2.1认识一元二次方程寒假练习 （含解析）北师大版数学九年级上册

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2.1认识一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
3．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有一根等于0
C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0
4．定义：一元二次方程（）若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于的方程（）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程的两个根互为相反数
C．两根之积为0 D．无实数根
5．若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
6．若关于x的方程2－4x＋k＝0的一个根为2－，则k的值为
A．1 B．－1 C．2 D．－2
7．若x = 2是方程x2 + 3x- 2m= 0的一个根,则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．方程2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．3、2、5 B．2、3、5 C．2、﹣3、﹣5 D．﹣2、3、5
9．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
11．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　）
x
A． B． C． D．
二、填空题
13．如果关于x的方程有一个根为2，那么m= ．
14．关于x的方程（a﹣3）x2+x+10＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
15．已知关于的方程的一个根是，则的值是 ．
16．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
17．方程是一元二次方程，则a= ．
三、解答题
18．先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．
19．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
20．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
21．把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
22．已知是方程的根，化简．
23．已知多项式．
（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③④的几项中出现错误的是 ，并给出正确的解答过程；
正确的解题过程：
（2）小晨说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的的值是4，请你求出此时A的值．
24．已知关于x的方程，你认为：
(1)当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
(2)当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
《2.1认识一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B B A D C D A
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、，不是整式方程，故此选项不是一元二次方程，不符合题意；
B、，不是方程，故此选项不是一元二次方程，不符合题意；
C、，不是整式方程，故此选项不是一元二次方程，不符合题意；
D、，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．
只含有一个未知数，且未知数的最高次为的整式方程叫一元二次方程，分别化简判断即可．
【详解】A．选项中含有，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．选项中未说明，不一定是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．选项是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．中含有两个未知数，不是一元二次方程．
故选：C．
3．C
【详解】试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．
解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，
把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，
∴1+（﹣1）=0，
即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故选：C．
4．B
【分析】根据已知得出方程（）有两个根或，再判断即可．
【详解】解：∵把代入方程得出：，
把代入方程得出，
∴方程（）有两个根或，
∴，
即只有选项B正确；选项A、C、D都错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，主要考查学生的理解能力和计算能力．
5．B
【分析】根据题意得|m|=2，m+2≠0，求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0， =2，
解得：m=2，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式ax +bx+c=0(a≠0)，注意未知数的最高次数是2，二次项系数不能为0，当b -4ac>0时，一元二次方程ax +bx+c=0有两个不相等的实数根；当b -4ac=0时，一元二次方程ax +bx+c=0有两个相等的实数根；当b -4ac<0时，一元二次方程ax +bx+c=0没无实数根．
6．A
【详解】试题解析：把代入方程得：
解得：k=1.
故选A.
7．D
【详解】试题解析：因为 为方程 的一个根，所以将代入方程得 ，解得 ，故本题应选D.
8．C
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项， bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
9．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、方程整理为，则此项是关于的一元一次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，则此项不是关于的一元二次方程，不符合题意；
C、只有当时，是关于的一元二次方程，则此项不一定是关于的一元二次方程，不符合题意；
D、因为，所以方程一定是关于的一元二次方程，符合题意；
故选：D．
10．A
【分析】对一元二次方程变形，设t＝x＋2得到，利用的一个根是可得t＝2022，从而求出x即可．
【详解】解：对于一元二次方程即，
设t＝x＋2，则可得，
而关于x的一元二次方程的一个根是，
所以有一个根为t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程必有一根为x＝2020，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．D
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
方程是一元二次方程，二次项系数不能为零，由此即可求解．
【详解】解：根据方程是关于的一元二次方程得，
∴，
解得，
故选：D．
12．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键．
由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴方程一个解的取值范围为，
故选：C．
13．9
【分析】把方程的根代入方程中，可得关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【详解】把x=2代入方程中，得：4-12+m-1=0
解得：m=9
故答案为：9
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念．
14．a≥﹣3且a≠3．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据一元二次方程的定义，即可得到答案．
【详解】∵方程（a﹣3）x2+x+10＝0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0，即 a≠3，
又∵二次根式有意义，
∴a+3≥0，即 a≥﹣3，
∴a≥﹣3且a≠3．
故答案为：a≥﹣3且a≠3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件，掌握一元二次方程的定义，是解题的关键.
15．
【分析】把代入原方程求a即可．
【详解】解：把代入，得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程的根求字母的值，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
16．1
【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可．
【详解】解：将代入，
得，即，
∵，
∴，
故答案为：1．
17．3或-3
【详解】根据一元二次方程的定义，得 .
故答案为3或-3.
18．，1．
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据是方程的根可得，再代入即可．
【详解】解：原式
．
∵是方程的根，
∴．
∴．
∴ 原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．掌握分式的运算法则和整体代入求值是关键．
19．5x2﹣4x﹣1＝0,二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的二次项系数，一次项系数，常数项，注意带有符号
20．(1)16，20；，4n＋4
(2)存在，见解析
【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；
（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立．
【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9
图3的白砖数量为12+4=16
图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16
图4的白砖应比图3上下各多一行
得图4白砖的数量为：16+4=20
图1灰砖的数量为1
图2灰砖的数量为4
图3灰砖的数量为9
图4灰砖的数量为16
得图灰砖的数量为
图1白砖的数量为8=
图2白砖的数量为12=
图3白砖的数量为16=
图4白砖的数量为20=
得图白砖的数量为
故答案为：16，20；，4n＋4．
（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1
∴白砖数量为，灰砖数量为
∴=
∴
∴
∴，或（舍去）
故当时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1
故答案为：存在．
【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质．
21．二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：，
，
∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
22．0
【分析】将x=1代入到x2﹣mx+1=0中求得m的值，然后利用二次根式的性质化简所求代数式即可．
【详解】∵x=1是方程x2﹣mx+1=0的根，∴12﹣m+1=0，∴m=2，∴
=|m-3|-|m-1|
=3﹣m﹣（m﹣1）
=4﹣2m
=4﹣2×2
=0．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和二次根式的性质与化简，根据一元二次方程解的定义求出m的值是解题的关键．
23．（1）① ；；（2）x=0或4，则A=-8或12
【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘单项式运算即可求解；
（2）先解方程，再将方程的解代入题（1）所求代数式即可求解．
【详解】解：（1）正确的解答过程；
∴出现错误的是①
（2）∵
∴
或
∴A＝或A＝
【点睛】本题主要考查完全平方公式、解一元二次方程、代数式化简求解，解题的关键是熟练掌握各运算法则和解题方法．
24．(1)当m≠n时，方程是一元二次方程
(2)当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程
【分析】（1）一元二次方程要求最高项次数为2且二次项系数不为0，由题，只要 即可确定方程为一元二次方程．
（2）一元一次方程要求最高项次数为1且一次项系数不为0，所以当方程同时满足 时，即可确定方程为一元一次方程．
【详解】（1）根据题意得：m－n≠0，解得：m≠n；
（2）根据题意得：，
解得：．
当 且 时，方程是一元一次方程．
【点睛】本题考查一元二次方程与一元一次方程的辨析，解题的关键在于清楚一元二次方程的最高项次数为2且二次项系数不为0，而一元一次方程的最高项次数为1且一次项系数不为0．
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