第一章特殊平行四边形寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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第一章特殊平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
3．如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是矩形
C．当时，平行四边形是菱形
D．当且时，平行四边形是正方形
4．如图，在正方形中，点E在边上，连接，点、F分别在、上，，，则的度数为（ ）
A．75° B．65° C．125° D．115°
5．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
7．三角形的三边长分别为，则它最大边上的中线长为（ ）
A． B． C．10 D．12
8．如图，四边形ABCD是矩形纸片，，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF．展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕为BM，再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：①；②；③△BMG是等边三角形；④；⑤P为线段BM上一动点，H是线段BN上的动点，则的最小值是．其中正确结论有（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
9．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．2
10．如图，菱形中，点E、F、G分别是、、的中点，有下面两个结论：①；②．则这两个结论（ ）
A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对
11．如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
12．如图，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，图中等于60°的角有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的三块，其中点O为正方形的中心，E为AD的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形MNPQ（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形MNPQ为矩形，则四边形MNPQ的周长是 ．
14．如图所示，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．若，当点C恰好是的中点时， ．
15．如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为 ．
16．直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ．
17．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作EDAB，EFAC，得到四边形EDAF，它的面积记作：取BE中点E1：作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去， =
三、解答题
18．如图，边长为4的菱形的对角线与相交于点O，若．

(1)求证：四边形是正方形．
(2)E是上一点，，且，垂足为H，与相交于点F，求线段的长．
19．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：

第一步：作一个正方形；
第二步：分别取，的中点，，连接；
第三步：以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于；
第四步：过作，交的延长线于．
请你根据以上作法，证明矩形为黄金矩形．
20．已知线段，用平移、轴对称或旋转完成以下各题：
（1）画出一个以这条线段为一边的正方形；
（2）画出一个以这条线段为一边的等边三角形；
（3）画出一个以这条线段为一边，一个内角是的菱形．
21．如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形．
22．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明四边形ADCF是菱形；
(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．
23．小红在学习了图形的旋转后，用它来探究直角在正方形中的旋转问题．如图1，有和一个边长为a的正方形ABCD，点O是正方形的中心．
(1)如图2，当顶点P是正方形边上任意一点时，的两边分别与正方形的边BC，AD交于E，F两点，连接EF．若绕P点旋转，在旋转过程中EF长的最小值为______．
(2)如图3，当点P与正方形的中心O重合时，的两边分别与正方形的边BC和AB交于E，F两点，连接EF．若绕O点旋转，在旋转过程中．
①求EF长的最小值；
②四边形EOFB的面积是否会发生变化，请说明理由．
24．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，
(1)求B、C两点的坐标；
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的面积；
(3)若点M在直线上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
《第一章特殊平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D A D B C A C
题号 11 12
答案 D D
1．A
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，
∴AD=OC=10，DC=AO=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10 6=4，
设EC=x，则DE=EF=8 x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8 x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3，
∴点E的坐标为(10,3)．
故选择A．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．
2．B
【分析】首先过点E作△AEC的高，然后利用角平分线得到性质得到高的长度等于BE的长度，把AC做底，进而求得所求三角形的面积．
【详解】解：如图所示：
过点E作EF⊥AC，则EF为△AEC的高，
因为AE平分∠BAC，
所以EF=BE=4 (角平分线上的点到角两边的距离相等)，
则△AEC面积=，
故选：B.
