4.3相似多边形寒假练习 （含解析）北师大版数学九年级上册

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4.3相似多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，，点分别在、边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（ ）
A．20 B．18 C．12 D．9
3．如图，在测量某物体的长度时，若看不清标尺上的刻度，可利用放大镜将标尺上的数码放大，这种图形变换是（　　）
A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换
4．如图，已知五边形五边形，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正五边形与正五边形，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．两个相似多边形的一组对分别是3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是，那么较大的多边形的面积是（　　）
A．44.8
B．42
C．52
D．54
7．下面几对图形中，相似的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称
9．下列四组图形中，是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形四边形，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形
12．把矩形对折，折痕为，且矩形与矩形相似，则矩形的长与宽的比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是 和 ．
14．已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB∶A′B′＝1∶3，则它们的相似比为 .
15．将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是 ．
16．如图，一块长（）为2米，宽()为1米的矩形玻璃，为了保护玻璃需要镶上宽10厘米的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？（补全解答过程）
解：不相似.理由如下：
.
由题意.得 ，
.
∵ ，（“填”“=”或“≠”）
∴两个矩形不相似.
17．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为 .
三、解答题
18．观察图中①~⑩的图形，其中哪些图形分别与（1），（2），（3），（4）相似？

（1） 　（2） 　（3） 　（4）

　① 　② 　③ 　 ④ 　 ⑤

　⑥ 　　 ⑦ 　 ⑧ 　 ⑨ 　 ⑩
19．如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH．
(1)求的值；
(2)若，求矩形EFGH的面积．
20．将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？

