1.3正方形的性质与判定寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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1.3正方形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正方形的边长为2，连接、，平分交于点E，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形的边长为，则图中阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
6．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（ ）
A． B． C．10 D．20
7．在四边形中，对角线互相平分，若添加一个条件使得四边形是菱形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．∥
8．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ ）
A．135° B．120° C．112．5° D．67．5°
10．如图，正方形ABCD的边长为，点E，F分别是对角线AC的三等分点，点P是边AB上一动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．不能确定
12．如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题
13．任意四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足条件 时，四边形EGFH是菱形．（填一个使结论成立的条件）
14．如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是．若大正方形的边长是18，求图形①的面积 ．
15．如图，点E在正方形外，连接，过点A作的垂线交于点F．若．则下列结论：
①；
②；
③点B到直线的距离为；
④．
其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
16．（1）定义法：有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形是正方形．
（2）矩形法：一组邻边相等的 是正方形
（3）菱形法：一个角为直角的 是正方形
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，E，F为边AC，BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE，AF，则BE+AF的最小值为 ．
三、解答题
18．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，，且，．
（1）求证：；
（2）若，，用x表示DF的长．
19．如图，在正方形中，点E是的中点，连接，过点A作交于点F，交于点G．
(1)证明：；
(2)连接，求证：．
20．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

21．（1）问题背景．
如图1，在四边形中，，，、分别是线段、线段上的点．若，试探究线段、、之间的数量关系．
童威同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是 ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形中，，，在线段上、在线段延长线上．若，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．

