1.1菱形的性质与判定寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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1.1菱形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，菱形中，与交于点O，，E为延长线上一点，使得，连接，分别交、于点F、G，连接，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．菱形中，对角线交于点O，给出下列结论：①，②，③，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，在中，，按以下步骤作图：
（1）以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点E；
（2）分别以点B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAD的内部交于点G，连接AG并延长交BC于点F．若AB＝5，BE＝6，则AF的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ABO=40°，则∠DCO= （ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．对角线互相垂直的矩形
6．如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（ ）
A． B．5 C．6 D．
7．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
8．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，，则菱形的面积为（ ）

A． B． C． D．
9．已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（ ）
A．20 B．25 C． D．40
10．在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
11．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则（ ）
A． B． C． D．
12．下列命题中，正确的是 （ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是菱形
二、填空题
13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为
14．如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为 ．
15．如图，为等边三角形的中心，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于外一点，连接，，若，则四边形的面积为 ．
16．如图，点，，分别在的边上，，，添加一个条件 ，使四边形是菱形．
17．如图，在菱形中，，为中点，点在延长线上，、分别为、中点，，，则 ．
三、解答题
18．如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，，求的度数．
19．思思同学在平时的数学学习中喜欢钻研和思考问题，他想要证明命题“被一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形”是真命题，于是她先作了如图所示的四边形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，在平行四边形中，连接，　　　平分．求证：四边形是　　　．
(1)填空，补全已知和求证；
(2)按思思同学的想法完成证明过程．
20．如图：在中，点E、F分别在、上，且．

(1)求证：、互相平分；
(2)连接、，若平分，且，，则四边形的面积为______．
21．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
22．如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形．
23．已知ABCD为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形，小刚说只要过BD中点作BD的垂线交AD、BC于E、F，沿BE、DF剪去两个角，所得的四边形BFDE为菱形．你认为小刚的方法对吗？为什么？
24．如图，已知在中，D，E，F分别是的中点，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，求四边形的周长．
《1.1菱形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C C C C B A A B
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】根据菱形的性质证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，证明，根据全等三角形的性质得出，求出，到之间的距离等于到之间的距离（设距离为h），求出四边形与四边形的面积相等，根据菱形的判定求出四边形是菱形即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，到之间的距离等于到之间的距离（设距离为h），
∵四边形的面积，四边形的面积，，
∴四边形与四边形的面积相等，故②正确，③正确；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键．
2．C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分每一组对角，判断即可．
【详解】解：如图：
①，错误，不符合题意；
②，正确，符合题意；
③，正确，符合题意；
所以正确的有两个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形对角线互相垂直平分，每一条对角线平分每组对角是解本题的关键．
3．C
【分析】设AF交BE于H，证明四边形AEFB是菱形，利用勾股定理求出AH即可．
【详解】解：设AF交BE于H，
由题意得AB=AE，AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∴BF=AE，
∵AE∠BF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴AB=EF，
∴AB=AE=EF=BF，
∴四边形AEFB是菱形，
∴AH=FH，BH=HE=3，AF⊥BE，
∴AH=，
∴AF=2AH=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，正确理解角平分线的作图是解题的关键．
4．C
【分析】根据菱形的性质，对角线互相垂直平分可知，∠COD=90°，∠DCO+∠CDO=90°，利用AB∥CD，通过等角代换，计算即可求出．
【详解】由题意知，菱形ABCD的对角线互相垂直平分可得：∠DOC=90°，∠CDO+∠DCO=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO=40°，
∴∠DCO=90°-40°=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形中两个锐角互余，掌握菱形的性质和平行线的性质是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．利用菱形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误；
B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故选项B错误；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项C正确；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项D错误．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，可得，证明平行四边形是菱形，继而求出，即可解答．
【详解】∵是边上的中线
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
∴．
∴，
∴．
故选C．
7．B
【分析】由题意得EF∥AD，HG∥AD，推出EF∥HG，同理得出HE∥GF，即可得出四边形EFGH是平行四边形，由中位线的性质得出GH=AD，GF=BC，证得GH=GF，即可得出结果．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG，
同理：HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴GH＝AD，GF＝BC，
∵AD＝BC，
∴GH＝GF，
∴平行四边形EFGH是菱形；
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解决问题的关键．
8．A
【分析】根据EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理求出BC的长.连接BD，然后根据菱形的对角线互相垂直的性质用勾股定理求出BD的长，最后用菱形的面积公式求解．
【详解】解：连接BD

