4.8图形的位似寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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4.8图形的位似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，三角形①、②均为格点三角形，则下列关于三角形①、②的说法正确的是（ ）
A．一定不相似，周长比为 B．一定位似，位似比为
C．一定相似，面积比为 D．一定相似，相似比为
2．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点的坐标为( )
A． B． C．或 D．或
3．两个位似图形中，对应点到位似中心的距离之比为，则这两个图形的相似比为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标中，已知，与位似，原点是位似中心．若，则长为（ ）

A．4. 5 B．6 C．7.5 D．9
5．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
6．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
7．将的各边按如图所示的方式向内等距缩，得到，有以下结论：
I 与是相似三角形；
Ⅱ与是位似三角形．下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确
C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确
8．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2∶1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
9．如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，则下列关系式：
①=，②=，③=，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如图，和是以点为位似中心的位似图形，已知点，点，点，点，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．两个位似图形对应点连线有可能无交点
B．两个位似图形对应点连线交点个数为或
C．两个位似图形对应点连线只有一个交点
D．两个位似图形对应点连线交点个数不少于个
12．下列说法中正确的是（ ）
A．位似图形可以通过平移而相互得到
B．位似图形的对应边平行且相等
C．位似图形的位似中心不只有一个
D．位似中心到对应点的距离之比都相等
二、填空题
13．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
14．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为 ．

15．如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为 ；
16．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，且顶点都在格点上.在图上标出位似中心P的位置，点P的坐标是 .
17．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，已知点A的坐标为（1，2），则点C的坐标是 ．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，，以点O为位似中心，将缩小，使缩小后得到的与的相似比为.在如图所示的网格中画出图形并写出各顶点的坐标.
19．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．求正方形与正方形的位似中心的坐标．
20．如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为．
(1)画出绕点逆时针旋转得到的；
(2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标．
21．三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，将缩小得到，使与对应边的比为，这时各个顶点的坐标分别是多少？
22．如图，网格中每个小正方形的边长均为，且点，，，均为格点．
(1)在网格中作图：以点为位似中心，将的各边长放大为原来的两倍，，，的对应点分别为；
(2)求的面积．
23．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，．
(1)以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使它与 的相似比是：；
(2)在(1)的条件下， 点的坐标为 ， 点是上一点， 点 的对应点的坐标为 ．
24．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．
《4.8图形的位似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A A D B A D A B
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】本题考查的是位似变换，根据勾股定理求出两个三角形的各边长，根据相似三角形的判定定理、性质定理以及位似图形的概念判断即可．掌握位似图形的概念、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理得：三角形①的三边长分别为、、，
三角形②的三边长分别为、、，
∴三角形①与三角形②相似，且相似比为，
∴三角形①与三角形②的面积比为，
∵三角形①与三角形②的对应边不平行也不在同一条直线上，
∴三角形①与三角形②不位似，
故选：C．
2．D
【分析】分点在y轴左侧与右侧两种情况，根据对应线段比等于相似比，求出与的长度即可
【详解】解：如图所示，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴ 当时；当时，，
∴，，
∴，，
∵与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，
∴ ，，
∴，，
当点在y轴右侧时，
，
∴点B的对应点的坐标为；
当点在y轴左侧时，
，
∴点B的对应点的坐标为；
综上，点B的对应点的坐标为或．
故选D．
【点睛】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的定义是解题的关键，注意分情况讨论，避免漏解．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
3．A
【分析】根据位似图形的性质解答即可.
【详解】∵对应点到位似中心的距离之比为，
∴这两个图形的相似比为.
故选A.
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比是解答本题的关键.
4．A
【分析】由得出，由位似图形的性质可得，即可求出长．
【详解】解：，
与位似，原点是位似中心，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据题意得出是解此题的关键．
5．D
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【详解】点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位似中心，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键．
6．B
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
7．A
【分析】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．
先利用平行线的判定方法得到，，，再根据平行线的性质得到，，从而可判断；分别延长、、，它们相交于一点，根据位似的定义可判断与是位似三角形．
【详解】解：的各边按如图所示的方式向内等距缩得到，
，，，
∴，
，
同理可得：，
，所以Ⅰ正确；
分别延长、、，它们相交于一点，如图，
与是位似三角形，所以Ⅱ正确．
故选：A．
8．D
【详解】解：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2，1），然后求在另一侧为（2，-1）．
故选∶D．
9．A
【详解】试题分析：由AD是△ABC的中线，结合EF=FC，可得DF为△CBE的中位线，即可证得△CDF∽△CBE，△AGE∽△ADF，再根据相似三角形的性质依次分析各项即可判断.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵EF=FC，
∴DF为△CBE的中位线，
∴DF∥BE，
∴△CDF∽△CBE，△AGE∽△ADF
∴GE：DF=AG：AD=1：2，DF：BE=1：2
∴GE：BE=1：4
∴①②正确
故选A．
考点：相似三角形的判定与性质
点评：相似三角形的判定在中考中往往不以单独的知识点出现，而是出现在综合性的大题中，如二次函数与圆的应用等问题，因而熟练掌握相似三角形的判定方法极为重要.
