第三章概率的进一步认识寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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第三章概率的进一步认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在一个不透明的袋中装着2个红球和1个白球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机的取出一个球，两次恰好是一个红球和一个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示：
种子个数 200 300 500 700 800 900 1000
发芽种子的个数 187 282 735 624 718 814 901
发芽种子的频率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901
有下面四个推断：
①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；
②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；
③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；
④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
3．吴老师准备了4张大小、形状、质地完全相同的卡片，正面依次书写“逢”“考”“必”“过”，把这4张卡片背面朝上洗匀．某同学从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面汉字恰能组成“必过”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，则估计红、黄、蓝球的个数分别为（ ）．
A．35，25，40 B．40，25，35 C．25，40，25 D．40，35，25
5．现有A、B两枚均匀的骰子，用骰子A的点数为x，骰子B的点数为y的方式来确定点，则各掷一次骰子所确定的点P落在已知抛物线上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
6．个小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则最终停在阴影部分上的概率是（　　）

A． B． C． D．不确定
7．某鱼塘里养了若干条草鱼、100条鲤鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．可估计该鱼塘中鱼的总数量为（ ）．
A．300 B．200 C．150 D．250
8．如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为P1，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为P2，则 （ ）
A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．以上都有可能
9．小冬和小松正在玩“掷骰子，走方格”的游戏．游戏规则如下：（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子六个面的数字分别是1至6），落地后骰子向上一面的数字是几，就先向前走几格，然后暂停．（2）再看暂停的格子上相应的文字要求，按要求去做后，若还有新的文字要求，则继续按新要求去做，直至无新要求为止，此次走方格结束．下图是该游戏的部分方格：
大本营 1 对自己说 “加油！” 2 后退一格 3 前进三格 4 原地不动 5 对你的小伙伴说“你好！” 6 背一首古诗
例如：小冬现在的位置在大本营，掷骰子，骰子向上一面的数字是2，则小冬先向前走两格到达方格2，然后执行方格2的文字要求“后退一格”，则退回到方格1，再执行方格1的文字要求：对自己说“加油！”．小冬此次“掷骰子，走方格”结束，最终停在了方格1．如果小松现在的位置也在大本营，那么他掷一次骰子最终停在方格6的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）

A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率
C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D．从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
11．下表是某商场举行活动转动转盘的统计数据，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率为（精确到）（　　）
转动转盘的次数
落在“谢谢参与”区域的次数
落在“谢谢参与”区域的频率
A． B． C． D．
12．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是( )
A．面朝上的点数是3 B．面朝上的点数是奇数
C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数不小于3
二、填空题
13．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是 ．
14．金华创建文明城市，推行垃圾分类．小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱．一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是 ．
15．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，规定：每次只能从袋子里摸出一个球出来，记录颜色，放回去，共摸200次，其中白球138次．由此可确定：袋子里有 个白球的可能性最大．
16．如图，小明和小丁做游戏，分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得分，当所转到的数字之积为偶数时，小丁得分，这个游戏公平吗？ ．
17．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是 ．
三、解答题
18．从一副扑克牌（张，没有大王和小王）中每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在抽牌试验中得到部分数据，如表所示：
试验次数
抽出红心牌的频数
抽出红心牌的频率
(1)表中______，由表中数据可以得出的结论是：______．
(2)若从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是多少？
19．某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可回收和其他，分别记为a、b、c，并且设置了相应的垃圾箱，分别贴上“厨余垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”，分别记为A，B，C．
（1）若将三类不同的生活垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表的方法求垃圾全部投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共10吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
A B C
a 3 0.8 1.2
b 0.24 0.3 2.46
c 0.32 0.28 1.4
该小区所在城市每天大约产生500吨生活垃圾，根据以上信息，试估算其中“可回收垃圾”每天投放正确的有多少吨？
20．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率．
21．某区七年级有3000名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动.为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了200名学生的得分(得分取正整数，满分为100分)进行统计．
分组 频数 频率
10
16 0.08
0.20
62
72 0.36
请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)若将得分转化为等级，规定得分低于59.5分评为“D”， 分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”， 分评为“”.这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“D”？如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“A”.“B”.“C”.“D”哪一个等级的可能性大？请说明理由．
22．小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少？
23．某工厂对一批灯泡的质量进行随机抽查，见下表：
抽取灯泡数 40 100 150 500 1000 1500
优等品数 36 92 145 474 950 1427
优等品频率
（1）计算表中的优等品的频率（精确到0.001）
（2）根据抽查的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率（精确到0.01）
24．王老师将3个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组部分统计数据．
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 23 31 60 127 203 251
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.254 0.253 ______
（1）根据上表数据计算= ．估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ．（精确到0. 01）
（2）估算袋中白球的个数．
《第三章概率的进一步认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A B A A A B D
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个红球和一个白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两球恰好是一个红球和一个白球的有4种情况，
∴两球恰好是一个红球和一个白球的概率为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．D
【分析】①发芽率=发芽种子数除以总种子数；②频率稳定在0.9可估计概率约是0.9；③不能用特殊值代表概率；④用概率估计总体.
