4.7相似三角形的性质寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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4.7相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．与的位似比是，已知的面积是3，则的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．如图，正方形ABCD的边BC在等腰直角三角形PQR的底边QR上，其余两个顶点A、D分别在PQ、PR上，则PA∶AQ＝（　）．
A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3
3．如图所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是( )
A． B． C． D．
4．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，于点F，连接DF，给出下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，DE=1，BC=3，AB=6，则AD的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，在中，F，D，E分别是边，，上的点，且，，相交于点O．若点O是的重心，则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是的面积的一半；③图中与面积相等的三角形有5个．其中结论一定正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．郑州中牟贾鲁河大桥斜拉索都互相平行且距离相等．如图，，小丽测得50米，米，米，则的长度为（ ）
A．60米 B．75米 C．78米 D．米
9．若与的相似比是，则它们对应中线的比是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是（　　）
A．S1=3S2 B．2S1=3S2 C．S1=2S2 D．3S1=4S2
11．如图，在中，，，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
12．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（ ）
A．86 B．84 C．80 D．78
二、填空题
13．如图所示，M是平行四边形的边的中点，交于E，则图中阴影部分的面积与平行四边形的面积比是 ．
14．如图，路灯距地面，身高的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度变短 ．
15．如图，cm，则 cm．
16．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．动点P从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t＝ s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
17．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ．
三、解答题
18．如图，在中，点，分别在边、上，与相交于点，且，，.
(1)求证：：
(2)已知，求的长．
19．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．
20．（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为，，C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D.动点P从点D出发，沿向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为点E，连结.当所在直线与所在直线第一次垂直时，求点P的坐标
22．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD．
23．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为8，求BG的长．

24．如图，已知△ABC中，AB=12，BC=8，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，且相似比为．
（1）根据题意确定D、E的位置，画出简图；
（2）求AD、AE和DE的长．
《4.7相似三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B C C C C A C
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意计算即可．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：4，
∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
2．C
【详解】试题分析：四边形ABCD是正方形ABCD，则△PAD、△ABQ、△CDR是等腰直角三角形，则△PAD∽△PQR，利用比例线段可求PA：PQ（可假设正方形的边长等于a，便于计算）．
∵四边形ABCD是正方形，
∴△PAD、△ABQ、△CDR是等腰直角三角形
∴△PAD∽△PQR
∴PA：PQ=AD：QR
设正方形ABCD的边长是a，则AD=a，BQ=CR=BC=a，QR=3a
因而PA：PQ=AD：QR=a：3a=1：3
故选C．
考点：本题考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质
点评：注意到本题中△PAD、△ABQ、△CDR都是等腰直角三角形，是解决本题的关键．
3．D
【分析】根据相似三角形性质：相似三角形对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【详解】因为△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，
所以，△ADE∽△ABC,
所以， , ,
故选D
【点睛】本题考核知识点：相似三角形性质.解题关键点：熟记相似三角形性质.
4．B
【分析】①证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；
②由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得到，由 AE=AD=BC，得到，即CF=2AF；
③作DM∥EB交BC于M，交AC于N，证明DM垂直平分CF，即可证明；
④根据△AEF∽△CBF得到 ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到，，再由可得结果.
【详解】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴ ，即CF=2AF，
∴CF=2AF，故②正确；
作DM∥EB交BC于M，交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
∵，∴，∴，，又∵，∴，∴，故④错误.故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
5．C
【详解】根据平行得到三角形相似，再进一步根据相似三角形的对应边的比相等进行求解．
解：根据题意，DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵DE=1，BC=3，AB=6
∴AD=2
故选C．
6．C
【分析】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，其性质是三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．根据三角形重心的概念和性质即可判定．
【详解】解：点是的重心，
线段，，是的三条中线，故①错误；
是中线，
，
的面积是面积的一半；故②正确；
，，是的三条中线，
面积面积面积，面积面积面积，面积面积面积，
面积面积面积面积面积面积，
图中与面积相等的三角形有5个，故③正确；
故选：C
7．C
【分析】根据题意，得出ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
【详解】解：ABC的三边之比为，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故选：C．
【点睛】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
8．C
【分析】本题考查了三角形相似，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及性质定理，证明出三角形相似，利用三角形相似建立等式进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得：，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查相似三角形的性质，若两个三角形相似，则它们对应中线的比等于相似比，根据题意即可得到答案，熟记相似三角形性质是解决问题的关键．
【详解】解：与的相似比是，
它们对应中线的比等于相似比为，
故选：A．
10．C
【分析】根据题意由E为AB中点，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK与△ABM相似，△AEN与△ABM相似，利用面积之比等于相似比的平方，得到△EBK面积与△ABM面积之比为1：4，且△AEN与△EBK面积相等，进而确定出四边形EKMN面积为△ABM的一半，同理得到四边形MKFP面积为△MBC面积的一半，四边形QMPG面积为△DMC面积的一半，四边形MNHQ面积为△ADM面积的一半，四个四边形面积之和即为四个三角形面积之和的一半，即为四边形ABCD面积的一半．
【详解】设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，
∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴，S△AEN=S△EBK，
∴，同理可得，，，
∴，
∴四边形ABCD的面积为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=2S2．
故选C．
【点睛】此题主要考查了中点四边形以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练应用三角形中位线的性质是解题关键．
11．B
【分析】由题意易得△ABC∽△DAC，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴△ABC∽△DAC，
∴，即，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
12．C
【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．证明，推出，构建方程求出即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
13．
【分析】此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．根据平行四边形的性质和三角形的相似性，可求出阴影部分与平行四边形的面积比．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵M是平行四边形的边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积与平行四边形的面积比是．
故答案为：．
14．
【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【详解】解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴，，
则，
∴x＝a；
，
∴y＝a 3.5，
∴x y＝3.5，
故变短了3.5米．
故答案为：．
【点睛】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．
15．1.5
【分析】由可得∠BAC=∠DAE，再由可证△BAC∽△DAE，利用对应边成比例即可求解.
