2.4用因式分解法求解一元二次方程寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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2.4用因式分解法求解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知关于的方程的根都是整数，其中是实数，则可取的值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．，∴或
B．，∴或
C．，∴或
D．，∴
3．若一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（ ）
A．5 B．2 C． D．
4．若关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于的一元二次方程的两根分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（ ）
A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法
B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法
C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法
D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
6．已知等腰的边是方程的根，则的周长为（　　）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
7．若，则代数式的值为（ ）
A．或 B．1或 C． D．3
8．已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（ ）
①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则．
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
9．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．12
10．已知一个三角形的一边长为5，其他两边的长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．9 B．11 C．11或13 D．9或11
11．已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17 B．19 C．21 D．25
12．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，如果等式成立，那么可取的值有 个．
14．一元二次方程的解是 ．
15．已知点在第四象限内，且在其角平分线上，则 ．
16．方程x2－2x+1＝0的解为 ．
17．已知方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，则m= ．
三、解答题
18．用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．计算：
(1)（配方法）；
(2)（用适当方法）．
20．用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．解方程：
(1)；
(2)．
22．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
23．3(x2 -1) = (x -1)2；
24．用适当的方法解方程
(1) (2)
(3) (4)
《2.4用因式分解法求解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C D D D C B C
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的根的概念，因式解法求一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键，根据关于x的方程的根为整数，分类讨论，当时，运用因式分解求一元二次方程的根；当时，解一元二次方程得，，结合题意判定是否符合题意；由此即可求解．
【详解】解：①当时，即和时，
由原方程，得,
解得，，，
∴，，
∴，
整理得，
∴，
∵关于的方程的根是整数，，
∴或或或，
当时，，方程无解；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，或或；
②当时，
解得，，，
当时，方程为，解得，
当时，方程为，解得，
因此，也可以；
综上所述，满足条件的值共有个．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了因式分解方法应用
用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的． 因此第二、 第三个不对， 第四个漏了一个一次方程， 应该是x=0，x+2=0．
【详解】解：用因式分解法时，方程的右边为 0，才可以达到化为两个一次方程的目的．
因此第二、 第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是，．
所以第一个正确．
故选∶ A．
3．D
【分析】将x=3代入方程，求出a值，再解方程．
【详解】解：把代入得，
解得：，
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是理解方程的解能使等式成立．
4．C
【分析】把关于x的一元二次方程看作为关于的一元二次方程，则根据题意得或，然后解一次方程即可．
【详解】解：把关于x的一元二次方程看作为关于的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴或，
解得：，，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——换元法，利用换元法解方程是解题的关键．
5．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
根据各方程的特点逐一判别即可．
【详解】①，适合③直接开平方法；
②，适合公式法；
③，适合因式分解法；
④，适合因式分解法．
故选：D．
6．D
【分析】利用因式分解法求方程的两个根分别是2和5，结合三角形的三边关系和等腰三角形的性质进行分类讨论即可．
【详解】解：∵
∴
解得：，，
∵等腰的边为：2和5，
∴当腰长为2，底边为5时，不符合三角形的三边关系定理，
当腰长为5，底边为2时，的周长为：，
当边长都为2时，的周长为：，
当边长都为5时，的周长为：，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和三角形的三边关系是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；令，再解一元二次方程即可；
【详解】解：设，可知，
原方程可化为：，
解得：或，
∵，
∴
∴，
故选： D．
8．C
【分析】此题考查等式得性质，一元一次方程的运用，解一元二次方程，按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．
【详解】解：①∵，则等式两边除以，可得，故①正确；
②若，则,解得，
，
，故②错误；
③若，则,
，
，故③正确；
④中只有两个数相等，
当时，有，
解得，，
当时，不合题意，
当时，，
，
当时，得,则，
此时不符合题意，
当时，，此时，不符合题意；
故只能是，故④正确
其中正确的是①③④．
故选：C．
9．B
【详解】解：解方程x2﹣6x+8=0得：x=2和x=4，
∵2+2=4，
∴2、2、4不能构成三角形，
∴三角形的三边长为2、4、4，
则周长为：2+4+4=10.