3．A
【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理是解此题的关键．
根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定．
【详解】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意；
B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意．
故选A．
4．D
【分析】根据条件信息及三角形内角和定理求出，再根据矩形及平行线的性质得出，利用平角等于即可求解．
【详解】解：如图：
由，则，
又，
由三角形内角和定理：，
根据正方形的性质：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理、平行线的性质，解题的关键是是掌握平行线的性质，通过转化的思想进行求解．
5．A
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB
∴四边形ABCD是矩形
故选A
【点睛】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形的概念是解题关键．
6．D
【详解】解：如图，连接BE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°．
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠BEF=∠DEF=60°．
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°．
在Rt△ABE中，AB=AE tan∠AEB=2tan60°=2．
∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8．
∴矩形ABCD的面积=AB AD=2×8=16．
故选D．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理推出此三角形为直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可得到答案．
【详解】解：，
三边长分别为的三角形是直角三角形，
它最大边上的中线长为，
故选：B．
8．C
【分析】①首先根据EF垂直平分AB，可得AN=BN，然后根据折叠的性质，可得AB=BN，据此判断出△ABN为等边三角形，即可判断出∠ABN=60°；②首先根据∠ABN=60°，∠ABM= ∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°，然后在Rt△ABM中，根据AB=6，求出AM的大小即可；③求出∠AMB=60°，得到∠BMG=60°，根据AD∥BC，求出∠BGM=60°即可；④根据勾股定理求出EN即可；⑤根据轴对称图形的性质得到AP=PN，PN+PH=AH，且当AH⊥BN时，PN+PH最小，应用勾股定理，求出AH的值即可．
【详解】解：如图，连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
根据折叠的性质，可得AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，∠PBN=60°=30°，即结论①正确；
∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，
∴∠ABM=∠NBM=60°=30°，
∴BM=2AM，
∵AB=6，，
∴62+AM2=（2AM）2，
解得，即结论②不正确；
∵∠AMB=90°-∠ABM=60°，
∴∠BMG=∠AMB=60°，
∵ AD∥BC，
∴∠MBG=∠AMB=60°，
∴∠BGM=60°，
△BMG是等边三角形；
即结论③正确；
∵BN=AB=6，BN=3，
∴，即结论④正确；
连接AN，
∵△ABM与△NBM关于BM轴对称，
∴AP=NP，
∴PN+PH=AP+PH，
∴当点A、P、H三点共线时，AP+PH=AH，且当AH⊥BN时AH有最小值，
∵AB=6，∠ABH=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=3，
∴，
∴PN＋PH的最小值是3，即结论⑤正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，熟记等边三角形的判定及性质是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，首先证明是的中位线，得到，然后由正方形的性质与勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即可求出的长度，最后代入即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵M，N分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，此时最大，
∵E是上的动点，
∴当点和点重合时，最大
∴，
∴
∴的最大值为
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．根据菱形的性质，三角形中位线定理即可判断．
【详解】解：连接，，
∵点E、F、G分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，， ，
∵菱形，
∴，
∴，即；
而与不一定相等，
∴，
∴①对②错，
故选：C．
11．D
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由正方形的性质得，而，则，即可根据“”证明，得，，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵于点F，于点E，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
12．D
【分析】由已知条件可得AD=DB=CD，所以可得到，故可得出等于的角有多少个．
【详解】，，D是AB的中点，
AD=DB=CD，，
是等边三角形，
，
．
故选D．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，关键是根据斜边中线定理得到线段的等量关系，进而得到角的等量关系．
13．10
【分析】因为点O为正方形的中心，E为AD的中点，得到MB＝OE＝CN＝1，即可求得矩形MNPQ的周长．
【详解】解：如图所示：
四边形MNPQ为矩形，
∵点O为正方形的中心，E为AD的中点，
∴OE＝1，
∴MB＝OE＝CN＝1，
且PN＝AF＝1，
所以矩形MNPQ的周长是：
2（MB+BC+CN+PN），
＝2（1+2+1+1），
＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质应用，准确理解相关性质是解题的关键．
14．10
【分析】先证明四边形是矩形，过点D作于点G，根据角平分线的性质证明，进而可证四边形是正方形；证明，，利用勾股定理求出，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∵
∴四边形是矩形
过点D作于点G

∵平分，
∴，
同理可得：，
∴四边形是正方形；
，
∴，
∵点C为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键．
15．
【分析】连接PM、PN，△MPN是直角三角形，由勾股定理可得MN2＝PM2+PN2，在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN，代入已知的AP2+3PB2＝2，即可．
【详解】连接PM、PN．
∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴PM⊥AC，PN⊥BE，∠CAB＝∠NPB＝30°．
∴∠MPC+∠NPC＝90°，即△MPN是直角三角形．
在Rt△APM中，AP＝2PM，
在Rt△PNB中，PB＝PN．
∵AP2+3PB2＝1，
∴（2PM）2+3（PN）2＝2，
整理得PM2+PN2＝
在Rt△MPN中，MN2＝PM2+PN2，
所以MN＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，转化线段．
16．一半
【详解】试题解析：根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得解.
