法正确的（ ）
A．甲乙两人说法都不正确 B．甲乙两人说法都正确
C．甲说法正确，乙说法不正确 D．乙说法正确，甲说法不正确
9．如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．1
10．利用直尺和三角尺画平行线的道理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．平行于同一直线的两条直线互相平行
11．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，若，则角，，的关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，，那么三点在同一条直线上．根据 ．
14．如图，在和中，点在同一直线上，点为边的中点，，，，若，则的长为
15．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有 （填序号）；能判定的条件有 （填序号）．
16．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ．
17．如图，平分，平分，当和满足 时，．
三、解答题
18．如图，点在射线上，平分，．
(1)画，垂足为；
(2)求证：．
19．完成下面的解题过程，并在括号内填上依据.如图，.求的度数
解： ∵，
∴____( )
又∵
∴
∴ ∥____( )
∴
∵
∴
20．如图，，，．求证：．某同学证法如下，请在横线上填写其推理过程或理由．
证明：因为，
所以 （______)
所以 ，
所以 （______）（ ）
因为（____）
所以（______）
所以（______）
21．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且．
(1)求证：；
(2)若命题“已知________，则”是真命题，请填空，并说明理由．
22．用举反例的方法说明下列命题是假命题．
(1)质数都是奇数；
(2)大于的角是钝角；
(3)同位角相等．
23．已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：．
解：因为与直线相交于点E，，
所以________．
因为，
所以________，
所以________________（________________）（填推理的依据）．
24．如图，四边形中，，点为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，当，，时，求的长．
《7.3平行线的证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D C A A B A A
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】本题考查平行线的判定，关键在于找准两个角之间的关系．
直接利用平行线的判定进行逐一判断即可．
【详解】解：A．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意；
B．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故符合题意；
C．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意 ；
D．，利用同旁内角互补，两直线平行，可判断出，故不符合题意，
故选B．
2．A
【分析】根据平行线的性质，对顶角的性质，余角的性质，分别对每一项进行判断即可．
此题主要考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【详解】解：A、同角的余角相等，是真命题，故本选项符合题意；
B、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故选：A
3．B
【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可．
【详解】解：由题意，，
∴；
故选B．
4．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由同旁内角互补，两直线平行得到，再由平行线的性质即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
根据现有条件无法得到A、B、C三个选项中的结论．
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了平行线的判定，
根据“内错角相等，两直线平行”解答A，B；再根据“同旁内角互补，两直线平行”解答C，D.
【详解】解：∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
所以A不正确；
∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
所以B不正确；
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
所以C正确；
∵，即，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
所以D不正确.
故选：C.
6．A
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用点到直线的距离的定义、平行线的性质、线段公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故错误，是假命题；
②两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；
③两点之间线段最短，正确，是真命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，是假命题；
⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，正确，是真命题，
综上，真命题有③⑤，一共2个，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了平行线的判定定理，涉及同位角、内错角、同旁内角与平行线的关系．解题的关键是明确不同角的位置关系对应的判定定理，逐一分析选项是否能判定．
根据平行线判定定理，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补可判定两直线平行；结合各选项中角的关系，判断哪个选项不能判定．
【详解】解：A、与非同位角、内错角或同旁内角关系，无法判断，此选项符合题意；
B、与是内错角，内错角相等可判定，此选项不符合题意；
C、与是同旁内角，同旁内角互补可判定，此选项不符合题意；
D、与是同位角，同位角相等可判定，此选项不符合题意．
故选：A．
8．B
【分析】本题考查垂直定义，平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识．
利用垂直定义推出，结合，进而证明，利用平行线性质即可判断甲说法，先证明，推出，再结合，即可判断乙说法．
【详解】解：，
，
即，
，
，
，
，
故甲说法正确；
，
，
即，
，
，
，
，
故乙说法正确；
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了利用直尺和三角尺画平行线，熟练掌握利用直尺和三角尺画平行线的方法是解题关键．利用直尺和三角尺画平行线时，通过固定三角尺的角度并沿直尺平移，确保形成的同位角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得．
【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线时，通过固定三角尺的角度并沿直尺平移，确保形成的同位角相等，
所以利用直尺和三角尺画平行线的道理是同位角相等，两直线平行，
故选：A．
11．D
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：A、作，则可得，
，故该选项不符合题意；
B、作，则可得，
，故该选项不符合题意；
C、如图，过点作，
，
则可得，，，
，
故该选项不符合题意，
D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意，
故选：D．
12．D
【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系；
本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
13．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】本题主要考查了垂直的性质，熟练掌握“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是解题的关键．根据垂直的性质，判断三点共线的依据．
【详解】解：因为 ，，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以 ，， 三点在同一条直线上．
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
14．6
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据，得出，证明，得出．
【详解】解：∵点为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：6．
15． ①③④ ②
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
【详解】①，
．
②，
．
③，
．
④，
．
综上，能判定的条件有①③④；能判定的条件有②．
故答案为：①③④；②．
16．4
【分析】本题考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理．
过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
和分别平分和，且，，，
，，
，
又，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，由平分，平分，得，，根据平行线性质可得，则，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，作垂线，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
（1）过点作的垂线，垂足为，则即为所求；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的判定即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵平分，
∴
∵，
∴，
∴．
19．；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；
【分析】本题考查平行线的性质和判定，
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，得到，再由根据等量代换得到，然后由平行线的判定：内错角相等，两直线平行，得到，再根据性质：两直线平行，同旁内角互补，可以得到
【详解】解：∵
∴ (两直线平行，同位角相等 )
又∵
∴
∴_( 内错角相等，两直线平行 )
∴
∵
∴
20．垂直的定义；；同旁内角互补，两直线平行；已知；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定，补齐各步骤的结论以及推理依据即可．
【详解】证明：因为，
所以 （垂直的定义)
所以 ，
所以 （）(同旁内角互补，两直线平行)
因为（已知）
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（平行于同一直线的两直线互相平行）
21．(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等两直线平行、两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补是解决问题的关键．
（1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由，得到同位角，由，得到同旁内角互补，即可得到答案．
【详解】（1）证明：和是对顶角，
，
，
，
；
（2）解：已知，则，
理由如下：
，
，
，
，
，
故答案为：．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键：
（1）根据质数的定义，举出一个是质数但是不是奇数的数即可；
（2）举出一个大于的角但不是钝角的角，即可；
（3）举出一个是同位角但是不相等的反例即可．
【详解】（1）解：2是质数，但2是偶数，故为假命题．
（2）大于，但它不是钝角，故为假命题．
（3）当两条直线不平行时，同位角不相等，所以是假命题
23．；；；；同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可．
【详解】解：因为与直线相交于点E，，
所以．
因为，
所以，
所以（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行．
24．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
根据得，，再根据点为的中点得，由此可依据“”判定和全等；
（2）根据和全等得，，进而得，是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出的长．
【详解】（1）证明：，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）解：由可知：，
，，
，
，，
，
，，
是的垂直平分线，
．
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