【详解】∵，
∴,
∴∠BAC=∠DAE，
∵，
∴△BAC∽△DAE，
∴，
解得DE=1.5.
16．
【分析】分△APQ∽△ABC、△AQP∽△ABC两种情况，列出比例式，计算即可．
【详解】解：由题意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，则AQ＝（9﹣t）cm，
∵当t=6÷2=3
∴0≤t≤3
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴当＝时，△APQ∽△ABC，
∴＝，
解得：t＝，
当＝时，△AQP∽△ABC，
∴＝，
解得：t＝，
∵3，故舍去
综上所述：当t＝时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为：．
【点睛】解此类题的关键是在运动中寻找相似图形，当运动的时间为t时，要用t来表示相关线段的长度，得出与变量有关的比例式，从而得到函数关系．解题时注意数形结合，考虑全面，做好分类讨论．
17．
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
解得：，
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，
（1）根据题意得出，对顶角，即可判断；
（2）根据（1）的结论得出，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：，，.
，．
，，
，
又，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
19．塔高AB为24m.
【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．
【详解】如图，过点D作，交AE于点F，过点F作，垂足为点G.
由题意得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
答：塔高AB为24m.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用；解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度．
20．(1)证明见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析.
【分析】(1)由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由AC⊥EF，则可证得四边形AFCE是菱形；
(2)由已知可得：S△ABF=AB BF=24cm2，则可得AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），则可求得AB+BF的值，继而求得△ABF的周长．
(3)过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，首先证明四边形AFCE是菱形，然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP，列出关系式．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴S△ABF=AB BF=24cm2，
∴AB BF=48（cm2），
∴AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），
∴AB+BF=14（cm）
∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．
（3）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
由作法得∠AEP=90°，
∴△AOE∽△AEP，
∴，则AE2=AO AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AO＝AC，
∴AE2=AC AP，
∴2AE2=AC AP．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）；菱形的判定；矩形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理，正确推理论证是解题关键．
21．
【分析】本题主要考查相似三角形的证明与性质，能找到三角形相似是本题关键．
先根据题意求得和的长，再判定，列出相关的比例式，求得的长，最后根据、的长得到点P的坐标．
【详解】解：∵点A、B的坐标分别为，，
∴，
∵，
，
，
∵C是的中点，，
∴.
当所在直线与所在直线垂直时，延长交于点H，如图
又
，
∵，
，
∴，
解得或3，
∴当所在直线与所在直线第一次垂直时，点P的坐标为.
22．CD=8米
【分析】由题意得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到△ABP与△CDP相似，由相似得比例求出CD的长即可．
【详解】由题意知：∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴=，
得：=，
解得：CD=8．
答：该古城墙CD的高度为8米．
故答案为CD=8米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
23．（1）证明见解析（2）20
【分析】（1）由＝＝，∠D＝∠A＝90°，可证△ABE∽△DEF；
(2)由DE∥CG，得△DEF∽△CGF，又DF＝DC，即DF＝FC，可得＝＝，故CG＝3ED＝12，所以BG＝BC+CG.
【详解】证明：(1)由题意得＝＝，又∠D＝∠A＝90°，
∴△ABE∽△DEF，　
(2)∵DE∥CG，
∴△DEF∽△CGF，
又∵DF＝DC，即DF＝FC，
∴＝＝，
∴CG＝3ED＝12，
∴BG＝8＋12＝20
【点睛】本题考核知识点：相似三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.
24．（1）两种情况，图见解析；（2）第一种情况：AD=4，AE=2，DE=；第二种情况：AD=2，AE=4，DE=
【分析】本题考查了的是相似三角形的性质.
（1）根据题意直接画出图形；
（2）利用相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：（1）如图．
（2）当DE∥BC时，如图1，
根据相似三角形的相似比可得，△ADE∽△ABC，
∴
即
解得AD=4，AE=2，DE=．
当△ADE∽△ACB，
即时，
如图2，
解得：AD=2，AE=4，DE=．
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