【详解】①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率大约是0.891，故错误；②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1），故正确；③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率不一定是种子发芽的概率，故错误；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽，故正确．其中正确的是②④，
故选D．
【点睛】本题考查频率与概率、频率估计概率、概率估计总体等知识，掌握相关知识是解题关键，难度容易.
3．A
【分析】此题考查了列举法求事件的概率，列表格得到所有可能的结果数及所求结果数，根据概率公式计算可得．正确理解“放回”与“不放回”事件及概率的计算公式是解题的关键．
【详解】解：列表如下：
逢 考 必 过
逢 考逢 必逢 过逢
考 逢考 必考 过考
必 逢必 考必 过必
过 逢过 考过 必过
由表知，共有12种等可能结果，其中这两张卡片的正面汉字恰能组成“必过”的有2种结果，
所以这两张卡片的正面汉字恰能组成“必过”的概率为，
故选：A．
4．A
【分析】在同样条件下，大量反复试验，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，因此把这个频率作为事件发生的概率，则由概率计算公式可分别估算出红、黄、蓝球的个数．
【详解】∵通过多次摸球试验后，摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%
∴摸到红球、黄球、蓝球的概率为35%、25%和40%
∴口袋中红色玻璃球的个数为：100×35%=35（个），口袋中黄色玻璃球的个数为：100×25%=25（个），口袋中蓝色玻璃球的个数为：100×40%=40（个）
估计红、黄、蓝球的个数分别为35个，25个和40个
故选：A．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即为概率．部分数目=总体数目×相应的概率．
5．B
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再利用二次函数图象上点的坐标特征，找出点在抛物线上的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，点在抛物线上的结果数为（1，3），（2，4），（3，3）共3种，
所以点在已知抛物线上的概率．
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
6．A
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】根据几何概率的求法：最终停留在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．，
则它最终停留在阴影部分的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
7．A
【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．
【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为0.5，
设有草鱼x条，根据题意得：
＝0.5，
解得：x＝150，
该鱼塘中鱼的总数量为(条)，
故选：A．
【点睛】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼出现的频率可以计算出鱼的数量．
8．A
【分析】先根据甲和乙给出的图形，求出黑色区域在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：由图甲可知，黑色区域的面积相当于6块方砖，共有16块方砖，
∴黑色区域在整个地板中所占的比值为：，
∴在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率P1=；
由图乙可知，黑色区域的面积相当于3块方砖，共有9块方砖，
∴黑色区域在整个地板中所占的比值为：，
∴在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率P2=，
∵，
∴P1＞P2；
故选：A．
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率＝相应的面积与总面积之比．
9．B
【分析】根据掷一次骰子最终停在方格6的出现的情况利用概率公式解答即可．
【详解】掷一次骰子最终停在方格6的情况有①直接掷6；②掷3后前进三格到6；
所以掷一次骰子最终停在方格6的概率是，
故选B．
【点睛】此题考查几何概率，关键是根据掷一次骰子最终停在方格6的出现的情况利用概率公式解答．
10．D
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
B、掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率为，故此选项不符合题意；
C、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；
D、从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，属于常见题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答的关键．
11．D
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
【详解】解：观察表中数据可知，转到“谢谢参与”的频率逐渐稳定在左右，所以转到“谢谢参与”的概率约是．
故选：D．
12．D
【分析】分别求出各选项的事件的概率，再比较各个概率的大小，就可得出可能性较大的事件的概率．
【详解】A．掷一枚骰子面朝上的点数是3的概率为；
B．掷一枚骰子面朝上的点数是奇数有1，3，5三个数，此事件的概率为：；
C．掷一枚骰子面朝上的点数小于2的只有1，此事件的概率为：；
D．掷一枚骰子面朝上的点数不小于3数有3、4、5、6，此事件的概率为：；
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】根据题意，画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，
所以两次摸出的小球标号相同的概率是，
故答案为．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．
【分析】画树状图（用A、B、C、D表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）展示所有24种等可能的结果，再找出把三个袋子都放错位置的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图（用A、B、C、D表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）；

共有24种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为8种，
所以把三个袋子都放错位置的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
15．7
【分析】本题考查了可能性的大小：利用实验的方法进行概率估算．当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
先计算出到白球的频率为0.7，利用频率估计概率，则摸到白球的概率为0.7，然后利用概率公式计算出口袋中白球的个数即可．
【详解】解：根据题意，摸到白球的频率为，
估计摸到白球的概率约为0.7，
所以口袋中白球的个数为（个），
即袋子里有7个白球的可能性最大．
故答案为：7
16．公平
【详解】如表：
共6种情况；为奇数的2种，为偶数的4种．
故P（奇数）=.
