3.2用频率估计概率寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
3.2用频率估计概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在不透明的袋子里装有颜色不同的6个红球和6个白球，每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率最有可能接近的数值为（ ）
A．1.25 B．0.98 C．0.52 D．0.03
2．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖次．经过统计得“凸面向上”的频率约为，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的袋子中装有个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同.若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回,经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于，则小明估计袋子中白球的个数为( )
A． B． C． D．
4．甲、乙两位同学在一次实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是( )
A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
5．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（　　）
A．5个 B．15个 C．20个 D．35个
6．某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P，则下列说法正确的是( )
A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近
7．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（　　）
A．出现正面的频率是4 B．出现正面的频数是6
C．出现反面的频率是60% D．出现反面的频数是60%
8．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现如图1的两种情况．
图2是计算机模拟抛掷一枚硬币试验的折线图．下面判断正确的是（ ）
A．当抛掷的次数为300次时，正面朝上的次数大于200次
B．当抛掷的次数为500次时，记录数据为0.48，所以随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.48
C．当抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在0.5附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.5
D．当抛掷次数大于3000次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率一定为0.5
9．在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（　　）
A．15个 B．20个 C．25个 D．30个
10．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果，下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是（ ）

A．① B．② C．①② D．①③
11．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（ ）
A．20 B．24 C．27 D．30
12．数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是 （ ）
A．掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”
C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球
D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
二、填空题
13．在一个不透明的口袋中，装有个黄球和若干的红球，这些球除颜色外没有其他区别，小李通过很多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率值稳定在，则该袋中有红球的个数可能是 个．
14．某同学做抛硬币实验，共抛10次，结果为3正7反，若再进行大量的同一实验，则出现正面朝上的频率将会接近于 .
15．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数
发芽的频数
发芽的频率（精确到）
这种油菜籽发芽的概率的估计值为 （精确到）．
16．在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球有 个．
17．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球大约有 个.
三、解答题
18．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据：
投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500
命中的次数 7 40 81 164 237 328 z
命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83
(1)填空：________，________，________；
(2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）；
(3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次；
(4)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？
19．在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀．
(1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____；
(2)求摸到黑球的概率；
(3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为．
20．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253 __ __
(1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 （精确到0.1），并说明理由．
(2)估算袋中白球的个数．
21．投针试验
(1)在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与直线相交的概率．
试验次数n 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 …
相交次数m …
相交频率 …
(2)在投针试验中，如果在间距、针长时，针与直线相交的概率为p，那么当d不变、l减小时，概率p如何变化？当l不变、d减小时，概率p如何变化（在试验中始终保持）
22．我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形．
(1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______；
(2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字：
掷的次数 50 80 100 150 250 500
掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124
掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248
小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______；
(3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率．
23．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表：
种子颗数 100 400 600 700 900 1000
发芽种子颗数 94 378 571 664 951
发芽种子频率
(1)填空：上表中的值为___________，的值为___________；
(2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到）
24．问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有二正、一正一反、二反三种情况，所以（一正一反)”小颖反驳道：“这里的一正一反实际上含有一正一反，一反一正这两种情况，所以（一正一反）”
（1）________的说法是正确的．
（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：
二正 一正一反 二反
小聪 24 50 26
小颖 24 47 29
计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？
（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？
《3.2用频率估计概率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D A D C C B B
题号 11 12
答案 D A
1．C
【分析】本题考查了概率的意义，一般地，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，记为．明确概率的意义是解答的关键．
【详解】解：由题意可知摸到白球的概率，
则白球的频率稳定在0.5附近，
故选：C．
2．D
【详解】在大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，因此抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为.
3．C
【分析】设袋子中白球有x个，根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：设袋子中白球有x个，由题意可得，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查利用频率算随机事件概率及概率公式，解题的关键是熟练掌握．
4．D
【详解】试题解析：A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率为，故本选项错误；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故本选项错误；
C、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故本选项错误；
D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率为≈0.33，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
5．A
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
=0.75，
解得：x=5，
经检验：x=5是分式方程的解，
故袋中白球有5个．
故选A．
【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．
6．D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做此事件概率的估计值，从而可得答案．
【详解】解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近，
故选：D．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．
7．C
【分析】根据频率=频数÷数据总数，分别求出出现正面，反面的频率．
【详解】解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上4次，反面朝上6次，
∴出现正面的频率为=40%；出现反面的频率为60%．
观察四个选项，C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了频率、频数的概念及频率的求法：频率=频数÷数据总数，正确把握定义是解题关键．
8．C
【分析】根据由频率估计概率的意义逐项判断即可．
【详解】根据图象可知当抛掷的次数为300次时，正面朝上的频率为0.5，
A.∴此次试验正面朝上的次数为300×0.5=150（次）<200次，故A错误；
B.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故B错误；
C.根据在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到一个稳定值时，这个稳定的频率的值可以作为这个事件发生的概率，故C正确；
D.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故D错误；
故选C．
【点睛】本题考查由频率估计概率．掌握在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到一个稳定值时，这个稳定的频率的值可以作为这个事件发生的概率是解题关键．
9．B
【分析】根据频率估计概率问题可直接进行求解．
【详解】∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，
∴摸到红色球的概率为0.25，
∵布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球两种，
∴摸到白色球的概率为，
∵有白色球60个，
∴球的总个数为：，
∴红球个数约为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．
10．B
【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．
【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，实验次数过少，不能得到“正面向上”的概率是0.47，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11．D
【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算n的值．
【详解】解：根据题意得，
解得，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
12．A
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，进而得出答案．
【详解】解：A、掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数概率为，符合这一结果，故此选项符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C、袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意．
故选：A．
13．
【详解】设袋中有红球x个，由题意得×100%=25%，
解得x=4个．
故本题答案为：4.
