4.2平行线分线段成比例寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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4.2平行线分线段成比例
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=3，DA=5，CF=4，则FB等于（　　）
A． B． C．5 D．6
2．已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，是延长线上一点，分别与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在中，点是的中点，于点，于点，，分别交于点，．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知线段a、b、c，求作线段，下列作法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A．2 B．4 C．4.8 D．7.2
8．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
9．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点都在格点上，点是线段与网格的交点，每个小格是长度为1的正方形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，，，动点从点沿线段向点移动从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为cm/s，点的速度为cm/s．当到达点时两点同时停止运动．若此过程中有．则当时运动的时间是（　　）
A．2s B．2.4s C．3s D．1s或3s
12．如图，l1∥l2∥l3，若，DF=6，则DE等于（ ）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
二、填空题
13．如图，在中，，，将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于E，F．
（1） ．
（2） ．
14．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是 ．
15．如图、已知AD、BC相交于点O，，如果，，，那么 ．
16．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为 ．
17．如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为 ．
三、解答题
18．如图，在中，D，E分别是和上的点，且．
（1）如果，，，，那么的长是多少？
（2）如果，，，那么的长是多少？
19．如图，DE∥BC，EC=AD，AE=2cm，AB=7.5cm，求DB的长．
20．如图，在中，，．求证：．
21．已知，点E是延长线上一点，与，分别相交于点G，F．求证：．

22．如图，已知点D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠A＝60°．
(1)求作Rt△DEF，使点F在AB的延长线上，∠DEF＝90°，∠EDF＝60°，且BF＝AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的前提下，连结CE，BE．求证：EB＝EC．
23．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）求AB的长．

24． 如图（1），在中，，，的平分线交于E．
(1)求证：；
(2)如图（2），过点E作交于F，将绕点A逆时针旋转角α得到，连接，，求证：；
(3)在（2）的旋转过程中是否存在？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

《4.2平行线分线段成比例》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D D D D B B B
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值求解即可．
【详解】∵AB∥EF∥DC，∴=．
∵DE=3，DA=5，CF=4，∴=，∴CB=，∴FB=CB﹣CF=﹣4=．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
2．B
【分析】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误；
B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确；
C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误；
D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误；
故选：B．
3．D
【分析】依据平行线分对应线段成比例可作出判断.
【详解】解：∵，
∴，，
∴①，②；③；,
∴,
∴④，
正确的个数是4,
故选：D.
【点睛】本题考查了平行线分对应线段成比例，找到对应线段是解题的关键.
4．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，连接，过点作，证明四边形是矩形，设，，则，根据，可得，根据，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作，
∵四边形是平行四边形，点是的中点，
∴，，，
∵，，
∴，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
设，，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故选：D．
5．D
【分析】根据AG=2，GB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=3，
∵ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
6．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】由A得，，则x＝，A错误；
由B得，，则x＝，B错误；
由C得，，则x＝，C错误；
由D得，，则x＝，D正确.
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
7．D
【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
解得：BC＝7.2；
故选：D
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．
8．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理可得，代入计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故选：B．
9．B
【分析】由，得，进而即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，，
∴，即：，
∴AE=4，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查勾股定理，以及平行线分线段对应成比例．如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段对应成比例，进行求解即可．
【详解】解：如图：，
∴，
在中，，
则：，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
11．B
【分析】利用平行线分线段成比例定理，代值构建方程求解即可得到结论．
【详解】解：设运动时间为秒，
，
，
，，，，
，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理列出线段比例．
12．C
【详解】试题解析：根据平行线分线段成比例定理，可得：
设
解得：
故选C.
13． 45°
【分析】设AB=1，则在Rt△ABC中易得AC=，AB=2，根据翻折的性质，可知，，则有∠ABE=∠DAE，∠DAF=∠CAF，∠AEB=∠AED=90°，AB=AD，BE=ED=，，，则即AE⊥BC，=45°，根据AB=AD=1，∠B=90°-∠C=60°，可知△ABD是等边三角形，则BD=AB=2，，又根据，可知，则，则有，则可求．
【详解】（1）如图，
为便于计算，设AB=1，
∵在Rt△ABC中有，
∴易得AC=，CB=2，，
根据翻折的性质，可知，，
∴∠ABE=∠DAE，∠DAF=∠CAF，∠AEB=∠AED=90°，AB=AD，BE=ED，，，
∴AE⊥BC，=45°，
（2）∵AB=AD=1，，
∴△ABD是等边三角形，则BD=AB=1=AD，，
又∵，
∴，则，
∵AB=AD，BE=DE，
∴AE⊥BC，
∴，
∴，
又∵，AD=1，
∴．
故答案为：45°，．
【点睛】本题考查了全等三角形，解含特殊角的直角三角形、轴对称（折叠）问题以及平行等问题，熟练掌握对折的性质是解答本题的关键．
14．
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键．
【详解】解：∵各条平行线间距离相等，
∴，
∵，则，
∴，
故答案为：．
15．6
【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，则即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键．
16．6
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟记各性质是解题的关键．由菱形的性质可得，，利用为的中位线求得，借助勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：菱形中，对角线，相交于点，
，，，
，
∴，
，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：．
17．
【分析】首先证明EF：BC=1：3，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
【详解】解：，，
，
又，，
≌，
，
：：3，
：：4，
，
故答案为．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求；
（2）根据平行线分线段成比例定理得，然后利用比例性质求．
【详解】
解（1），
，即，
；
（2），
，即，
．
【点睛】
本题考查了比例的性质和平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，熟悉相关性质是解题的关键．
19．BD=4.5cm.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，结合已知相关数据进行计算即可得.
【详解】∵DE∥BC，
∴，
∵EC=AD，AE=2cm，AB=7.5cm，
∴，
∴CE=3cm，
∴AD=3cm，
∴BD=AB-AD=4.5cm.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
20．见解析
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出AD：AB=AE：AC以及AF：AD=AE：AC，即可得出结论正确．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例.
21．见解析
【分析】根据平行四边形的性质得，，再根据平行线分线段成比例定理得到，，等量代换得，然后根据比例的性质即可得到结论．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作∠EDF＝∠A，延长AB至F，使BF＝AB，然后作∠DFE＝∠ABC，即可解决问题；
（2）结合（1）证明DE是BC的垂直平分线，进而可以解决问题．
【详解】（1）如图所示，△DEF就是所求作的三角形；
（2）如图，由（1）知∠EDF＝60°，
∴∠A＝∠EDF＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠EGC＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴，即BG＝CG，
∴ED垂直平分BC．
∴EB＝EC．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：作一个角等于已知角，垂直平分线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
23．（1）CE＝；（2）AB＝．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；
（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．
【详解】解：（1）∵FE∥CD，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)或，理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出，再根据角平分线的定义求出，然后求出，从而得到，，再根据等角对等边证明即可；
（2）求出，再根据旋转的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）把绕点A逆时针旋转与过点C与平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
由旋转的性质得，，，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）存在．
由（1）可知，
∴在绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线l相交于点M、N，如图，

①当点E的像与点M重合时，四边形是等腰梯形，
∴，
又∵，
∴；
②当点E的像与点N重合时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，当旋转角为或时，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例的应用，（1）利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键，（3）从圆弧的角度考虑求解是解题的关键，难点在于分情况讨论．
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