∵
∴这个游戏对双方是公平的．
故答案是：公平.
17．
【详解】试题分析：根据题意画出相应的树状图，
所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，
∴两次摸出都是红球的概率是，
故答案为．
考点：列表法与树状图求概率
18．(1)；随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近；
(2)．
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（）根据频率和频数的关系求得的值，利用频率估计概率即可得出结论；
（）利用频率估计概率即可得出答案．
【详解】（1）解：，
由表中数据可以得出的结论是：随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近；
故答案为：，随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近；
（2）解：从表中得出，从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是．
19．（1）图表见解析，；（2）15吨
【分析】（1）根据题意，画出树状图，即可求解；
（2）根据题意，先求出“可回收垃圾”投放正确的概率，即可求解．
【详解】解：（1）列树状图如下：
所有等可能的情况数有6种，其中垃圾完全投放正确的有1种，
∴垃圾投放正确的概率为；
（2）“可回收垃圾”投放正确的概率为；
“可回收垃圾”每天投放正确的有（吨）．
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，用样本估计总体，明确题意，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了利用列表法或树状图法求概率：
（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为；
（2）解：根据题意，列出表格如下：
美 丽 灵 武
美 丽美 灵美 武美
丽 美丽 灵丽 武丽
灵 美灵 丽灵 武灵
武 美武 丽武 灵武
一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种，
所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率为．
21．(1)见解析
(2)“”的可能性大，见解析
【分析】本题是统计图的基础应用题，难度一般，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题．
（1）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，；据此可补全频数分布直方图．
（2）根据题意：依次求出个等级的概率，比较可得：“B”的概率最高，故是“B”的可能性大；
通过数学可以估计整体的数据的分布情况，让考生发现数学的“预测”功能．
【详解】（1）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，；
．
（2）由表知：评为“”的频率是，
由此估计全区七年级参加竞赛的学生约有（人）被评为“”．
，，，，
，
随机抽查一名参赛学生的成绩等级，“”的可能性大．
22．
【分析】首先根据题意画树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是白色上衣和白色裤子的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：树状图如下：
总共有4种等可能的结果，恰好是白色上衣和白色裤子的结果只有一种：（白，白），所以，所求的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）0.900，0.920，0.967，0.948，0.950，0.951；（2）0.95
【分析】（1）根据优等品的频数除以数据的总个数即可求得优等品的频率；
（2）根据表格中的数据可以得到优等品的概率；
【详解】(1)表中优等品的频率从左到右依次是：0.900，0.920，0.967，0.948，0.950，0.951
(2)根据求出的优等品的频率，可以知道，随着抽取的灯泡数的增多，优等品的频率逐渐稳定在0.95左右，由此可以估计这批灯泡优等品的概率是0.95
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用概率的知识解答．
24．（1）0.251，0.25；（2）9个
【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）用概率公式列出方程求解即可．
【详解】（1）251÷1000＝0.251；
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
故答案为：0.251；0.25．
（2）设袋中白球为x个，
＝0.25，
解得x＝9．
经检验，x=9是原方程的解，
答：估计袋中有9个白球，
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
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