4.5相似三角形判定定理的证明寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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4.5相似三角形判定定理的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，如果上的点使，那么这样的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，不能判定和相似的条件是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD=16，则DE的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．10
4．如图在△ABC中，DE∥BC，且AD：BD=1：2，则S△ADE：S四边形DBCE=（　　）
A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：8
5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC =15m，CD =30m，则河的宽度AB长为（　 　）
A．90m B．60m C．45m D．30m
6．如图，点是的边延长线上一点，分别交、的延长线于点、，则图中相似三角形共有（ ）对．
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：
①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，若AD＝2，AE＝3，CE＝1，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④
11．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD AC；③AD BC=AB BD；④AB BC=AC BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
12．如图，点E为 ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于(　　)

A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3
二、填空题
13．如图：点是的斜边上不与、重合的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与原相似，这样的直线共有 条．
14．如图，BD、CE是的高，图中相似三角形有 对．

15．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）

16．如图，在中，是上一点，增加一个条件使，这个条件可以是 （写出一个即可）．
17．如图，中，，于点，于点，于点，，则 .
三、解答题
18．如图，在△ABC中，AB=4 cm，AC=2 cm．
(1)在AB上取一点D（D不与A、B重合），当AD=_________cm时，△ACD∽△ABC．
(2)在AC的延长线上取一点E，当CE=________cm时，△AEB∽△ABC．此时BE与DC有怎样的位置关系 为什么
19．如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，．
(1)求证：；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，，，求的长．
20．如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且CD2=BC·CE，AD=6，AE=4．
（1）求证：△BCD∽△DCE；
（2）求证：△ADE∽△ACD；
（3）求CE的长．
21．如图，与在一条直线上，．将图（2）的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形．
22．如图，已知：过△ABC的底边BC的中点D任作一条直线交AC于点Q，交AB的延长线于点P，作AE∥BC交DQ的延长线于点E．求证：PD QE=DQ PE．
23．如图，为的斜边上的高线，的平分线交，于点，，求证：．
24．是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件EFHG，使矩形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F在AB、AC上，
求证：EF：：AD；
设，，用含x的代数式表示y；
设矩形EFHG的面积是S，求S与x的函数关系式，并求当x为何值时S取得最大值，最大值为多少？
《4.5相似三角形判定定理的证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D B C B A B D
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论得出AP的长，即可得到满足题意的点P的个数．
【详解】分两种情况：
①如果△PAD∽△PBC，
则PA:PB=AD:BC=2:3，
又PA+PB=AB=7，
∴AP=7×2÷5=2.8；
②如果△PAD∽△CBP，
则PA:BC=AD:BP，
即PA PB=2×3=6，
又∵PA+PB=AB=7，
∴PA、PB是一元二次方程x2 7x+6=0的两根，
解得
∴AP=1或6.
综上，可知AP=2.8或1或6.
∴满足题意的点P的个数为3个，
故选C.
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2．D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可．
【详解】解：A、由知，且，
可判断和相似，故选项A不符合题意；
B、，且，
可判断和相似，故选项B不符合题意；
C、，且，
可判断和相似，故选项C不符合题意；
D、由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】由AD∥BC可得△CBE∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例可得BE：AE=CE：ED=3：5，由此即可求出答案.
【详解】∵AD∥BC，
∴△CBE∽△AED，
∴BE：AE=CE：ED=3：5，
∵CD=16．CE+ED=CD，
∴DE==10，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
4．D
【详解】分析：
由已知条件易得△ADE∽△ABC，且相似比为1：3，由此可得S△ADE：S△ABC=1：9，从而可得S△ABC：S四边形DBCE=1：8.
详解：
∵DE∥BC，且AD：BD=1：2，
∴△ADE∽△ABC，AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：9，
∴S△ABC：S四边形DBCE=1：8.
故选D.
点睛：本题解题有两个要点：（1）能由已知条件得到：△ADE∽△ABC，AD：AB=1：3；（2）知道相似三角形的面积比等于相似比的平方.
