沪教版八年级数学上册试题 第22章《直角三角形》单元测试卷（含答案）

第22章《直角三角形》单元测试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
1．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（ ）
A． ABC三条高线的交点处 B． ABC三边垂直平分线的交点处
C． ABC三条中线的交点处 D． ABC三条角平分线的交点处
2．已知 ABC的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（ ）
A． B．∠B=90° C． D．
3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ）
A． B． C． D．
4．“已知7，24，是一组勾股数，求的值．”小苹的结果是无法确定，小安的结果是，乐乐的结果是或，则（ ）
A．小苹对 B．小安对 C．乐乐对 D．三人都不对
5．如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．2
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是 ．
8．如图，于点B，于点C，，则的度数为 ．
9．已知的两条边，的长分别为、，则边的长为 ．
10．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺．
11．在中，，是三角形的一条中线，若，的度数是 ．
12．如图，长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了
13．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ．
14．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ．
15．若的三条边分别为，，，则斜边上的高的长为 ．
16．将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ．
17．如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ．
18． ABC中，，上的高为，，则顶角 ．
三、解答题（本大题共8小题，58分。）
19．（4分）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图）
20．（6分）历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中是边上的点．请你利用等面积法验证勾股定理．
21．（6分）如图， ABC中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数．
22．（8分）如图，在 ABC中，于点D，E为边上一点，且，．连接并延长交于点E．
(1)若，，求 ABC的面积；
(2)试判断与之间的位置关系，并说明理由．
23．（8分）已知：如图，，、分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．（8分）如图，在四边形中，过点作于点，且，．
(1)若，，求的长；
(2)若 ABC和的面积分别为和，求的面积．
25．（8分）如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为．
(1)请判断岛屿C是否会受到台风的影响？并说明理由．
(2)若台风影响岛屿C的时长是1.6小时，求台风中心的移动速度．
26.（10分）如图， ABC中，，，．点P是射线上一点（不与点B重合），为的垂直平分线，交于点F，交射线于点E，连接、．
(1)的度数；
(2)当点P在线段上时，设， APE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)如果 ，请直接写的长.
参考答案
一、选择题
1．D
【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在 ABC内角平分线的交点．
故选D．
2．C
【详解】解：∵ ABC的三条边分别为，，，满足，
∴，
根据勾股定理逆定理可知：，
故选：C．
3．C
【详解】解：如图，在和中，
，
，
，
，
，
故选：C．
，
4．B
【详解】解：当m为最长边时，，
解得：（负值已舍去）；
当24为最长边时，，
解得：（负值已舍去），不是整数，不符合题意；
综上所述，，
故选：B．
5．C
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，
∵正方形A的面积为6，正方形B的面积为8，
∴；
由勾股定理得，
∴正方形C的面积为14．
故选：C．
6．C
【详解】解：设，则，
由勾股定理得：在中，，
在中，，
由题意可知：，
∴，
解得：，
∴的长是，
∴，
故选：C；
二、填空题
7．
【详解】解：由题意得，“帥”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为，
故答案为：．
8．55°
【详解】解：∵，，，
∴为的角平分线，
∴，
故答案为： ．
9．或
【详解】解：当边，C为直角边时，则；
当边为斜边时，则；
故答案为：或．
10．
【详解】解：如图所示，设尺，
由题意得，尺，尺，，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴尺，
∴这根绳索的长度为尺，
故答案为：．
11．
【详解】解：如图，
∵在中，，是三角形的一条中线，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴．
故答案为：．
12．2
【详解】解：点C是的中点，，
是的垂直平分线，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
即橡皮筋被拉长了，
故答案为：．
13．38
【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，，
∴在中，；
在中，；
在中，；
在中，；
∴．
故答案为：38．
14．18
【详解】解：过点作于点，如图，
由题中的作图过程可知，是的平分线，
，，
，
，
，
故答案为：18．
15．
【详解】解：在中，，，，
∵，
∴斜边为，直角边为和，
设斜边上的高为h，由面积公式可得：，解得，
故答案为：．
16．
【详解】解：如图，过点作于，
在中，，为中点，斜边，
，，
在中，，，为中点，斜边，
，
∴，
为等边三角形，
，
，
∴，．
故答案为：．
17．
【详解】解：作于点，
是的角平分线，
平分交于点，
于点，于点，
，
∵，，
解得：
故答案为：．
18．或
【详解】解：当为锐角三角形时，如图1：取的中点，连接
∴，
，
∴
，，
，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴，
；
当为钝角三角形时，如图2：取的中点，连接
同理可得，
，
综上所述，或．
故答案为：或．
三、解答题
19．解：如图，点即为所求；
20．解：因为梯形的面积，
梯形的面积的面积的面积的面积，
所以，
所以．
21．解：，
，
，
，
，
，
由三角形的外角性质得，．
22．（1）解：，
，
在和中，
，
，
又，
．
；
（2）解：．理由：
，
，
，
，
，
．
．
．
23．（1）证明：连接、，
∵，是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
24．（1）解：如图，过点作的延长线于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴；
（2）解：由（）知，，，
∴，，
∴，
∵ ABC和的面积分别为和，
∴，
∴，
∴．
25．（1）解：岛屿会受到台风的影响；理由如下，
过点C作于点D，
由勾股定理得：，
∴，
解得，∴，，
∵，
∴岛屿会受到台风的影响；
（2）解：以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F，
则，
在中，
由勾股定理，得，
，
，
答：台风中心的移动速度为．
26.（1）解：在 ABC中，
∵，，，
∴，，
∴．
∴．
取的中点H，连接，如图所示：
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
（2）解：如图1，过点A作，垂足为点D．
在中，
∵，，
∴，
∴，
同理，，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴
，
即；
（3）解：当点P在线段上时，由x，
解得或1，
∴的长为2或1；
当点P在射线上时，如图2，过点A作于点M，
在中，，，
∴，
同理，，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴
即，
解得（负值舍去），
∴的长是；
则如果，BF的长为2或1或．