4.4探索三角形相似的条件寒假练习 （含解析）北师大版数学九年级上册

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4.4探索三角形相似的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．能判定的条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中与
交于H点．若 ABC= EFC=70°， ACB=60°， DGB=40°，则下列哪 一组三角形相似？
A．△BDG，△CEF B．△ABC，△CEF ( C．△ABC，△BDG D．△FGH，△ABC
4．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
5．在和中，若，，，，则这两个三角形（ ）
A．是相似三角形，但不是全等三角形 B．是全等三角形，但不是相似三角形
C．是相似三角形，也是全等三角形 D．既不是相似三角形，也不是全等三角形
6．在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是正方形的边上一点，下列条件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（ ）
A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①②③④⑤
8．下列语句叙述正确的是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形都相似 B．有一个角是的直角三角形都相似
C．有一个角是的锐角三角形都相似 D．有一个角是的钝角三角形都相似
9．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对
10．如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是( )
A．过点E作，交于点G，则
B．取的中点M，连接，则
C．在线段和上分别取点M、N，使得，则
D．在上取一点G，使得，则
11．已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别，，，则△ABC与△DEF( )
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判定是否相似
12．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在和中，如果，那么这两个三角形是否相似？答： ，理由是 ．
14．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ．
15．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为 ．
16．如图，、相交于点，与不平行，当满足条件 时，．
17．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）

三、解答题
18．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
19．如图，相交于点．求证∶
20．在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图．
(1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点）
(2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）．
21．如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：．
22．如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．