5．B
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE，
∴,
又∵BE=30m，EC =15m，CD =30m，
∴，
∴AB＝60(m).
故答案是B.
6．C
【分析】先根据平行四边形的性质得BC∥AD，AB∥CD，△ABD∽△CDB，再利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由AB∥CF得到△EAB∽△EFC，由AD∥EC得到△AFD∽△EFC，则△EAD∽△AFD；再由AD∥BE得△ADG∽△EBG；由DF∥AB得到△GDF∽△GBA．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，AB∥CD，△ABD∽△CDB，
∵AB∥CF，
∴△EAB∽△EFC，
∵AD∥EC，
∴△AFD∽△EFC，
∴△EAD∽△AFD；
∵AD∥BE，
∴△ADG∽△EBG；
∵DF∥AB，
∴△GDF∽△GBA．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．也考查了平行四边形的性质．
7．B
【详解】解：∵E为CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正确；
当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，解得a=1.5，即BM=1.5，∴由勾股定理可得AM=2.5，∴DE+BM=2.5=AM，又∵AB＜BC，∴AM=DE+BM不成立，故②错误；
∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD CM，故③正确；
∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圆的直径，∵BM＜AD，∴当BM∥AD时，＜1，∴N不是AM的中点，∴点N不是△ABM的外心，故④错误．
综上所述，正确的结论有2个，故选B．
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等．
8．A
【分析】由，∠BDE=∠ADC可证明△BDE∽△ACD，根据相似三角形对应找到成比例找出对应边即可求出DC的长.
【详解】∵，∠BDE=∠ADC，
∴△BDE∽△ACD，
∴DC：BD=AD：DE，
∵，，AB=AD+BD，
∴AD=4，BD=6，
∴DC== = ，
故选A.
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形找出对应边是解题关键.
9．B
【详解】∵AE＝3，CE＝1，
．
∵∠AED＝∠B，∠Ａ＝∠Ａ，
，
，
，
，
．
故选Ｂ．
10．D
【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可．
【详解】解：①中三角形三边分别为，2，，
②中三角形三边分别为，3，，
③中三角形三边分别为，，，
④中三角形三边分别为2，，，
∵，
∴是相似三角形的是①和④．
故选D．
11．A
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，可判断①，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判断断②③④．
【详解】①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB；
②∵AB2=AD AC，∴=．
∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB；
③∵AD BC=AB BD，∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似；
④∵AB BC=AC BD，∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似．
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
12．B
【分析】如图，延长FE，CD交于点H，易证△AFE∽△DHE，根据已知条件和相似三角形的性质可得HD＝3AF.再证得△AFG∽△CHG，根据相似三角形的性质即可解答
【详解】延长FE，CD交于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴△AFE∽△DHE，
∴ =，即 ，
∴HD＝3AF.
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CHG，
∴.
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，正确作出辅助线证明△AFE∽△DHE及△AFG∽△CHG是解题的关键.
13．
【分析】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似，根据这个知识点作线即可.
【详解】当过点M的直线平行于AB和AC时，所截的三角形与△ABC相似，当过M的直线垂直于AC时也相似，所以这样的直线共有三条.
【点睛】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似.
14．2对（∽，∽）
【分析】由△ACE和△ABD均为直角三角形且有公共角，可判定两个三角形相似；由△EOB和△DOC均为直角三角形且有对顶角，可判定两个三角形相似.
【详解】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠ADB=90°，
∴△ACE∽△ABD，
∵∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°
∴△EOB∽△DOC，
故答案为2
【点睛】本题考查了有两角对应相等的三角形相似.
15．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似．
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
16．或或
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键；
根据相似三角形的判定方法解决问题即可．
【详解】解：在和中，
∵，
∴添加或或，，
故答案为：或或．
17．6
【详解】【分析】由等腰三角形的性质可得∠C ＝∠ABC， BD=DC=BC，再根据∠BED=∠CFB=90°，可证△BED∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得.
