5.1投影随堂寒假练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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5.1投影
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点，点在直线上的正投影分别是点，点，若，，则在直线上的正投影的长是（ ）
A． B． C． D．
2．正方形纸板在太阳光下的投影不可能是（ ）
A．平行四边形 B．一条线段 C．矩形 D．梯形
3．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处径直走到处这一过程中，他在地上的影子（ ）

A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长
4．下列现象中，物体的投影是（ ）
A．掉在地上的一片树叶
B．午后树的影子
C．小明画的一幅日出图
D．雪地上的脚印
5．如图所示，在房子外的屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在（　　）
A．△ACE B．△BFD C．四边形BCED D．△ABD
6．下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线
7．如果阳光斜射在地面上，一张矩形纸片在地面上的影子不可能是（　　）
A．矩形 B．线段 C．平行四边形 D．一个点
8．下列各种现象：皮影戏中的影子；物体在太阳光形成下的影子；探照灯下的投影；路灯下人的影子，其中属于中心投影的有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
9．如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　）

A．3 B．5 C．6 D．7
11．如图，从小区的某栋楼的四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是（　　）

A． B． C． D．
12．小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．无法确定
二、填空题
13．如图，已知在电线杆上有一个光源，身高的小明站在与电线杆底部距离的点处，其影长，若他沿方向走到达点处，此时他的影长是 ．（图中，均表示小明身高）
14．如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米．
15．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是 米．
16．如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ．
17．在阳光下，高为的一尊雕像在地面上的影长为，则此刻该处另一尊高为的雕像在地面上的影长为 .
三、解答题
18．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为．

【解决问题1】根据常识猜想小明在沿方向从向前进时，小明的影长如何变化________．
【解决问题2】求灯杆的高度．
19．一木杆按如图所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段CD表示）.
20．如图，身高的小明站在距路灯底部O点10m远的A处，他的身高（即）在路灯下的影子为，路灯灯杆垂直于水平路面．（以下画图画出示意图即可）
(1)画出路灯灯泡P在灯杆的位置；
(2)小明沿AO方向走到C处，画出此时小明在路面的影子；
(3)若，求路灯灯泡P到地面的距离．
21．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且．．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．米，塑像的高米，塑像的影长米．
(1)求明德楼的高；
(2)求塑像的影长．
22．小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的‘脑袋’了．”如图即表示此时小明和小丽的位置．
(1)请画出此时小丽在阳光下的影子；
(2)若已知小明的身高为1.60 m，小明和小丽之间的距离为2 m，而小丽的影子长为1.75 m，求小丽的身高．
23．古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．如果米，米，米，求金字塔的高度．（说明：金字塔的影长为露在外面的影长与金字塔底边的一半的长度的和．）

24．如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？
(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．
①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．
《5.1投影》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D A D C C C
题号 11 12
答案 A A
1．C
【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半，可得，求出的长，再根据勾股定理可得的长；通过证明，再根据相似三角形的性质可得的长，进而得出的长．
【详解】解：在中，，，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
即在直线上的正投影的长是，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键．
2．D
【分析】根据平行投影的性质，进行判断即可．
【详解】解：一张正方形纸板在太阳光线的照射下，形成影子不可能是梯形，
故选：D．
【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影的性质，是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】解：在小亮由远处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再远离路灯时，他在地上的影子逐渐变长，
∴小亮在地上的影子先变短后边长，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查投影的概念，熟练掌握投影的概念是解题的关键．根据投影的概念得出结论即可．
【详解】解：A选项，掉在地上的一片树叶不是投影，不符合题意；
B选项，午后树的影子是投影，符合题意；
C选项，小明画的一幅日出图不是投影，不符合题意；
D选项，雪地上的脚印不是投影，不符合题意；
故选：B．
5．D
【详解】盲区是在视线范围内看不见的区域，观察图形可选出．
解：由图片可知，E视点的盲区应该在三角形ABD的区域内．
故选D．
6．A
【分析】利用中心投影(光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影)和平行投影(由平行光线形成的投影是平行投影)的定义即可判断出．
【详解】解：A．太阳距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影．
B．台灯的光线是由台灯光源发出的光线，是中心投影；
C．手电筒的光线是由手电筒光源发出的光线，是中心投影；
D．路灯的光线是由路灯光源发出的光线，是中心投影．
所以，只有A不是中心投影．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义．熟记定义，并理解一般情况下，太阳光线可以近似的看成平行光线是解决此题的关键．
7．D
【详解】解：阳光斜射在地面上，当矩形纸片与太阳光垂直时，矩形纸片在地面上的影子为矩形；当矩形纸片与太阳光斜交时，矩形纸片在地面上的影子为平行四边形；当矩形纸片与太阳光平行时，矩形纸片在地面上的影子为线段．故选D．
8．C
【分析】此题主要考查了中心投影的性质，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可．
【详解】解：中心投影的光源为灯光，所以属于中心投影的是：，共有种，
故选：C．
9．C
【分析】根据正投影的定义，得出圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，即可求解．
【详解】解：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正投影，掌握正投影的定义是解题的关键．正投影是指平行投射线垂直于投影面．
10．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长．
【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作 轴于，交于，如图