23．如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接．
(1)如图（1），若．
①填空： ；（用含α的式子表示）
②求证：．
(2)将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
24．如图，点分别是延长线上的点，请添加一个条件：____________________，使得，并写出证明过程．
《4.4探索三角形相似的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B D C B D B D B
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．
【详解】解：∵点D、E分别在边、上，，
∴，故A正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故B正确；
∵，，
∴，
∴，故C正确；
与不一定相似，故D不正确；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，熟悉判定定理是解题的关键．
根据三角形相似的判定定理（两边对应成比例且夹角相等）进行分析即可．
【详解】解：∵，且．
∴．
故选：D．
3．B
【详解】在△ABC、△CEF中∠ABC=∠EFC=70°,∠DGB=40°且∠DGB为两个三角形的公共角，又∠BAC=∠FEC=50°,即△ABC与△CEF相似．
4．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：与都是等边三角形，
，
又，
，
与相似的三角形是，
故选：D．
5．C
【分析】根据全等三角形与相似三角形的判定即可判断.
【详解】∵，，∴∠B=180°-∠A-∠C=40°，
∴∠B=∠E=40°，
又，
∴△ABC≌△DEF，
同时△ABC∽△DEF，
故选C.
【点睛】此题主要考查全等三角形、相似三角形的判定，解题的关键是熟知其判定定理.
6．B
【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．根据三角形相似的判定定理判断即可．
【详解】解：A、满足“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”，所以选项A正确，不符合题意；
B、虽然两边对应成比例，但不满足这两边的夹角相等，所以选项B错误，符合题意；
C、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项C正确，不符合题意；
D、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项D正确，不符合题意．
故选：B．
7．D
【分析】对于①②④，直接利用相似三角形的判定方法判断即可；对于③，先利用同角的余角相等转化为①，即可进行判断，对于⑤，利用比例的性质和勾股定理进行判断.
【详解】解：∵∠B=∠C=90°，∴只要满足或，均可判定△ABE∽△ECF，所以①②都正确；
③中，当时，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，故③正确；
④中对应边成比例，且夹角均为90°，∴△ABE∽△ECF，故④正确；
⑤中，当时，则，即，
∴，∴，∴，
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴⑤正确；
综上，故选D.
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、比例的性质和勾股定理等知识，熟知相似三角形的判定与性质是判断①②③④的关键，对于⑤，则需综合运用比例的性质和勾股定理进行判断.
8．B
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．可以通过举反例来证明．
本题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握举反例的解题方法，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用．
【详解】A、有一个角是的等腰三角形不一定相似，如、、的等腰三角形和、、的等腰三角形不相似，故本选项错误；
B、有一个角是的直角三角形都相似，正确；
C、有一个角是的锐角三角形不一定相似，如 、、的锐角三角形和、、的锐角三角形不相似，故本选项错误；
D、有一个角是的钝角三角形不一定相似，如 、、的钝角三角形和、、的钝角三角形不相似，故本选项错误；
故选：B．
9．D
【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，再根据题意得，，，，可得，，即可证得；即可求解．
【详解】解：甲：如图，
根据题意得，，，
则，，
∴，，
∵
∴，
∴新矩形与原矩形不相似，
∴甲说法不正确；
乙：如图，
根据题意得，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴乙说法正确；
故选：D．
10．B
【分析】本题考查相似三角形的判定，平行线的性质，难度不大，运用空间想象判断是解题的关键．根据题意可得，即一组角相等，选项A、C，都可以利用平行证明另一组角相等，选项D直接给出另一组角相等，从而可以证明相似，选项B不能证明三角形相似，从而得解．
【详解】解：连接，
∵与在一条直线上，
∴点B，C，E，F四点共线，
∵，
∴，
A、如下图，过点E作，交于点G，
∵，
∴，
又∵，
∴，选项A正确，不符合题意；
B、如下图，取的中点M，连接，
无法证明，，因此无法证明，选项B错误，符合题意；
C、如图在线段和上分别取点M、N，使得，
∵，
∴，
又∵，
∴，选项C正确，不符合题意；
D、如下图，在上取一点G，使得，
∵，，
∴，选项D正确，不符合题意；
故选：B．
11．A
【分析】求出三组对应边的比，看是否相等即可判断两三角形是否相似．
【详解】解：∵，
∴△ABC与△DEF一定相似．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题关键是掌握相似三角形的判定定理之一：有三组对应边的比相等的两个三角形相似．
12．C
【分析】依据相似三角形的判定定理一一证明，用排除法即可选择.
【详解】解：A.∵,,
∴∽;
B.∵,,
∴∽;
D.∵在同一个圆上，
∴,
又∵,
∴,,
∴∽;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了相似的判定定理，同时考查了圆内接四边形对角互补的性质，注意隐含的条件公共角、熟悉几种常见的相似模型是解题的关键.
13． 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【分析】根据相似三角形的判定方法，判定即可．
【详解】解：∵，
∴，理由为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
故答案为：，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
14．甲和丙
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法．
根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴甲和丙一定相似，
故答案为：甲和丙．
15．3．
【分析】由平移的性质可得AB//EG，可证明△GEC∽△ABC，根据相似三角形的性质得出＝（）2＝，得出＝＝，即可得答案．
【详解】∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥EG，
∴△GEC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝＝，
∵BC＝6，
∴EC＝3，
故答案为：3
【点睛】本题考查平移的性质及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
16．∠B
【分析】由相似三角形的判定可直接进行求解．
【详解】解：当满足条件∠C=∠B时，△AEC∽△DEB，理由如下：
∵∠AEC=∠DEB，∠C=∠B，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
17．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似．
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
18．证明见解析．
【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
【详解】证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点睛】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键．
19．见解析
【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答．
【详解】证明∶，
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理．
（1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可；
（2）根据相似三角形的判定求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形；
（2）解：如图所示，
21．见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定，先由旋转得，进而得，，，即可证．
【详解】证明：根据旋转的性质，得，
，
，
．
由，
得，
．
22．△ADE∽△BDA
【分析】先利用勾股定理求得AD=，进而有，又∠ADB=∠ADB
，利用“两组边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似”即可证得△ADE∽△BDA．
【详解】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE，
∴AD=，BD=2，
∴，
∵∠ADB=∠ADB，
∴△ADE∽△BDA．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
23．(1)①；②见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键．
（1）①根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论；
②连接，证明是等腰直角三角形即可；
（2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论．
【详解】（1）解：①∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵O为的中点，且，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
②如图，连接．
∵，点O是的中点，
∴，
∴，
∴．
∴是等腰直角三角形，
∴．
（2）解：成立
证明：如图，过点D作于点H．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴=，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
又，
∴，
又，
又，
∴，
∴，即（1）②中结论仍然成立
24． (答案不唯一)；证明见解析
【分析】本题考查了三角形相似，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意，得到两个三角形有个对顶角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可．
【详解】 (答案不唯一)
证明：∵点分别是延长线上的点，
∴，
当时，
∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：；
当时，
∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：；
当时，
∴根据两直线平行内错角相等可得：，
∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：．
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