21．如图，四边形∽四边形
(1)的度数为_______，四边形与四边形的相似比为_______；
(2)分别求边 与边的长度．
22．如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？
23．以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，求新正方形与原正方形的相似比.
24．如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且．
(1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长．
(2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
《4.3相似多边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D D B D C C D D
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】本题考查了相似多边形的性质，设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和，由对折后的报纸形状与对折前的形状相似，，然后求出，关系即可，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和，
∵对折后的报纸形状与对折前的形状相似，
∴原矩形与新矩形的边比相等，，
，
，
∴，
即矩形较短边与长边的比应是，
故选：．
2．A
【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案．
【详解】解：矩形矩形，且面积比为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选A
3．D
【分析】图形放大与缩小都是相似变换，根据这一点对四个选项依次判断．
【详解】A项：平移是上下左右的移动，不能放大或缩小，故A项不符题意；
B项：旋转变换是绕某点旋转，不能放大缩小，故B项不符题意；
C项：轴对称变换是每个点对称到对称轴的另一侧，不能放大或缩小，故C项不符合题意；
D项：相似变换可以放大或缩小，故D项符合题意．
【点睛】本题考查相似变换和其他各种变换的定义，理解这些定义是本题解题关键．
4．D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键在于熟知相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
【详解】解：∵五边形五边形，，
∴，
故选D．
5．B
【分析】根据两个五边形都是正多边形，得到各边都相等，然后进行等量替换判断正确选项．
【详解】解：五边形和五边形都是正多边形，
，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形的性质．根据正多边形的性质判断线段之间的关系．
6．D
【详解】设较大多边形的面积为Scm2，则较小多边形的面积为：（78-S）cm2.
∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，
∴(4.5:3)2=S:(78 S)，解得S=54（cm2）.
故选D.
点睛：本题是一道关于相似图形的题目，解题的关键是熟练掌握相似图形的性质.
7．C
【分析】本题主要考查了相似图形的识别，形状完全相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案．
【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的两个图形相似，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握几何变换的特征是解题的关键．根据几何变换的特征即可得到答案．
【详解】解：由图可知，两个开口向右的大小不一样，故只可能是相似，
故选C．
9．D
【分析】本题考查的是相似形的定义，掌握相似性的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似形”是解题的关键．
【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的图形是相似图形，
故选：D．
10．D
【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可．
【详解】∵四边形四边形，，，，
∴，
∴
故选：D
【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可．
【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误；
B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误；
C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确；
D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误，
故选：C．
12．D
【分析】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
【详解】设矩形ABCD的长AD=x,宽AB=y,则
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似,
∴,即
即
∴
故选:D.
【点睛】考查相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键.
13． 5 20
【详解】解：∵两个相似多边形的周长比为1：2，
∴多边形的面积的比=（1：2）2=1：4，
设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x．
根据题意得：x+4x=25
解得：x=5．
∴这两个多边形的面积分别是5和20．
故答案为：5，20．
14．1∶3
【详解】因为相似多边形的相似比等于对应边的比，所以相似比为1:3，故答案为1:3.
15．
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【详解】解：由题意得,四边形ABFE相似四边形ADCB，
故答案为．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等、对应角相等是解题的关键．
16．
【分析】两个矩形的四个角为直角相等，但先求出边框的内外边缘所成的矩形长的比与宽的比，然后根据相似多边形的定义进行判断即可．
【详解】不相似.理由如下：
.
由题意.得，
.
∵≠，（“填”“=”或“≠”）
∴两个矩形不相似.
故答案为(1). (2). (3).
【点睛】此题考查相似多边形的性质，解题关键在于掌握其性质.
17．1：．
【分析】直接利用相似图形的性质由面积比得出相似比即可．
【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，
∴它们的相似比为：1：．
故答案为1：．
【点睛】本题考查相似多边形的性质：相似多边形的面积的比等于相似比的平方，熟记性质是解题的关键．
18．与（1）相似的图形是⑦；与（2）相似的图形是①⑧；与（3）相似的图形是②④；与（4）相似的图形是⑩．
【分析】如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，根据相似图形的定义即可求解．
【详解】解：与（1）相似的图形是⑦；
与（2）相似的图形是①⑧；
与（3）相似的图形是②④；
与（4）相似的图形是⑩．
【点睛】本题主要考查的是相似图形的判断，利用相似图形的性质即可正确的判断出相似图形，掌握这个知识点是解题的关键．
19．(1)a：b＝2：1
(2)6272米2
【分析】（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可得，进而可以解决问题；
（2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH的面积＝EF HE，即可解决问题．
【详解】（1）根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH．
∴，
∴，
整理，得2b＝a，
∴a：b＝2：1；
（2）∵a＝4，2b＝a，
∴b＝2，
∴矩形EFGH的面积
＝EF HE
＝（120﹣2a） （60﹣2b）
＝（120﹣8）（60﹣4）
＝112×56
＝6272（米2）．
答：矩形EFGH的面积为6272米2．
【点睛】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．
20．见解析
【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
【详解】∵三角形、矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，
∴变化前后的两个三角形、矩形都不相似，
∵正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个正方形相似．
【点睛】此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
21．(1)；
(2)，
【分析】（1）根据相似得到对应角相等，再根据四边形内角和定理即可得到答案；
（2）根据相似得到对应线段成比例即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形∽四边形，
∴，，
∴，
相似比为：．
（2）解：∵四边形∽四边形，
∴ ，
∴，．
【点睛】本题考查相似图形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是找准对应角对应边．
22．当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似．
【分析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出x的值即可．
【详解】试题分析：根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出x的值即可．
解：∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，
∴
解得，x=1m，
答：当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应边的比相等是解题的关键．
23．
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出正方形EFGH的边长，即可求解．
【详解】
解：如图，设正方形ABCD的边长为2a，
∵E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，
∴AE=AH=a，
∵∠A=90°，
∴新正方形与原正方形的相似比=EH：AB==．
【点睛】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．
24．(1)
(2)存在．或
【分析】（1）先根据矩形相似可得出两矩形的对应边成比例，设，再把、的值代入关系式即可得出的值，进而可求出的值；
（2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论．
【详解】（1）矩形矩形，
．
设．
，
，解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
（2）存在．
假设存在矩形与矩形相似，则一定与对应，一定与对应，
，
．
又，，
，
，而，
依据对称性考虑，一定存在当时，使矩形与矩形相似的情况．
综上所述，当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例，解题的关键是掌握相似多边形的判定．
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