故答案为一半．
17．（或）
【分析】先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出的值，进而可得出的值，找出规律即可得出的值．
【详解】解：如图，连接，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵EDAB，EFAC，得到四边形EDAF，
∴四边形是平行四边形，
∴，是等边三角形，
∴，
∴是的中点
同理可得是的中点，
∴四边形是菱形，
∴，同理可得，
……，
∴，
∴
故答案为：（或）
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，找到规律是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用菱形的对角线平分每组对角即可证明；
（2）根据正方形的性质求得，证得，推出，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴,
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴．
∵，垂足为H，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵,
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知正方形的性质与全等三角形的判定与性质．
19．见解析
【分析】设，则，根据中点的定义可得，根据勾股定理可得，求得，求得，即可证明矩形为黄金矩形．
【详解】证明：在正方形中，令，则，
∵为的中点，
∴，
在中，，
又∵，
则，
∴．
即矩形为黄金矩形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，中点的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．见解析
【分析】（1）先把AB绕B点逆时针旋转90°，得到线段BC、以AC为对称轴，作与由线段AB、BC组成的对称图形．
（2）AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，连接BC．
（3）AB绕A点顺时针旋转30°，得到线段AD，连接BD，过点A作AO⊥BD，垂足为O，并延长AO，使，连接CD、CB．
【详解】解：（1）如图，正方形是所求作的图形，
（2）如图，等边是所求作的图形，
（3）如图，菱形是所求作的图形，
【点睛】熟悉图形变换的三种形式：平移，翻折，旋转．熟悉它们的定义和性质．
21．证明见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定，角平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
先证得平分，由角平分线的性质可得，再由平行四边形的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，进而证得结论．
【详解】证明：，，垂足分别为点E、F，且，
点在的角平分线上，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形．
22．(1)证明详见解析；
(2)证明详见解析；
(3)10．
【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【详解】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线，
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：连接DF，

∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC DF=×4×5=10．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
23．(1)a；
(2)①；②不会变化，见解析
【分析】（1）过点E作EH⊥AB于H，则当EF=EH时，EF的长最小，根据正方形的性质的∠A=∠B=∠AHE=90°，证得四边形AHEB是矩形，即可求出EH=AB=a，由此得到答案；
（2）①连接AC、BD，证明△OBF≌△OCE（ASA），得到OF=OE，由勾股定理得到，当OE⊥BC时，OE与OF最小，即EF最小，此时OE=OF=BC=a，由此求出EF；
②四边形EOFB的面积不会变化，根据△OBF≌△OCE（AAS），得到，由此得到四边形EOFB的面积=．
【详解】（1）解：过点E作EH⊥AB于H，则当EF=EH时，EF的长最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠AHE=90°，
∴四边形AHEB是矩形，
∴EH=AB=a，
故答案为：a；
（2）①如图，连接AC、BD交于点O，
∵∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠BOF=∠COE，
∵OB=OC，∠OBF=∠OCE=45°，
∴△OBF≌△OCE（ASA），
∴OF=OE，
∵∠EOF=90°，
∴，
∴当OE⊥BC时，OE与OF最小，即EF最小，
此时OE=OF=BC=a，
∴；
②四边形EOFB的面积不会变化，理由如下：
∵△OBF≌△OCE（AAS），
∴，
∴四边形EOFB的面积=，
∴四边形EOFB的面积不会变化．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，正确掌握正方形的性质是解题的关键．
24．(1)，；
(2)
(3)，，
【分析】（1）含角直角三角形的性质及勾股定理得、的长度，则可得、的坐标；
（2）由折叠性质得，，可证明，则，由矩形可知，四边形是平行四边形；设，则，在中，由勾股定理建立方程可求得的值，从而可求得结果；
（3）分三种情况考虑：以为边；为边，为对角线；若为边，为对角线；分别利用菱形的性质及相关知识即可求得点的坐标．
【详解】（1），，
由勾股定理得：
∴，；
（2）由折叠的性质得：，
四边形是矩形
四边形是平行四边形
设，则
∵在中，
∴
解得：
（3）若以为边，如图
∵F是中点
由（1）知，
∴
设直线的解析式为
把点与点的坐标分别代入得：
解得：
∴直线解析式
∵四边形是菱形
∴
∴的解析式
设
∴
解得：
∴
若为边，为对角线，如图
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴是的垂直平分线
∵四边形是菱形
∴是的垂直平分线
∴M与D重合，即
设
∵与互相平分
∴
∴，
∴
若为边，为对角线
如图
∵直线解析式
∴直线与y轴的交点为
∵，
∴
∵四边形是菱形，
∴
∴M是直线与y轴的交点
∵四边形是菱形，
∴，且
∴
综上所述，，
【点睛】本题考查了一次函数，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，涉及分类讨论思想，灵活运用这些知识是解题的关键．
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