∵ ．
∴，，，
∵ ，
∴，
∴，即
∴，
故选：C．
11．A
【分析】分别画出从小区的某栋楼的四个位置向对面楼方向看的最大范围，依此即可作答．
【详解】由图可知: 从小区的某栋楼的四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是: ．
故选A．

【点睛】本题考查考查了视点、视角和盲区掌握相关概念是解题的关键．
12．A
【分析】利用在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行分析．
【详解】解：根据平行投影的特点是：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．
双杠平行，地上双杠的两横杠的影子也平行．
故选A．
【点睛】本题考查了平行投影特点，平行投影的特点是：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．
13．3
【分析】根据题意得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，则经过点，连接并延长交于点H，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴
∴，
解得：，
答：此时他的影长是，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比成比例求物体的高度．
14．
【分析】据已知首先得出DH=HP=x米，NO=（20+40-x）米，PO=（60+x）米，再利用平行线分线段成比例定理和三角形面积求出即可．
【详解】连接MD并延长，连接NC并延长，使其两延长线相交于点P，
作PO⊥MN于O，作CG⊥MP于G，
根据题意可得出：
ME=60，DE=HO=FC=60米，FN=20米，EF=40，
∴NC=，
=40米，
设EO=x米，
∴DH=x米，
∵ME=DE=60米，
∴∠MDE=45 ，
∴DH=HP=x米，NO=(20+40 x)米，PO=(60+x)米，
∵FC∥PO，
∴，
∴x，
解得：x=60 20，
∴PO=(120 20)米，NO=(40 20)米，
CD HP=DP CG，
×40×(120 20 60)= × [20+40 (40 20)] CG，
CG=20米，
∴行走的最短距离长为：NC+CG=(40+20)米．
故答案为40+20
【点睛】此题主要考查了盲区有关知识以及相似三角形的判定与性质，根据已得出，求出NO与PO的长是解题关键．
15．1.92
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】根据题意知，小红的身高为175-7=168（厘米），
设小红的影长为x厘米,则
解得：x=192，
∴小红的影长为1.92米，
故答案为1.92．
【点睛】考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
16．
【分析】本题主要考查投影的性质，相似三角形的应用，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的应用等知识是解题的关键．根据题意，投影的性质，如图所示，设树的高为，可得四边形是矩形，，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，画图如下，过作于，
竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，
设树的高为，
∵，在同一条直线上，
∴四边形是矩形，则，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴树的高度为．
故答案为：
17．
【分析】本题考查相似三角形的应用、平行投影，解答本题的关键是明确同一时刻，旗杆的高与影长的比等于建筑物的高与影长的比．根据题意可知，同一时刻，旗杆的高与影长的比等于建筑物的高与影长的比，然后即可解答本题．
【详解】解：设另一尊雕像在地面上的影长为，
由题意可得：，
解得，
即雕像在地面上的影长为，
故答案为：.
18．[解决问题1]：逐渐变长；[解决问题2]
【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
[解决问题1]：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案；
[解决问题2]：根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案．
【详解】[解决问题1]：由题意，可知：小明在沿方向从向前进时，小明的影长逐渐变长；
[解决问题2]：解：由题意，可知：，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
把代入，
解得：．

19．见解析.
【分析】根据平行投影的性质，得出木杆的影子即可．
【详解】如图，CD是木杆在阳光下的影子.
【点睛】此题主要考查了平行投影，得出太阳光线是平行光线是解题关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)9m
【分析】本题考查投影的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握投影的性质以及相似三角形的判定及性质．
（1）根据投影的性质作图即可；
（2）根据投影的性质作图即可；
（3）证明，利用相似的性质即可求出．
【详解】（1）如图，点P即为路灯灯泡的位置．
（2）如图，即为小明在路面的影子．
（3）在和中，
，
∴，
可得，
∴（m）．
答：路灯灯泡P到地面的距离是9m．
21．(1)15米；
(2)4米．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据已知易得米，证明，从而利用相似三角形的性质可解答；
（2）根据题意可得，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】（1）∵，米，
米．
由题意，得．
∵，
∴，
解得．
答：明德楼的高为15米．
（2）由题意，得．
∵，
∴，
解得．
答：塑像的影长为4米．
22．（1）图形见解析；（2）1.4 m.
【详解】试题分析：（1）利用阳光是平行投影进而得出小丽在阳光下的影子进而得出答案；
（2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可．
试题解析：(1)如图，线段CA即为此时小丽在阳光下的影子．
(2)∵小明的身高为1.60 m，小明和小丽之间的距离为2 m，而小丽的影子长为1.75 m，设小丽的身高为x m，
∴，
解得x＝1.4.
答：小丽的身高为1.4 m.
23．金字塔的高度为米．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．根据太阳光是平行光线，得出，再利用相似三角形的性质求出即可．
【详解】解：由于太阳光是平行光线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴（米）．
答：金字塔的高度为米．
24．(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；(2)证明见解析.
【详解】试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解即可；
（2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例可证明结论；
②同理可证△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立．
试题解析：
解：（1）∵CD⊥AB，
而平行光线垂直AB，
∴AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影为BD；
（2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°．
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∴BC2＝BD AB；
②同理可得：△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD BD．
点睛：本题考查了正投影的定义和相似三角形的判定与性质，熟记正投影的定义是解决（1）的关键，结合图形得出相似三角形是解决（2）的关键．
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