点睛：本题考查了利用频率估计概率的知识点，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解即可．
14．0.5
【详解】分析：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，而题中10次的试验次数太少，为迷惑性数据．
解答：抛硬币正面朝上的概率为，故进行大量的同一实验，则出现正面朝上的频率将会接近于0.5．
故答案为0.5.
点睛：本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．概率=所求情况数与总情况数之比．
15．
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值进行求解即可．
【详解】解：由表格可知，随着试验次数的增加，这种油菜籽发芽的频率稳定在附近，
∴这种油菜籽发芽的概率的估计值为，
故答案为：．
16．
【分析】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得．
【详解】解：估计袋中白球有个，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
17．15
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，概率公式，分式方程的应用，设白球有x个，根据概率公式列出方程，再求出解即可．
【详解】解：设白球有x个，根据题意，得
，
解得．
经检验，是原方程的根．
所以口袋中白球大约有15个．
故答案为：15．
18．(1)100，，
(2)0.8
(3)120
(4)不会一样，理由见解析
【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键：
（1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可；
（2）根据频率估算概率即可；
（3）根据概率进行判断即可．
（4）根据概率的意义进行判断即可．
【详解】（1）解：，，；
（2）由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是0.8；
故答案为：0.8；
（3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为，
∴（次），
估计他命中的次数为次，
故答案为：．
（4）不会一样，理由如下：
由（2）可知，该运动员投中的概率为0.8，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在0.8左右波动，
故每次试验命中的球数会有所波动，结果不可能跟上一次完全相同．
19．(1)
(2)
(3)往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为
【分析】此题考查概率公式，解答的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）利用频率计算公式直接求出答案；
（2）利用概率计算公式直接求出答案；
（3）通过计算可得盒子中白球的数量变为8，由此得出往盒子中放入3个白球，取出3个黑球即可．
【详解】（1）解：试验20次，摸出白球6次，则摸出白球的频率，
故答案为：．
（2）解：袋子中有黑球15个，总球数为个，
则摸到黑球的概率为．
答：摸到黑球的概率为．
（3）解：盒子中白球的数量变为（个），
（个）．
答：往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为．
20．(1)0.25，理由见解析
(2)袋中白球的个数可能是3个
【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：251÷1000=0.251；
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
故答案为：0.25；
（2）解：设袋中白球为x个，
=0.25，
x=3．
经检验，x=3是原方程的解，且符合题意，
答：估计袋中有3个白球，
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
21．(1)表格见详解，概率为
(2)当d不变，l减小时，概率p会变小；当l不变，d减小时，概率p会变大
【分析】本题主要考查了根据数据描述求频率，用频率估计概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）根据试验填写数据即可，根据次数最多的一次确定概率；
（2）根据生活常识进行判断即可得到答案．
【详解】（1）解：
试验次数n 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 …
相交次数m 12 23 35 45 50 60 73 68 88 95 …
相交频率 …
根据表格可得：针与任一直线相交的概率为；
（2）解：当d不变，l减小时，概率p会变小；当l不变，d减小时，概率p会变大．
22．(1)
(2)0.25
(3)
【分析】本题考查了列表法或树状图法：
（1）根据概率公式求解；
（2）根据频率的定义求解；
（3）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的概率为；
故答案为：
（2）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是；
故答案为：0.25
（3）解：列表如下．
第二次第一次 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由表可知，共有16种等可能的情况，其中和为3的倍数的结果有5种，
两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率为．
23．(1)，855
(2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
（1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可；
（2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右，
∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为．
24．（1）小颖；（2）0.50；0.47；；（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次试验得出结果，而是要通过大量的重复试验得出事件发生的频率，从而去估计该事件发生的概率．
【分析】（1）要判断谁说的正确只要看他们说的情况有没有漏掉的即可．
（2）根据频率=所求情况数与总情况数之比，即可得出结果．
（3）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
【详解】解：（1）“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，共四种，所以小颖的说法是正确的；
故答案为：小颖；
（2）小明得到的“一正一反”的频率是50÷100=0.50，
小颖得到的“一正一反”的频率是47÷100=0.47，
据此，我得到“一正一反”的概率是；
（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次实验得出结果，而是要通过大量的实验得出事物发生的频率去估计该事物发生的概率．我认为小聪与小颖的实验都是合理的，有效的．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)