10．B
【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，设点D的坐标为，然后根据位似变换的性质列式计算即可得解．
【详解】解：设点D的坐标为，
∵和是以点A为位似中心的位似图形，
∴，，
解得，
∴点D的坐标为．
故选：B．
11．C
【分析】根据位似图形的定义，逐一进行判断即可.
【详解】两个位似图形对应点连线必有交点，故A选项错误，
两个位似图形对应点连线只有1个交点，故B选项错误，
两个位似图形对应点连线只有一个交点正确，故C选项正确，
两个位似图形对应点连线的交点只有1个，故D选项错误．
故选C.
【点睛】本题考查位似图形的定义，多边形不仅相似，而且对应点连线交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做位似图形，熟练掌握位似图形的定义是解题关键.
12．D
【详解】试题分析：∵位似是相似的特殊形式，
∴位似图形的对应边平行但不一定相等，
位似图形的位似中心只有一个，
平移图形是全等图形，也没有位似中心．
位似中心到对应点的距离之比都相等
∴正确答案为D．
故选D．
考点：位似变换．
13．（9，0）
【分析】根据位似中心的概念解答即可．
【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下：
点D的坐标为（9，0），
即位似中心的坐标为（9，0），
故答案为：（9，0）．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心．
14．
【分析】主要考查位似图形的性质．
根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．连接，由题意得，则有，，，进而可得，，然后可求，最后问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴正六边形的周长为；
故答案为：．
16．
【分析】根据位似图形的性质解答即可.
【详解】位似中心P的位置如图所示，点P的坐标是.
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形对应点连线的交点是位似中心是解答本题的关键.
17．（3，6）．
【分析】若△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（ kx， ky），进而求出即可．
【详解】解：∵△OAB与△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，
∵A（1，2），
∴点C的坐标为：（3，6）．
故答案为（3，6）．
【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
18．见解析
【分析】先根据各顶点的坐标画出，再根据位似的性质作出并写出各顶点的坐标即可.
【详解】如图所示，图中为所求，，，.
【点睛】本题考查了位似图形的画法，以及位似图形的性质.画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点；（3）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）；（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形中关键点的位置；（5）顺次连接各点，得到放大或缩小后的图形.
19．或
【分析】连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，证明，根据相似三角形的性质求出；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案．
【详解】解：分以下两种情况讨论：
①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心．
四边形为正方形，点的坐标为，
点的坐标为．
，
，，
，
，即，
解得，
正方形与正方形的位似中心的坐标是；
②如图②，连接，交于点．
由题意，得，，，．
易求出直线的表达式为，直线的表达式为．
联立解得．
点的坐标为，
正方形与正方形的位似中心的坐标是．
综上所述，正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标为或.
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要分情况讨论．
20．(1)见解析
(2)图见解析，点的坐标为
【分析】此题考查了中心旋转的作图和位似的作图，熟练掌握作图方法找到对应点是解题的关键．
（1）作出点绕点逆时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到；
（2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，找到点的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可．
【详解】（1）即为所求；
（2）即为所求， 点的坐标为．
21．，，或，，
【分析】根据相似比为1：2可得：A、B、C三点坐标分别乘以或 即可算出它的对应顶点的坐标．
【详解】解：∵A（2，2）、B（4，2）、C（6，4），
∴以O点为位似中心，相似比为，
将△ABC缩小，则它的对应顶点的坐标是（1，1），（2，1），（3，2）
或（ 1， 1），（ 2， 1），（ 3， 2）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，以及坐标与图形的性质，关键是掌握若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（ kx， ky）．
22．(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：．
答：的面积为10．
23．(1)见解析
(2)；
【分析】本题考查了作图—位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键．
（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点、、，再顺次连接即可得出答案；
（2）根据（1）可得的坐标；利用（1）中得到把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：点的坐标为；点是线段上一点，则点的对应点的坐标为，
故答案为：，．
24．9
【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积．
【详解】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝（）2＝，
∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4，
∵EF：FC＝1：2，
∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF，
∴S△BEF＝2，
∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式．
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