（3）拓展应用．
如图3，在四边形中，，连接、，，，且．则的面积为 ．

22．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处
（1）求CE的长；
（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．
23．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．
24．如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点．
(1)求证：CE＝BF；
(2)若AB＝4，求GF的值．
《1.3正方形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B D B C B C D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】过点E作于点F，根据正方形的性质可得，再根据角平分线的性质可得，证明，可得，利用勾股定理求得，可得，，即可求解．
【详解】解：过点E作于点F，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及角平分线的性质，熟练掌握相关知识，证明是解题的关键．
2．A
【详解】试题解析：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．
∵∠DG′F′=∠IGR=90°，∴∠DG′I=∠RG′F′，在△G′ID和△G′RF中，∵G′D= G′F，∠D G′I=∠R G′F′，G′I= G′R，∴△G′ID≌△G′RF，∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，∴点F′在线段BC上，在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，∴E′H=E′F′=1，F′H=，易证△RG′F′≌△HF′E′，∴RF′=E′H，RG′RC=F′H，∴CH=RF′=E′H，∴CE′=，∵RG′=HF′=，∴CG′=RG′=，∴CE′+CG′=．
故选A．
3．A
【分析】本题主要考查了作图——基本作图，等边三角形的性质，正方形的性质，正确得到是等边三角形是解题的关键．
根据条件可以得到是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：连接、，
，
是等边三角形，
，
在正方形中，，，
，，
，
，
故答案为：A．
4．B
【分析】本题考查了正方形的性质以及轴对称的性质．根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
【详解】解：．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由正方形的性质得，而，则，即可根据“”证明，得，，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵于点F，于点E，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】先证四边形AHOF是矩形，可得AH=OF，由三角形的面积公式可得OG2+OE2=20，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD，四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形，
∴AD∥BC∥HG，AB∥EF∥CD，FO=OG，HO=OE，
∴四边形AHOF是平行四边形，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形AHOF是矩形，
∴AH=OF，
∵阴影部分的面积是10，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，多边形的面积等知识，求出是解题的关键．
7．C
【详解】∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．
故选C.
8．B
【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD=，∠BCD=90°．
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
9．C
【详解】因为正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交于P，
所以∠DBC=∠BDC=45°，∠DBF=∠FBE=22．5°，
所以∠BPD=∠PBC+∠BCP=90°+22．5°=112．5°．
所以∠FPC=∠BPD=112．5°．
故选C
考点：1．正方形的性质；2．菱形的性质；3．三角形外角的性质．
10．D
【分析】作点E关于边所在直线的对称点，连接交于点P，此时有最小值，利用正方形的性质得出，再利用勾股定理求解．
【详解】解：作点E关于边所在直线的对称点，连接交于点P，
此时有最小值，
∵在正方形中，
∴，
∴，
∴，
∵点E，F分别是对角线的三等分点，
∴，
∴的最小值．
故选：D．
【点睛】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
11．B
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．
根据三角形的中位线定理可得，，进而得到四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可证明，进而得到答案．
【详解】如图：四边形是菱形，点EFGH分别是的中点，顺次连接E、F、G、H
∵E，H是中点，
∴，
同理，，
∴，
则四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
故选：B．
12．B
【分析】连接OA，OF，由题意得OA=OF，设OC=x，由勾股定理得，解答方程可得OC的值，再运用勾股定理可得OD的长．
【详解】解：连接OA，OF，如图，
∵OF是半圆O的半径，
∴OA=OF，
∵四边形ABCD、EFGC是正方形，
∴，
设，
∴BO=BC-OC=3-x，OE=OC+CE=x+2，
在Rt和Rt中，
,
∴，
∵
∴,
解得，，即OC=1，
在Rt中，,
∴,
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，勾股定理以及正方形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
13．AB=CD
【分析】E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF且EG=HF．因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH=CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH，那么就需要AB、CD满足AB=CD的条件．
需添加条件AB=CD．
【详解】解：需添加条件AB=CD．
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG∥AB，且EG=AB同理HF∥AB，且HF=AB，
∴EG∥HF，EG=HF．
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG=AB，
又可同理证得EH=CD，
∵AB=CD，
∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形．
故答案为AB=CD．
14．18
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，
先根据正方形的性质得，，，可得是等腰直角三角形，再设，根据勾股定理求出，可得，然后根据勾股定理得，进而得出，即可求出答案．
【详解】如图所示，是正方形的对角线，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
设，根据勾股定理，
得，
∴．
根据勾股定理，得，
∴，
解得，
∴，
．
故答案为：18．
15．①②③④
【分析】由正方形的性质可知，，得出，结合题意可得出，即证明，从而可用“”证明，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得出，结合全等的性质可得，进而即可求出，故②正确；过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离．根据勾股定理可求出，从而可求出．又易证为等腰直角三角形，即得出，故③正确；由全等的性质可得，即得出，结合三角形的面积公式即可求出，故④正确．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，，
∴.
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，故①正确；
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图，过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识，并能够正确作出辅助线是解题关键．
16． 相等 直角 矩形 菱形
【解析】略
17．
【分析】如图，作点关于直线的对称点，连接，，延长到，使得，连接，，．想办法证明，的最小值转化为的最小值．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，延长到，使得，连接，，，如图所示：
，，
，
，关于对称，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
的最小值为线段的长，，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明△ABE≌△EHF，即可证明BE=CH；
（2）作FP⊥CD于P，求得PD=3 x，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，AB=BC，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°．
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEH．
又∵EF=AE，
∴△ABE≌△EHF．
∴BE=FH，AB=EH，
∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC，
∴BE=CH；
（2）作FP⊥CD于P，
由（1）可知EH=AB，
∴CE=3 x．
∴CH=FH=FP=x，
∴PD=3 x．
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到，，，即可得出；
（2）延长交的延长线于H，根据，即可得出B是的中点，进而得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长交的延长线于H，
∵E是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即B是的中点，
又∵，
∴中，．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．（1）见解析；（2）20cm（3）当AF=5 cm时，四边形BFEG是正方形．
【分析】（1）由正方形的性质可得出AB⊥BC、∠B=90°，根据EF⊥AB、EG⊥BC利用“垂直于同一条直线的两直线互相平行”，即可得出EF∥GB、EG∥BF，再结合∠B=90°，即可证出四边形BFEG是矩形；
（2）由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出△AEF为等腰直角三角形，进而可得出AF=EF，再根据矩形的周长公式即可求出结论；
（3）由正方形的判定可知：若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，结合AF=EF、AB=10cm，即可得出结论．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，∠B=90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴EF∥GB，EG∥BF．
∵∠B=90°，
∴四边形BFEG是矩形；
(2)∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB==10cm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=EF，
∴四边形EFBG的周长C=2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm．
(3)若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，
∵AF=EF，AB=10cm，
∴当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形．
【点睛】本题主要考查正方形的性质．熟练应用正方形的性质进行推理、求值是解题的关键．
21．（1）；（2）不成立，．理由见解析；（3）
【分析】（1）延长到点，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．
（3）如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，于．证明四边形是正方形即可解决问题．
【详解】解：延长到点，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为：．
（2）结论不成立，结论：．
理由如下：证明：如图2中，在上截取，使，连接．
，，
．
在与中，
，
．
，．
．
，
，
．
，
．
．
，
．
（3）如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，于．
，
设，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，，
，，
，
，，
，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，正方形的判定与性质，勾股定理及其逆定理；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
22．（1）3；（2）存在，
【分析】（1）先判断出AF=AD=8，进而利用勾股定理求出BF=6，最后在Rt△ECF，利用勾股定理，即可得出结论；
（2）先作出点E关于BC的对称点E，进而求出DE'，再利用勾股定理即可得出结论．
【详解】解：（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，
∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，
由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF＝＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝4，
设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，
∴16+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴CE＝3；
（2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P，
此时，PA+PE最小，最小值为AE'，
∵CD＝8，
∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11，
在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，
AE'＝＝．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是求出CE．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS证得△ADE≌△ABF；
（2）根据勾股定理可得AE＝4，再由全等三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°
∵F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS）．
（2）解：∵BC＝12，
∴AD＝12
在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，
∴AE＝＝4，
由（1）知△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．
∴∠EAF＝90°
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)GF的值为．
【分析】（1）先判断出AF=BE，进而得出△FAB≌△EBC（SAS），即可得出结论；
（2）连接BG，根据HL证明Rt△BQG≌Rt△BCG，得QG=GC，设QG=b，在Rt△DFG中，根据勾股定理列方程可得b，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠ABC=90°，
∵E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，
∵AF=BE，
∴△FAB≌△EBC（SAS），
∴CE=BF；
（2）解：如图，连接BG，
由折叠得：AB=BQ，∠BQF=∠A=90°，
∵AB=BC，
∴BC=BQ，
∵BG=BG，
∴Rt△BQG≌Rt△BCG（HL），
∴QG=GC，
∵AB=4，F是正方形ABCD边AD的中点，
设QG=b，
则DF=AF=FQ=2，FG=2+b，DG=4-b，
在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，
∴，
∴b=，即QG=，
∴GF=FQ+QG=2+=．
∴GF的值为．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是本题的关键．
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