第二章一元二次方程寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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第二章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．利用配方法解方程时，应先将其变形为（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的同号实数根 B．有两个不相等的异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
4．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2-8x+12=0的根，则这个三角形的周长为( )
A．7 B．11 C．7或11 D．8或9
5．解方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．某纪念品原价160元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．为了让返乡农民工尽快实现再就业，某区加强了对返乡农民工培训经费的投入．2008年投入3000万元，预计2010年投入5000万元．设培训经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A．3000（1+x）2=5000 B．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
C．3000x2=5000 D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
8．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是（ ）．
A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数．
9．下列方程中没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
10．一元二次方程的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
11．若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（　　）
A． B． C．2 D．3
二、填空题
13．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
14．已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则△ABC是 三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是 三角形．
15．已知m、n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个根，那么m2+mn+2n＝ ．
16．近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有人感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 ．
17．方程(x+1)(x-3)=-4的解为 ．
三、解答题
18．已知关于x的一元二次方程tx2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1、x2．
（1）当t=m=1时，若x1＜x2，求x1、x2；
（2）当m=1时，求t的取值范围；
（3）当t=1时，若x1、x2满足3|x1|=x2+4，求m的值．
19．解方程：（1）；
（2）．
20．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值．
21．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图形中，每一横行有 块瓷砖，每一竖列有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与（1）中的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
22．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
23．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s．
(1)问当t为多少时，？
(2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，要设计一幅长，宽的矩形图案，其中有一横两竖的彩条，横竖彩条的宽度相同，如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，那么彩条的宽度应该为多少厘米？

《第二章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A D B A A A B
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的相关概念是解题的关键．一元二次方程就是一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【详解】解：∵是一般形式，常数项是，
∴二次项系数和一次项系数分别是和，
故选：C．
2．B
【分析】先把方程两边都除以2，再配方即可.
【详解】原方程可化为：
配方得：
即
故选：B
【点睛】本题考查了配方法，一般配方的步骤是：先化成一般式，把二次项系数化为1；加上一次项系数一半的平方，并减去这个数.
3．B
【分析】先计算出△>0，根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；又根据根与系数的关系得到两根之积等于-1，则方程有两个异号实数根。
【详解】因为，所以有两个不相等的异号实数根，
又两根之积等于-1，方程有两个异号实数根，所以原方程有两个不相等的异号实数根.
故选B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根，也考查了一元二次方程根与系数的关系.
4．A
【分析】首先从方程x2-8x+12=0中，确定第三边的边长为2或6；其次考查2，2，3或2，6，3能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【详解】解：由方程x2-8x+12=0，
解得x=2或x=6，
当第三边是6时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是2时，三角形的周长为2+2+3=7．
所以选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，及三角形三边关系的应用，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．
5．D
【分析】分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2-x-2=0；当x＜0时，原方程化为：x2+x-2=0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可．
【详解】解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，
因式分解得(x-2)(x+1)=0，
解得：x1=2或x2=-1（不合题意舍去）；
当x≤0时，原方程化为x2+x-2=0，
因式分解得(x+2)(x-1)=0，
解得：x1=-2或x2=1（不合题意舍去）；
所以，原方程的根是x1=2，x2=-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程-分解因式法，分类讨论是解本题的关键．
6．B
【分析】根据增长率公式求解即可．
【详解】解：160元降价后的价格为元，
再降价后为元，
根据题意可列方程．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用--增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
7．A
【分析】利用a（1+x%）n=b（a为增长前的量，x为平均增长率，n为增长时间，b为增长后的量）列方程即可．
【详解】解：∵增长后的量=增长前的量×（1+增长率）
∴3000（1+x）2=5000．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，灵活利用a（1+x%）n=b（a为增长前的量，x为平均增长率，n为增长时间，b为增长后的量）是解答本题的关键．
8．A
【分析】根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b的值．
【详解】解：根据题意得：b2-16=-3b+12，即b2+3b-28=0，
分解因式得：（b-4）（b+7）=0，
解得：b=4或-7，
当b=-7时，两方程为x2+3x+33=0无解，舍去，
则b=4．
故选A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．A
【分析】对于 若 则方程有两个不相等的实数根，若 则方程有两个相等的实数根，若 则方程没有实数根，根据原理逐一判断即可.
【详解】解：
所以原方程没有实数根，故A符合题意；
所以原方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意；
所以原方程有两个不相等的实数根，故C不符合题意；
所以原方程有两个不相等的实数根，故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“利用一元二次方程根的判别式不解方程判断方程根的情况”是解题的关键.
10．B
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断根的情况：当时，方程有两个相等实数根；当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程无实数根；该一元二次方程，即有两个不相等实数根，可得答案B．
【详解】解： 一元二次方程 ，
∴判别式 ，
方程有两个不相等的实数根．
故选B
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判断方法是解题的关键．
11．C
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式得出a，b，c的值，即可得出答案．
【详解】解：∵的一元二次方程的根为
∴，，，
∴这个方程是，
故选：C．
12．B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再化简，代入即可求解；
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两实根，
∴，，
∵，
∴；
故选B.
【点睛】本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
13．1
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，，
解得，
故答案为：1．
14． 直角; 等边.
