4.1成比例线段寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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4.1成比例线段
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则的第四比例项是（ ）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
2．下列长度的四条线段中，不能成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则的值是　　
A． B． C． D．
4．如图，等腰梯形ABCD的周长是104 cm，AD∥BC，且AD∶AB∶BC=2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是（ ）cm.
A．72. 8 B．51 C．36.4 D．28
5．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知a、b、c、d是一组成比例线段，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知，下列各选项中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知（a≠0，b≠0），则下列变形正确的有（　　）个．
（1）（2）2a=3b（3）（4）3a=2b
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知（x≠0），则下列式子正确的是（　　）
A． B．y：x＝3：2 C．2x＝3y D．
12．如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积，则S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1>S2 B．S1=S2 C．S1二、填空题
13．若a＝2，b＝6，c＝3，则a，b，c的第四比例项为 ．
14．如图，已知点C是线段的黄金分割点，且．若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，则与的大小关系为 ．

15．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若，记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的和为 ．

16．如图，已知线段AB的长度是a（a＞0），点C是线段AB上的一点，线段AC的长是线段AB与CB的长的比例中项，则线段AC的长为 ．
17．已知，且x，y均不为0，则 ．
三、解答题
18．国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答）
19．已知线段，如果，那么成立吗？为什么？
20．如果两地相距200km，那么在1：10 000 000的地图上它们之间的距离是多少？
21．已知a：b：c=2：4：5，且2a-b+3c=15，求3a+b-2c的值．
22．已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．
求证：点C是线段AB的黄金分割点．
23．已知 ，求 的值．
24．如图，已知是线段的黄金分割点，且若表示以为边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，试比较与的大小，并说明理由．
《4.1成比例线段》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D C B A B A C
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】根据比例线段的概念进行求解即可得答案.
【详解】解：a+b=2+3=5cm，
设第四比例项是x，则，
解得：x=cm，
故选D.
【点睛】本题考查了比例线段的概念，熟练掌握第四比例项的概念以及求解方法是解题的关键.
2．C
【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例的线段的定义逐一判断即可求解，熟记：“在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段”是解题的关键．
【详解】解：A、，则四条线段能成比例，故不符合题意；
B、，则四条线段能成比例，故不符合题意；
C、，则四条线段不能成比例，故符合题意；
D、，则四条线段能成比例，故不符合题意．
故选：C．
3．A
【分析】依据，即可得出，进而得到的值．
【详解】解：，
，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
4．D
【详解】试题分析：由题意设，，，根据等腰梯形ABCD的周长是104 cm，即可列方程求出x的值，再根据梯形的中位线定理即可求得结果.
设，，，由题意得
解得
则，
所以这个梯形的中位线的长
故选D.
考点：本题考查的是比例的性质，等腰梯形的中位线定理
点评：解答本题的关键是正确运用比例的基本性质设出恰当的未知数，同时熟记梯形的中位线定理：梯形的中位线长等于上下底和的一半.
