2.2用配方法求解一元二次方程寒假练习 （含解析）北师大版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
2.2用配方法求解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则x的值等于（　　）
A． B．3或 C．或5 D．3或5
2．方程有实数根的条件是（ ）
A．a≠0 B．ac≠O C．ac≥O D．≥O
3．如果x＝－3是一元二次方程ax2＝c的一个根，那么该方程另一个根是（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．1
4．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
6．一元二次方程 的根是（　　）
A．3 B． C．9 D．
7．方程的两个根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知平行四边形的面积为12，且的长是方程的两个根．过点A作直线的垂线交于点E，过点A作直线的垂线交于点F，则的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
9．将一元二次方程配方，其正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A． B． C． D．
11．一元二次方程的根为（　　）
A． B． C． D．
12．方程的解是（ ）
A． B． C． D．没有实数根
二、填空题
13．一元二次方程的根是 ．
14．关于x的方程的解是 ．
15．如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a= ．
16．一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是 ．
17．已知实数，满足，则代数式的最小值是 ．
三、解答题
18．解方程：
(1)．
(2)．
19．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+1的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．
20．（1）比较与的大小，选填“”“”或“”：
①当时，________； ②当时，________；
③当时，________；
（2）无论 m 取何值，判断与有怎样的大小关系？试说明理由．
21．用配方法证明： 的值不小于3．
22．解方程：．
23．用配方法说明下列结论：
（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0；
（2）代数式2x-x2-3的值恒小于0
24．解方程：．
《2.2用配方法求解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A C B D B D D
题号 11 12
答案 A C
1．B
【分析】先移项，再系数化成1，然后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
移项得：，
方程两个同除以3得：，
开平方得：，
解得：或，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
2．D
【分析】若方程ax2=c有解，那么a≠0，并且ac≥0，由此即可确定方程ax2=c有实数根的条件．
【详解】∵ax2=c，
若方程有解，
∴a≠0，并且ac≥0，
∴.
故选D.
【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程以及方程是否有解的问题，结合方程的形式和非负数的性质即可解决问题．
3．A
【分析】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．求出方程的解，根据已知x=-3是一元二次方程ax2=c的一个根得出方程的另一个根即可．
【详解】解：ax2=c，
x2=，
x=±，
∵x=-3是一元二次方程ax2=c的一个根，
∴该方程的另一个根是x=3，
故选A．
【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法．
4．A
【分析】根据二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤：①将常数项移到等于号的右边，②两边同时加上一次项系数的一半的平方，转化成完全平方式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键．
5．C
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开平方法求解一元二次方程是解题的关键．
用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
∴，，
故选：C．
6．B
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【详解】解：，
，
故选：B．
7．D
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键．
8．B
【分析】先求出一元二次方程的两个根即可求出AB和BC，根据平行四边形的性质即可求出CD和AD，然后根据∠A为锐角和钝角分类讨论，分别画出对应的图形，利用平行四边形的面积求出AE和AF，利用勾股定理求出BE和DF，即可求出结论．
【详解】解：由得．
，
．
四边形是平行四边形，
．
①如图（1），当∠A为锐角时，
，
．
在中，．
在中，，
．
②如图（2），当∠A为钝角时，
，
．
在中，，
在中，，
．
综上可得的值为或．
故选B．
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，平行四边形的性质和勾股定理，掌握一元二次方程的解法、平行四边形的性质和勾股定理是解决此题的关键．
9．D
【分析】两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：，
配方得：，即．
故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握其步骤是解答本题的关键．
10．D
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
11．A
【分析】本题考查接一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键 .
【详解】解：
开平方得：，
故选A .
12．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
．
故选：C．
13．
【分析】本题考查解一元二次方程，利用配方法解答即可求解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法及整体的思想是解题的关键．先将系数化1，再直接开平方解方程即可．
【详解】
故答案为：
15．．
【分析】根据两点之间的距离公式，列出无理方程，求解即可．
【详解】解：因为点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，
所以，
即，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查两点之间的距离公式，解无理方程，解一元二次方程．能利用两点之间的距离公式列出无理方程是解决此题的关键．
16．x1＝x2＝3
【分析】先把左边直接配方，得（x﹣3）2＝0，直接开平方即可．
【详解】解：配方，得（x﹣3）2＝0，
直接开平方，得x﹣3＝0，
∴方程的解为x1＝x2＝3，
故答案为：x1＝x2＝3．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
17．3
【分析】此题考查了代数式的变式与二次函数最值，解题的关键是由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是3．
【详解】解：，
，，
，
，
当时，代数式有最小值等于3，
故答案为：3．
18．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
解得：，；
（2）解：，
，
，
，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了直接开平方法和配方法解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
19．（1）；（2）5．
【分析】（1）根据题中的解法即可得到答案；
（2）同理（1）.
【详解】（1）m2+m+1=m2+m++=（m+）2+≥，
则m2+m+1的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值是5．
【点睛】本题主要考查了配方法与偶次方的非负性，解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式，再利用非负数的性质即可得解.
20．（1）①；②；③；（2）无论取什么值，，理由见解析
【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点有不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．
（1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可；
（2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有．
【详解】解：（1）①当时，，，则，
②当时，，，则，
③当时，，，则．
故答案为：；；；
（2）无论取什么值，，理由如下：
，
无论取什么值，总有．
21．证明见解析．
【分析】先在一次项和二次项中通过提公因式将二次项系数化为1，再将二次项和一次项添上一个常数项化为完全平方的形式，并注意减去添上的项，最后化为的形式，根据以下情形：当时代数式有最小值为k；当时代数式有最大值k，即证．
【详解】证明：∵，且
∴，
即的值不小于3．
【点睛】本题考查完全平方公式及配方法的应用，解题关键是熟悉的形式有以下情形：当时代数式有最小值为k；当时代数式有最大值k．
22．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：由题意可得：或.
∴或
解得：或.
∴.原方程的解是：，
23．（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0（2）代数式2x-x2-3的值恒小于0
【详解】试题分析：运用配方法的运算方法，第一步：如果二次项数不是1，首先提取二次项系数，一次项与二次项都提取二次项系数并加括号，常数项可以不参与运算；第二步：配方，加常数项为一次项系数一半的平方，注意括号外应相应的加减这个常数项，保证配方后不改变原式的值，分别进行运算即可．
试题解析：解：（1）x2+8x+17
= x2+8x+16-16+17
=（x+4）2+1
∵（x+4）2≥0
∴（x+4）2+1＞0
即代数式x2+8x+17的值恒大于0
（2）2x-x2-3
= -x2+2x -3
= -（x2-2x +3）
= -（x2-2x+1-1 +3）
= -［（x-1）2+2］
= -（x-1）2-2
∵-（x-1）2≤0
∴-（x-1）2-2＜0
即代数式2x-x2-3的值恒小于0．
点睛：此题主要考查了配方法的应用以及完全平方公式的性质，配方后保证原式的值不变，是解决问题的关键．
24．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而开方解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解得．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)