4.6利用相似三角形测高寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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4.6利用相似三角形测高
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为（ ）
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
2．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（ ）米．

A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．一个圆柱形空心零件的上面有个孔，截面图如图所示，若，且量得，则厚度可表示为（ ）

A． B． C． D．
7．有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．小明利用中国古代“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港景点打卡：玉笏朝天）的高度．如图所示，“玉笏朝天”的高度记为，“玉笏朝天”在照板“内芯”上的高度记为，小明的眼睛点与在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（　　）

A．10 B．10.8 C．12 D．15
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是AC边上的高线，DC＝1，则BD的长等于( )
A．2 B．3
C．4 D．
12．某同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立米长的标杆测得其影厂为米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为米和米，则学校旗杆的高度为（ ）米．
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿，它的影长，竹竿的影子有一部分落在墙上，．竹竿的长为 m．
14．已知某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，则该建筑物的高为 ．
15．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2.（结果保留一位小数）
16．在△ABC中，∠A＝60°，CD是△ABC的高线，则∠ACD＝ ．
17．早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示）
三、解答题
18．小乐同学想利用树影测量校园内的树高．如图，他在某一时刻测得小树高为时，其影长为．当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为，墙上影长为．求这棵大树的高是多少米？
19．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：
（1）求△ABC的面积
（2）求CD的长；
（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积．
20．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=80°，∠C=40°，求∠DAE的大小．
21．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
22．景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？
23．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度．
24．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
《4.6利用相似三角形测高》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D B D B B B B
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x寸，
竹竿的影长=150寸，标杆长=15寸，影长=5寸，
,
解得：．
答：竹竿长为450寸，
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
2．C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P，
∵水面离桌面的高度为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
根据勾股定理可得：，
∴，
即此时点C离桌面的高度为．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：如图，由题意，得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：树的高度为；
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出．
【详解】解：如图，，，，

∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴，
即旗杆的高度为．
故选：D
5．B
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意得，有即可求得，结合眼睛离地面的高度即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得，
∵眼睛D离地面的高度为，
∴，
∴，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：依题意得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可列出方程．
【详解】解：若设竹竿的长度为尺，
竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴A，C，D不正确，B正确，
故选：B．
9．B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=，利用AD平分∠BAC及三角形的外角性质求出∠ADC=∠B+∠BAD=，再根据∠AED=求出答案．
【详解】∵，，
∴∠BAC=，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=，
∴∠DAE=-∠ADE=，
故选：B．
【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，垂直的定义，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，这是三角形的基础题型．
10．B
【详解】∵AD，CE是△ABC的两条高，AD=10，CE=9，AB=12，
∴△ABC的面积=×12×9=BC AD=54，
即12BC 10=54，解得BC=10.8.
故选B.
11．B
【分析】根据已知AC=5=AB和CD=1可求得AD=4然后根据勾股定理求得BD=3，勾股定理的内容是在直角三角形中有两条直角边的平方和等于斜边的平方即可.
【详解】解：∵BD⊥AC
∴∠ADB=90°
∵AC=5， CD=1
∴AD=4
∵AB=5
∴BD= =3.
故答案选：B.
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即可解答，本题根据AC=5，CD=1可求出AD=4，然后根据勾股定理求BD的值.
12．D
【分析】利用相似三角形对应线段成比例，求解即可．
【详解】解：米长的标杆测得其影长为米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值，
所以墙上的米投射到地面上实际为米，即旗杆影长为米，
因此旗杆总高度为米，
故选．
【点睛】本题考查的是相似形在投影中的应用，关键是利用相似比来解题．
13．
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：m，m，然后根据同一时刻的物高与影长成正比例可得比例式，从而进行计算即可解答．
【详解】解：如图，过点N作于点．
由题意，得，
．
又，，
，
．
故竹竿的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．21.6
【详解】试题分析：设该建筑物的高为x米，根据同一时刻物体的高与影长的关系即可列方程求解.
设该建筑物的高为x米，由题意得
解得
则该建筑物的高为21.6米.
考点：相似三角形的应用
点评：本题是相似三角形的基础应用题，难度一般，主要考查学生对生活常识的理解能力.
15．1.9
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为1.9．
【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
16．30°
【分析】根据直角三角形两锐角互余可求出∠ACD．
【详解】∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ACD=90°-60°=30°.
故答案为30°.
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，，即：，可得，同理，可得，即：，则有，问题随之得解．
【详解】如图，
根据题意有：，，，，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
同理，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18．9m
【分析】方法1：过G作GM⊥ED于M，根据题意可得，即可求得EM的长，从而求得大树的高.
方法2：延长EG与DF的延长线交于点H，则可得，求出，即可得出，然后根据得出结果．
【详解】方法1：过作于，
∴，
∵，
∴，
由题意可知：四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴高度为．
方法2：延长EG与DF的延长线交于点H，
∵，
∴,
∴,
解得：,
∴,
∴,
∴,
解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键．
19．（1）30cm2；（2）cm；（3）见解析，15cm2
【分析】（1）根据直角三角形面积的求法，即可得出△ABC的面积，
（2）根据三角形的面积公式即可求得CD的长，
（3）根据中线的性质可得出△ABE和△BCE的面积相等，从而得出答案．
【详解】（1）∵∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝5cm，
∴S△ABC＝BC×AC＝30cm2，
（2）∵S△ABC＝AB×CD＝30cm2，
∴CD＝30÷AB＝cm，
（3）如图，BE是△ABC的边AC上的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝×30＝15cm2．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的面积的计算方法及面积公式应用同时考查了直角三角形的高、中点的性质，难度适中．
20．10°
【分析】由题意易得∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=60°，则有∠BAE=∠CAE=∠BAC=40°，进而根据角的等量关系可求解．
【详解】解：∵∠BAC=80°，∠C=40°，
∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣30°=10°．
【点睛】本题主要考查三角形的角平分线、高线及直角三角形的性质，熟练掌握三角形的角平分线、高线及直角三角形的性质是解题的关键．
21．4
【详解】试题分析：首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得△EBD的面积是10，再利用三角形的面积公式进而得到BD边上的高．
试题解析：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，
∴S△BDE＝×S△ABC＝S△ABC，
∵△ABC的面积为40，
∴S△BDE＝×40＝10，
设△BDE中BD边上的高为x，
∵BD＝5，
∴×5 x＝10，
解得x＝4，
故△BDE中BD边上的高为4.
22．10米
【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案；
【详解】解：，
，
，
，
，
，
米．
23．这棵树的高度为
【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
答：这棵树的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键．
24．树高为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案．
【详解】解：据题意可得，，
，
．
，，，
，
，
．
答：树高为．
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