5．C
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查比例线段，根据成比例线段的性质即可得出答案．
【详解】解：∵a、b、c、d是一组成比例线段，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．根据比例的性质变形即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
8．B
【分析】本题考查了比例的性质，分式运算．熟练掌握比例的性质是解题的关键．
由题意知，当时，，，，进而可知A、C、D不一定正确，，可知B一定正确，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，，，A、C、D不一定正确，故不符合要求；
，B一定正确，故符合要求；
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
10．C
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：由（a≠0，b≠0）得，3a=2b，
（1）由等式性质可得：3a=2b，正确；
（2）由等式性质可得2a=3b，错误；
（3）由等式性质可得：3a=2b，正确；
（4）由等式性质可得：3a=2b，正确；
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
11．C
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
故选C．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．
12．B
【分析】根据黄金分割的定义得到PA2=PB AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB AB，即可得到S1=S2．
【详解】∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2=PB AB，
又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，
∴S1=PA2，S2=PB AB，
∴S1=S2．
故选B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
13．9
【分析】根据比例项的定义，设d为第四比例项，a，b，c，d成比例，则，即ad=bc，代入a、b、c的数值，即可求得第四比例项d的结果．
【详解】解：根据比例项的定义，设d为第四比例项，∵a，b，c，d成比例，
∴，即ad=bc，
将a、b、c的数值代入，得：，求得：d=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了线段成比例的定理，解题的关键在于理解第四比例项的概念，若，则称d为第四比例项．
14．
【分析】本题考查黄金分割点，根据题意，得到，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，
∴，即：，
∵表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，
∴，
∴；
故答案为：．
15．
【分析】根据H是的黄金分割点求出，求出，，得到，再求出小正方形的边长，求出正方形的面积，再得出答案即可．
【详解】解：∵H是的黄金分割点，
∴，
∵，，
∴，
∵，点E是线段的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴与的和为
故填．
【点睛】此题综合运用正方形的性质和勾股定理求得线段的长，然后求得线段之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
16．．
【分析】根据题意，设AC=x，则BC=a﹣x．根据比例中项的概念，得AB：AC=AC：CB，再根据比例的基本性质，可求得线段的长．
【详解】解：设AC=x，则BC=a﹣x，
∵AB：AC=AC：CB，
∴a：x=x：a﹣x，
∴x2=a（a﹣x），
∴x=．
∴线段AC的长为．
【点睛】理解比例中项的概念，能够根据比例的基本性质把比例式转换为等积式，解方程的时候注意a是字母已知数．
17．
【分析】利用内项之积等于外项之积得到，设，，接着把它们分别代入所求的代数式中，然后进行分式的化简计算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
设，，
原式
故答案为：
18．公里
【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一．
根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里．
【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有：
：：，
解得．
答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里．
19．成立，理由见解析
【分析】根据比例的性质，得到，，再分别代入和进行化简即可得到答案．
【详解】解：如果，那么成立．
理由如下：
∵
∴，
∴
∴
∴如果，那么成立．
【点睛】本题考查了比例性质的应用，能灵活运用性质进行，利用设“k”法解题是解此题的关键．
20．2cm
【分析】由比例尺定义可知，图上距离=实际距离÷比例尺，依题意列式即可得出图上距离．
【详解】解：图上距离=实际距离×比例尺，得
图上距离=200÷10000000=0.00002（km）=2（cm），
答：图上它们之间的距离为2cm.
【点睛】本题考查了比例尺，熟练掌握比例尺的定义以及求解方法是解题的关键.注意单位的转换．
21．0
【分析】根据比的性质，可得a，b，c，再根据解方程，可得x的值，根据代数式求值，可得答案．
【详解】由a：b：c=2：4：5
设a=2x，b=4x，c=5x，x≠0，
由2a-b+3c=15得
4x-4x+15x=15
∴x=1
∴a=2，b=4，c=5
∴3a+b-2c=3×2+4-2×5=0．
【点睛】本题考查了比例的性质和一元一次方程的知识点，熟练掌握一元一次方程的计算并得出a=2x，b=4x，c=5x是解题关键．
22．见解析
【分析】在直角△ABD中根据勾股定理计算出AD=，则AE=AD-DE=-1，再利用画法得到AC=AE=-1，即AC=AB，然后根据黄金分割的定义得到点C就是线段AB的黄金分割点．
【详解】证明：∵AB＝2，BD＝AB，
∴BD＝1．
∵BD⊥AB于点B，
∴AD＝，
∴AE＝AD﹣DE＝﹣1，
∴AC＝AE＝﹣1，
∴AC＝AB，
∴点C就是线段AB的黄金分割点．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
23．
【分析】本题主要考查了比例的性质， 根据可得出，变形即可得出答案．
【详解】解：由 ，得，
整理得：，
，
24．；理由见解析
【分析】根据黄金分割的定义可得，进而得出，最后根据长方形的面积公式，将和表示出来即可．
【详解】解：∵是线段的黄金分割点，且，
∴，即，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值为．
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