【详解】∵AB=AC，
∴∠C ＝∠ABC ，
又∵AD ⊥BC于 D 点，
∴ BD=DC=BC，
又 DE ⊥AB，BF ⊥AC，
∴∠BED=∠CFB=90°，
∴△BED∽△CFB，
∴DE：BF=BD：BC=1：2，
∴BF=2DE=2×3=6cm ，
故答案为6.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，得到△BED∽△CFB是解本题的关键.
18．(1)1; (2)6.
【详解】（1）如图，∵∠A=∠A，∴当AD:AC=AC:AB时，△ACD∽△ABC.
由AD:AC=AC:AB可得：AD·AB=AC2，∵AC=2，AB=4，∴解得AD=1，即当AD=1时，AD:AC=AC:AB；
（2）如图，∵∠A=∠A，∴当AE:AB=AB:AC时，△AEB∽△ABC.
由AE:AB=AB:AC可得AE·AC=AB2，∵AC=2，AB=4，∴AE=8，∴CE=AE-AC=6.
此时，BE∥CD，理由如下：
∵△ACD∽△ABC，△AEB∽△ABC，
∴∠ACD=∠ABC，∠AEB=∠ABC，
∴∠ACD=∠AEB，
∴BE∥CD.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证；
（2）由（1）知：，根据平行四边形的判定即可得证；
（3）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴；
（2）由（1）知：，即，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵，，，
∴，
由（1）知：，，
∴，，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
在中，，
∴的长为．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
20．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5
【详解】试题分析：（1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；
（3）根据两个三角形相似，对应边成比例，可得答案．
试题解析：（1）证明：CD是△ABC中∠ACB的角平分线，
∴∠BCD=∠DCE．
∵CD2=BC CE，
∴，
∴△BCD∽△DCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；
（2）证明：∵△BCD∽△DCE，
∴∠EDC=∠DBC（相似三角形的对应角相等）．
∵∠ADC=∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE=∠ACD．
∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；
（3）解：∵△ADE∽△ACD，
∴，
∴，
∴AC=9，
∴CE=AC-AE=9-4=5．
21．图见解析．
【分析】根据与在一条直线上，，可知∠C=∠F，所以所截的三角形只需要再有一个角和△ABC中的一个非∠C的角相等即可得到与（1）相似的图形．
【详解】解：如下图所示，在上任取一点P（点F除外）．过点P作的平行线，交于点Q，沿将图（2）截开，与相似．
【点睛】本题考查作相似图形．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
22．见解析
【详解】试题分析: 首先由AE∥BC，得出△PBD∽△PAE，△DCQ∽△EAQ，得出PD：PE=BD：AE，DQ：EQ=CD：AE，进一步由D为BC的中点得出BD=CD，等量代换得出PD：PE=DQ：EQ，整理得出答案即可．
试题解析:
证明：∵AE∥BC，
∴△PBD∽△PAE，△DCQ∽△EAQ，
∴PD：PE=BD：AE，DQ：EQ=CD：AE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴PD：PE=DQ：EQ，
∴PD QE=DQ PE．
23．证明见解析
【分析】根据同角的余角相等可得∠ACD=∠B，再根据AE是∠BAC的平分线可以得到∠CAE=∠EAB，利用两角对应相等，两三角形相似即可证明.
【详解】证明：∵，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知两角对应相等，两三角形相似是解决本题的关键．
24．（1）见解析 （2） （3）
【详解】分析：（1）根据EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，进而得出EF：BC=AM：AD；
（2）设EF=x，EG=y，利用相似三角形的性质用x表示出y即可；
（3）根据矩形面积公式求出S与x之间的解析式，即可得出结论．
详解：证明：四边形EFHG是矩形，
，
∽，
；
解：设，，
故，
解得：．
．
即．
当时，矩形EGHF的面积最大最大值．
点睛：本题主要考查了相似三角形的应用、矩形EGHF的面积的表达，把问题转化为二次函数，利用二次函数的性质是解决问题关键．
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