第四章图形的相似寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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第四章图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（　　）
A．± B． C． D．±
2．已知是成比例线段，且，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（ ）
A．6m B．7m C．8m D．9m
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似
C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似
5．是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
7．如图1，正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，在边上，，与交于点，平行四边形的面积为，则为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，，，，，P是上的动点，连接，若，则这样的点P共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．下列四组三角形中，是相似的三角形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
11．如果，且b是a、c的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ．
14．如图，若表示以为边的正方形面积，表示以为长、为宽的矩形面积，且，则图中可看作线段黄金分割点的是 ．
15．若，且a+b﹣2c＝3，则a＝ ．
16．如图，在中，于点，于点，且，，，则 ．
17．若，且，的周长为， 则的周长为 ．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在坐标系内画，使它与位似，且位似比为．
(1)画出；
(2)请直接写出△DEF的顶点坐标．
19．如图，在梯形中，是梯形对角线，．

(1)求证：；
(2)以为一边作交边于点，求证：．
20．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
21．在中，．在中，，则和相似吗？为什么？
22．在比例尺为1：30 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离为3.8cm，求：甲、乙两地的实际距离是多少千米？（用科学记数法精确到0.1）
23．如图是几组三角形的组合图形，图①中，；图②中，；图③中，；图④中，．
小说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是和．
小说：图③、④是位似变换，其位似中心是点．
请你观察一番，评判小，小谁对谁错．
24．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
《第四章图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A D C D C A
题号 11 12
答案 D C
1．C
【详解】根据题意，可知，即，当a＝3，b＝2时，，解得．故选C．
2．C
【分析】本题考查比例线段，利用比例线段的定理得到3：2=6：d，然后利用比例的性质求d即可．
【详解】解：∵是成比例线段，
∴，即，
解得：，
故选：C．
3．A
【分析】设DE=x m，DH=y m，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【详解】解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，
∴，
∴，，
∴，，
设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，
∴，，
∴y=4x，
∴，
∴，
∴AH=6，
故路灯AH的高度为6m．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判断和性质列出关系式是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查相似图形的判定，熟知相似图形的判定是解答的关键．根据相似图形的判定，结合相关知识的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意；
B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本选项不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本选项符合题意；
D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
【详解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据得到是解答本题关键．
6．D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
7．C
【分析】由正方形的性质及旋转性质可得，且为等腰直角三角形，可以推出，可以计算出图2中整个图形面积为，通过位似图形的性质可得图2中间空白部分面积为：，最后求出阴影部分的面积即可．
【详解】如图，
∵正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，整个图形的外围周长为16，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，
∴图2中整个图形面积：
∵将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，
∴图2中间空白部分面积为：
图2中阴影部分面积为：
故选：C
【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、位似图形等几何知识点及其应用；应牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
8．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质可知，根据可知，根据平行四边形对边平行可证，根据相似三角形对应边成比例可知，从而可知，根据三角形的面积公式可求的面积．
【详解】解：如下图所示，连接，
平行四边形的面积为，是平行四边形的对角线，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．设，则，则由相似三角形性质得到，化简得到，再根据根的判别式判断即可．
【详解】解：设，则
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，故这样的点P共有2个，
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、∵第一个等腰三角形的底角为，
∴顶角为，
∵第二个等腰三角形的顶角也等于，
∴两个三角形的夹角相等，夹边对应成比例，是一对相似三角形，符合题意；
、∵第一个等腰三角形的底角为 ，
∴顶角为，
∵两个等腰三角形的顶角不相等，
∴两个三角形不相似，不合题意；
、∵两个三角形的三边不成比例，
∴两个三角形不相似，不合题意；
、由勾股定理得，第二个直角三角形的另一条直角边长为，
∵两个三角形的三边不成比例，
∴两个三角形不相似，不合题意；
故选：．
11．D
【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．
【详解】解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴b：c＝3：2．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例中项的概念．解题关键是明确在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项．
12．C
【分析】此题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定与性质对各个结论逐一分析即可．
【详解】解：∵，，
∴，∴①可以；
∵，，
∴，∴②可以；
∵已知，但是夹角和不知道相等，
∴不能判断两个三角形相似，∴③不可以；
∵，
∴，
∵，
∴，∴④可以；
故选：C．
13．2或12或
【分析】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
分两种情况：与若，再根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】解：若，
∴，即，
解得或12；
②若，
∴，即，
解得．
∴或12或．
故答案为：2或12或．
14．点C和点D
【分析】此题考查了黄金分割点．根据面积关系得到，再根据黄金分割点的定义即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴点C是线段的黄金分割点，
∵，
∴，
∴点D是线段的黄金分割点，
综上可知，图中可看作线段黄金分割点的是点C和点D，
故答案为：点C和点D
15．6
【分析】根据题意分别得到b，c与a的关系，然后代入等式进行求解即可.
【详解】∵，
∴a=6k，b=5k，c=4k，
∴，
解得k=1，
∴a=6k=6.
【点睛】本题主要考查比例的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
16．
【分析】根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】解：根据三角形面积公式可得，，
∵AB=3，BC=6，CE=5，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．
17．16
【分析】本题考查了相似三角形的性质（周长比与相似比的关系），解题的关键是掌握“相似三角形的周长比等于它们对应边的比”这一性质，结合已知对应边的比和的周长，计算的周长．
根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵，
∴相似三角形的周长比等于对应边的比，即，
已知，，
设，则，
解得．
故答案为：16．
18．(1)作图见详解
(2)D的坐标为，E的坐标为，F的坐标为
【分析】
（1）根据位数定义，及位似比即可作图；
（2）的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，位似比为，由此可求出对应点的坐标．
【详解】（1）解：原点为位似中心，位似比为，
∴如图所示，
和即为所求．
（2）解：的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，位似比为，
∴，，，， ，．
【点睛】本题主要考查图形的位似，掌握位似图形的定义及位似比的计算是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键：
（1）证明，即可得证；
（2）证明，得到，结合，即可得证．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
；
（2）作交边于点 ，

由（1）得，
，
又，
，
，
，
又，
．
20．（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm．
【分析】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.
【详解】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）
∵PN∥BC,
∴=，△APN∽△ABC
∴=
∴=
∴=解得 y=
∴2y=
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm
(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.
由（1）知=
∴=
∴ y=
则S=xy===
∵
∴ S有最大值
∴当x=40时，S最大=2400（mm2） 此时，y==60 ．
∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm．
考点：三角形相似的应用
21．．理由见解析．
【分析】直接利用直角三角形的性质得出AC、DE的长，再利用相似三角形的判定方法得出答案．
【详解】解：相似，理由如下：
在中，，由勾股定理得．
在中，，由勾股定理得．
∴有，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
22．1.1×103千米
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式直接求解即可．
【详解】解：甲、乙两地的实际距离=3.8×30 000 000=114 000 000（m）=1 140（km）≈1.1×103（km）．
答：甲、乙两地的实际距离约为1.1×103千米
【点睛】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，解答本题的关键是单位的换算．
23．小对，理由见解析.
【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，进而判断得出即可．
【详解】根据位似图形的定义得出：
小对，①，②都可以看成位似变换，位似中心分别为、，
③、④虽然都存在相似三角形，但对应顶点的连线不相交于一点，而且对应边也不平行，所以③、④不是位似变换．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
24．(1)
(2)旗杆高度为；
(3)雕塑高度为．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案；
（3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
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