故选：B．
10．C
【分析】首先解一元二次方程，再根据三角形三边关系的性质，分三种情况分析，通过计算即可得到答案．
【详解】∵，
∴，
当三角形的三边长分别为2，4，5时，其周长为11；
当三角形的三边长分别为4，4，5时，其周长为13；
当三角形的三边长分别为2，2，5时，无法构成三角形；
∴这个三角形的周长是11或13．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程、三角形的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、三角形三边关系的性质，从而完成求解．
11．D
【分析】根据条件易知方程的两个根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得结果；
【详解】∵，
∴，
∴或，
当时，，不能构成三角形，
当时，，能够成三角形，
∴三角形的周长；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和三角形三边关系，准确计算是解题的关键．
12．B
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法是解题的关键．
【详解】解：
或
解得，
故选B．
13．4
【分析】本题主要考查了零指数幂性质，一元一次方程，一元二次方程解法，掌握任何不等于0的0次幂为1，底数为的偶次方为1，底数为1的任何次方为1是解题关键．
根据零指数幂的性质，得出或底数是－1指数是偶数或，解方程求出x，验证底数不为0即可．
【详解】解：∵，
分三种情况讨论：
∴或且指数为偶数或，
（1）当时，
∴，
当时，
∴；
（2）且指数为偶数时，
解得或，
当时，不符合题意舍去；
当时，，
所以；
（3）当时，
因式分解得
解得
所以x可能的值有或0或或2，共4个.
故答案为：4.
14．，
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，原方程变形得，提取公因式x得出，即可求解．
【详解】解：原方程变形得：，
，
∴，，
故答案为：，．
15．-2
【分析】根据点的坐标，列出关于的不等式组，然后利用配方法解方程即可．
【详解】解：∵点在第四象限内，
∴，
解得；
又∵点在第四象限的角平分线上，
∴，即，
∴（不合题意，舍去），．
故答案是：．
【点睛】本题考查了点的坐标的知识，不等式组等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
16．
【详解】解：，∴．故答案为．
17．1
【分析】利用因式分解法把方程x2-2x-3=0变形，根据解完全相同可求m值．
【详解】解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，
（x-3）（x+1）=0，
∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，
∴m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
18．(1)
(2)
(3)
(4)，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）利用因式分解法进行求解即可；
（2）利用因式分解法进行求解即可；
（3）利用因式分解法进行求解即可；
（4）利用因式分解法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）
原方程可化为，
，
或，
；
（3），
，
；
（4）
原方程可化为，
或，
，．
19．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
所以，；
（2），
，
，
或，
所以，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
20．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）先移项，然后利用配方法解一元二次方程即可；
（2）先把方程化为整数方程，然后利用公式法求解即可；
（3）先移项，然后利用因式分解的方法解一元二次方程即可；
（4）先把原方程化简，然后利用配方法解方程即可．
【详解】解：（1）移项得，
配方得，即，
直接开平方得，
解得；
（2），即，
其中，，，
，
∴，
∴方程的解为；
（3）移项，得，
即，因式分解，得，，
于是，得或，
∴，；
（4）原方程化简，得，
移项，得，
配方，得，
即，解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
21．(1)，
(2)，
【分析】（1）配方法解方程；
（2）因式分解法解方程．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，整理的：，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
22．(1)x1＝，x2＝2
(2)：x1＝﹣3，x2＝2
【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【详解】（1）解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2，
（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2+2x）（x﹣2）＝0，
x﹣2+2x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝2；
（2）解：（x﹣1）（x+2）＝4，
整理，得x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
x+3＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
23．x =-2,x =1.
【分析】先化简,再利用因式分解法解方程即可得出答案.
【详解】解:原方程可化为:x +x-2=0
(x+2)(x-1)=0
∴x+2=0或x-1=0
∴x =-2,x =1.
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（1） ；（2）；（3） ；（4）
【详解】试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求解即可.
试题解析：（1）
x-1=±6
；
（2）
（x+7）（x+1）=0
；
（3）
移项得
；
（4）
移项得
（x-4+5-2x）（x-4-5+2x）=0
解得
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