【分析】把25分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0改写为(a-3)2+(b-4)2+=0，利用非负数的性质求出a、b、c的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0改写为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,再利用非负数的性质,可分别求出a、b、c的关系.
【详解】∵a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，
∴(a-3)2+(b-4)2+=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∵32+42=52，
∴△ABC是直角三角形；
∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴a=b，b=c，a=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为直角；等边.
【点睛】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质,解题的关键是注意配方法的步骤,在变形的过程中不要改变式子的值.
15．4
【分析】根据根与系数的关系得出m+n=2，mn=﹣7，根据m2﹣2m-7=0求出m2=7+2m，代入即可．
【详解】∵m、n是方程x2﹣2x﹣7=0的两个根，∴m+n=2，mn=﹣7，m2﹣2m﹣7=0，∴m2=2m+7，∴m2+mn+2n=2m+7+mn+2n=7+2×2+（﹣7）=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解答本题的关键是掌握两根之和和两根之积的表达式．
16．12
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人，
故答案为：12．
17．x1=x2=1
【分析】首先将已知的方程变形可得，对其进行因式分解可得求解即可．
【详解】(x+1)(x-3)=-4
移项得：
即
x1=x2=1，
故答案为x1=x2=1
【点睛】本题是一道关于解一元二次方程的题目，解答本题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程；
18．（1）x1=1，x2=5（2）t≤且t≠0（3）﹣59或
【分析】⑴根据题意，直接代入即可求解方程的两根；
⑵根据题意，直接代入即可求解；
⑶根据一元二次方程的判别式，求解出方程的两根，再根据题意求解即可．
【详解】（1）当t=m=1时，方程变形为x2﹣6x+5=0，
（x﹣5）（x﹣1）=0，
∵x1＜x2，
∴x1=1，x2=5；
（2）当m=1时，方程变形为tx2﹣6x+5=0，
根据题意得t≠0且（﹣6）2﹣4×t×5≥0，
∴t≤且t≠0；
（3）当t=1时，方程变形为x2﹣6x+m+4=0，
△=（﹣6）2﹣4（m+4）≥0，解得m≤5，
则x1+x2=6，x1 x2=m+4，
当x1＜0时，﹣3x1=x2+4，解得x1=﹣5，x2=11，m+4=﹣55，解得m=﹣59，
当x1＞0时，3x1=x2+4，解得x1=，x2=，m+4=，解得m=，
∴m的值为﹣59或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的性质，掌握一元二次方程的定义求解是解决本题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）直接开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1），两边直接开平方，得，
或，
解得；
（2），
，即，
，
．
即．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力．
20．3
【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案
【详解】解：由一元二次方程的定义可知，
由①得．
由②得，
所以．
21．（1）n+3，n+2；（2）y＝n2+5n+6；（3）20；（4）1604元；（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，见解析
【分析】（1）观察图形，找出规律即可；
（2）第1个图形有4×3块瓷砖，第2个图形有5×4块瓷砖，第3个图形有6×5块瓷砖，所以可以推出瓷砖的总块数为y=（n+3）（n+2）；
（3）把y=506代入（2）所求的函数表达式中求解即可；
（4）先假设黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形，根据黑、白瓷砖数量相等，看是否得到n的整数解即可．
【详解】解：（1）观察图形可知，每一横行有 （n+3）块瓷砖，每一竖列有（n+2）块瓷砖．
故答案为：n+3，n+2．
（2）第1个图形有4×3块瓷砖，第2个图形有5×4块瓷砖，第3个图形有6×5块瓷砖，所以可以推出瓷砖的总块数为y=（n+3）（n+2）；
∴y＝（n+2）（n+3）＝n2+5n+6．
（3）当y＝506时，n2+5n+6＝506，即n2+5n﹣500＝0．
解得：n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．
∴此时的n值为20．
（4）白瓷砖的块数：n（n+1）＝20×21＝420．
黑瓷砖的块数：506﹣420＝86．
∴共需：86×4+420×3＝1604（元）．
（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，理由如下：
当黑白瓷砖块数相等时，有：
n（n+1）＝n2+5n+6﹣n（n+1）．
∴n2﹣3n﹣6＝0．
解得：或
∵n是整数．
∴不合题意，故不存在黑白瓷砖块数相等的情形．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，函数关系式，观察图形规律等等，解题的关键在于能够准确地找到图形规律进行求解.
22．（1）；（2），二次项系数为，一次项系数为，常数项为
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程进行求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行求解即可；
【详解】解：（1）∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得
（2）∵是关于x的一元二次方程，
∴即，
∴这个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程和一元二次方程的定义．
23．(1)t的值为1
(2)存在，t的值为2
【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题的关键．
（1）根据题意得，，根据勾股定理可得，整理得，解出方程即可．
（2）根据正方形的性质，可得，，再利用三角形面积得出，代入数值列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，，
，
．
，即，
，
，
．
当时，，舍去，
的值为1．
（2）存在．
理由：四边形是正方形，
，，
，
，
即，
，解得．
当t的值为2时，．
24．
【分析】设彩条的宽度为，根据彩条所占面积是图案面积的三分之一列方程求解即可．
【详解】解：设彩条的宽度为，
根据题意得，，
整理得，，
解得，或，
但不合题意，舍去，
彩条的宽度为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用－几何问题，解题关键是要读懂题目的意思，掌握几何图形的性质，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
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