2.6应用一元二次方程寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
2.6应用一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．从一块正方形的木板上锯掉宽的长方形木条（长为正方形边长），剩下的面积是，则原来这块木板的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．用一张80cm长，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得（ ）
A．x2﹣70x+825=0 B．x2+70x﹣825=0 C．x2﹣70x﹣825=0 D．x2+70x+825=0
5．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利480元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
6．银行经过两次降息，一年期存款的年利率由降至，设平均每次降息的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为12.5 cm2，则这两段铁丝的长度是(　　)
A．5 cm，15 cm B．12 cm，8 cm C．4 cm，16 cm D．10 cm，10 cm
8．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950 C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950
9．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（ ）
A．62 B．44 C．53 D．35
11．兴华中学有一块等腰直角三角形的空地需要美化，现向各个年级的同学征集设计方案，小明同学的设计图如图所示，三角形空地斜边中间处修建一个半圆形花池，在三个角分别修建一个四分之一圆形的花池和两个八分之一圆形的花池，其余部分硬化处理，若花池的半径都相同，空地直角边除去花池部分的距离为，硬化部分的面积为，设花池半径为，可列出方程（　　）

A． B．
C． D．
12．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后他先教会了x名同学，然后这名同学每人又教会了x名同学，这时恰好全班36人都会做这项实验了．根据以上情景，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．有一种流感病毒，刚开始有2人患了流感，经过两轮传染后共有128人患流感，如果设每轮传染中一个人平均传染x个人，那么可列方程为 ．
14．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 ．
15．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是 ．
16．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元．
17．淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ．
三、解答题
18．一个圆柱形包装盒（厚度忽略不计）的高是，表面积是．这个包装盒的底面半径是多少厘米？
19．坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮．
(1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？
20．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
21．解方程：
22．某地方出现流感，开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
(1)求每轮传染中，平均一个人传染了多少个人？
(2)如果在第三轮传染开始前没有控制，仍保持相同的传播速度，则经三轮传染后共有__________人患了流感．
23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
24．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
《2.6应用一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A C B D D A C
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人拥抱应该只算一次并据此列出方程是解题的关键． 因为每位同学都要与除自己之外的名同学拥抱一次，所以共拥抱次，由于每次拥抱都是两人，应该算一次，所以共拥抱次，即可列方程．
【详解】解：根据题意，得，
故选：A．
2．C
【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了x(x 1)场比赛，即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设有x个班级参加比赛，
x(x 1)=21，
，
解得：（舍），
则共有7个班级参加比赛，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是找出等量关系，正确列出一元二次方程．
设原来的正方形木板的边长为，利用余下木板的面积正方形木板的面积长方形木板的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值进一步即可得出结论．
【详解】解：设原来的正方形木板的边长为，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
则原来这块木板的面积是
故选：B．
4．A
【详解】试题分析：本题设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则可得出长方体的盒子底面的长和宽，根据底面积为1500cm2，即长与宽的积是1500cm2，列出方程化简．
解：设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，
则得出长方体的盒子底面的长为：80﹣2x，宽为：60﹣2x，
又底面积为1500cm2
所以（80﹣2x）（60﹣2x）=1500，
整理得：x2﹣70x+825=0
故选A．
点评：本题要注意读清题意，找出等量关系．
5．C
【分析】设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，利用每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝480．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式，找准等量关系每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握由实际问题抽象出一元二次方程是解题的关键.
【详解】解：设平均每次降息的百分率为x，列方程得，
故选：B.
7．D
【分析】根据题意设一段线段长为x，列方程，求解即可．
【详解】解：设一段线段长为xcm，则另一段线段为（20-x）cm，
由题意得，
解得，
此时20-x=20-10=10，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出方程．
8．D
【详解】设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，列出方程为：300（1+x）2=950．故选D．
9．A
【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利即可得出方程．
【详解】解：设每盆应该多植株，由题意得
，
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键．
10．C
【分析】设个位数为x，则十位上的数为8-x,根据题意列出一元二次方程即可求解.
【详解】设个位数为x，则十位上的数为8-x,
由题意得[10×（8-x）+x] [10x+8-x]=1855,
解得x=3或5，
故较大的数为53，故选C.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是表示出对调前后的两位数表示.
11．A
【分析】此题考查一元二次方程的应用，根据三角形面积减去一个圆的面积得硬化部分的面积为列方程，正确理解题意列得方程是解题的关键．
【详解】解：设水池半径为，则等腰直角三角形的直角边长为，
根据题意得：，
故选：A．
12．B
【分析】设平均每一人教会x人，根据题意表示出全班会做实验的人数，进而得出答案．
【详解】设平均每一人教会x人，根据题意可得:
1 +x+x(1+x)= 36，
故选： B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出全班会做实验的人数是解题关键．
13．2（1+x）2=128
【分析】此题的等量关系为：经过两轮传染后的人数=128，列方程即可．
【详解】解：设每轮传染中一个人平均传染x个人，根据题意得：
2（1+x）2=128．
故答案为：2（1+x）2=128．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
14．10%．
【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x）2，据此列方程解答即可．
【详解】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得：
1000（1+x）2＝1210，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．
故答案为：10%．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
15．98
【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解．
【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴．
故答案为：98
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设降价元，根据题意列出方程求出即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设降价元，
由故意得，，
整理得，，
解得，，
∵要让顾客得实惠，
∴，
∴应将销售单价定为元，
故答案为：．
17．5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设其中一个正数为，则另一个正数为，根据两个数的积是15，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设其中一个正数为，则另一个正数为，
由题意得，
整理得，即，
解得，，
∴较大的正数是5，
故答案为：5．
18．这个包装盒的底面半径是厘米
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个包装盒的底面半径是x厘米，圆柱的表面积等于其侧面积加上上、下两个底面积，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设这个包装盒的底面半径是x厘米
由题意得，，
整理得，，
解得或（舍去），
答：这个包装盒的底面半径是厘米．
19．(1)若月平均增长率相同，月平均增长率为
(2)售价应降低元
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．
（1）设增长率为，根据数量关系列式求解即可；
（2）设降价元，则每天销量可增加件，由此得到降价后的售价为元，销量为件，降价后每件的利润为（元），由此列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件，
∴设增长率为，
∴，
解得，（负值舍去），
∴若月平均增长率相同，月平均增长率为；
（2）解：售价每降低1元，每天销量可增加4件，
∴设降价元，则每天销量可增加件，
∴降价后的售价为元，销量为件，
∴降价后每件的利润为（元），
∴，
整理得，，
解得，，即，，
当降价为时，每天的销量为件，
当降价为时，每天的销量为件，
∵尽量减少库存，
∴售价应降低元．
20．（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
21．
【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解题关键是不要忽视验根．
先去分母，再去括号，移项，合并同类项后解出方程的解，再验根．
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解得：，，
经检验，当时，原方程分母等于0，故是增根；
当时，原方程分母不等于0，故是原方程的解．
22．(1)5个人
(2)216
【分析】（1）设平均一人传染了人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得：
，
解得：或（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；
（2）根据题意得：人，
∴经三轮传染后共有216人患了流感．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键；本题的等量关系是两轮传染后共有36人患了流感．
23．所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2
【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m，
由题意得 ，
化简，得，解得：，
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
24．(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)