∵E、F分别是AB，AC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=4，
是菱形
AC与BD互相垂直平分，
BD经过F点，
则S菱形ABCD=
故选A.
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理BC、用勾股定理求出BF是关键．
9．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的面积求出，再由菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的周长公式计算周长即可．
【详解】解：如下图菱形，假设对角线，
则，
∴，
由菱形的性质可知：，，，，
∴，
∴菱形的周长为，
故选：A
10．B
【分析】根据菱形的性质可求出由直角三角形两锐角互余得出从而得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵菱形的对角线和相交于点，
∴
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的中线性质；求出是解决问题的关键．
11．C
【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，由作图过程可知，，可得四边形是菱形，则，可得，则可得．
【详解】解：由作图过程可知，，
∴四边形是菱形，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴．
故选：C．
12．B
【分析】根据菱形的判定方法依次分析各选项即可．
【详解】A．对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确．
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项错误；
D．对角线相等的四边形不一定是菱形，故本选项错误．
故选： B．
【点睛】本题本题考查了真命题，属于基础应用题，只需学生熟练掌握菱形的判定方法，即可完成．
13．2
【分析】如图连接BD．首先证明△ADB是等边三角形，可得BD＝4，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】解：如图连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵点E、F分别是DP、BP的中点，，
∴EF＝BD＝2．
故答案为2.
【点睛】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明△ADB是等边三角形．
14．
【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE=， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度．
【详解】解：连接BE，如图：
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴，则∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=4，
∴BE=AE=，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理，则
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到∠EBC=∠AEB=90°．
15．
【分析】本题考查了菱形的判定与性质,等边三角形的性质,正多边形的中心等知识，根据正多边形的中心的定义，可得出,,证明四边形是菱形,得出,证明，得出,,根据含的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，即可求解。
【详解】解:∵为等边三角形的中心，
∴,,,,
由作图知:,
∴,
∴四边形是菱形,
∴,
∴,
连接,
∵,,,
∴
∴,,,
∴,
∴,
∴,
∴四边形的面积为,
故答案为: .
16．（答案不唯一）
【分析】此题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理．
添加条件：，首先证明四边形是平行四边形，然后结合即可得到四边形是菱形．
【详解】添加条件：.
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
17．4
【分析】连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得CG= 2HF= ，由ABCD，得CDM= A= 60°，设DM= x，则CD= 2x，CM=x，在Rt△CMG中，借助勾股定理得，即可求出x的值，从而解决问题．
【详解】如图，连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，
F、H分别为CE、GE中点，
FH是△CEG的中位线，
HF=CG，
四边形ABCD是菱形，
ADBC，ABCD，
DGE =E，
EHF= DGE，
E=EHF，
HF = EF = CF，
CG= 2HF =，
ABCD，
CDM= A = 60°，
设DM= x，则CD= 2x，CM=x，
点G为AD的中点，
DG= x，GM=2x，
在Rt△CMG中，由勾股定理得：
，
x=2，
AB = CD= 2x= 4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的性质与判定是本题的关键．
（1）由题意可证，四边形是平行四边形，即可证四边形为菱形；
（2）由三角形内角和定理求出，由菱形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴且四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴．
19．(1)，菱形
(2)见解析
【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法，是解题的关键：
（1）根据题意，补全已知和求证即可；
（2）根据平行四边形的性质结合角平分线的性质，推出，即可得证．
【详解】（1）解：补全已知和求证如下：
已知：如图，在平行四边形中，连接，平分．求证：四边形是菱形；
故答案为：，菱形；
（2）∵平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
20．(1)见解析
(2)14
【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可得证；
（2）先证明四边形为菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∴、互相平分；
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴四边形的面积为．
故答案为：14．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．解题的关键是掌握相关判定和性质．
21．（1）证明见解析（2）-1
【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．
22．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟记相关结论即可．
证明，可得，从而得到，继而得到，即可求证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，．
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
23．小刚的方法对；理由见解析．
【分析】小刚的方法对；要证明四边形BEDF是菱形，已知EF⊥BD，即要证明四边形BEDF是平行四边形，由平行四边形ABCD可得，不难证明△DOE≌△BOF，所以DE=BF，即可证明四边形BEDF是平行四边形，从而证明出四边形BEDF是菱形．
【详解】解：小刚的方法对；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，
∵O是BD的中点，
∴OD=OB，
∵在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”．是解本题的关键．
24．(1)见解析
(2)12
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）根据线段中点判定出三角形的中位线，根据三角形中位线的性质，得出平行线，最后根据平行四边形的判定定理进行证明即可；
（2）由角平分线和平行线的性质得出相等角，利用等角对等边得出邻边相等，证明平行四边形是菱形，然后求解即可．
【详解】（1）解： ，分别是 的中点，
是的中位线，
，，
是的中点，
，
，
，即 ，
四边形是平行四边形；
（2）解：平分，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
平行四边形是菱形，
是的中点，
∴，
，
所以，四边形的周长为12．
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