北京市第十四中学2025-2026学年高三上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京十四中高三（上）期中
数 学
2025.11
班级：______ 姓名：______
出题人：高三备课组 审核人：高三备课组
注意事项
1．本试卷共 6 页，共 21 道小题，满分 150 分.考试时间 120 分钟.
2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4．在答题卡上，选择题用 28 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5．答题不得使用任何涂改工具.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
A = x x 1 B ={x | x (x 2) 0}
1. 设集合 ， ，则 A B =（ ）
A. x x 0 B. {x |1 x 2} C. {x |1 x 2} D. {x x 0 且 x 1}
2. 若复数 z满足 i z = 3 4i ，则 z =（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
a = log 0.5,b = 50.5 ,c = 0.50.63. 已知 5 ，则（ ）
A. a c b B. a b c C. c a b D. b c a
x2 y2 5
4. 若双曲线C : =1的一条渐近线方程为 y = x，则双曲线C的离心率为（ ）
a2 b2 2
1 2 3
A. B. C. D. 2
2 3 2
5. 在平面直角坐标系中，记 d 为点P (cos ,sin )到直线 x my 2 = 0的距离，当 、m变化时， d 的
最大值为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6. 已知 , 均为第二象限角，则“ sin sin ”是“ cos cos ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若实数 x, y满足 x2 xy +1= 0，则（ ）
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x2 + y2A. 5 x2 + y2 B. 4 C. | x + y | 3 D. | x + y | 2
8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别为线段 CD 和 A1B1 上的动点，且满足CE = A1F ，
则四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的
面积之和（ ）
3 5
A. 有最小值 B. 有最大值 C. 为定值 3 D. 为定值 2
2 2

9. 已知正方形 ABCD的边长为 2，P为正方形 ABCD内部（不含边界）的动点，且满足PA PB = 0 ，则

CP DP的取值范围是（ ）
A. (0,8 B. 0,8) C. (0,4 D. 0, 4)
2
10. 已知数列 a 中各项均为正数，且an+1 an+1 = an (n = 1,2,3, n )，给出下列四个结论：
①对任意的 n *N ，都有 an 1；
②数列 an 可能为常数列；
③若0 a1 2 ，则当 n 2 时，a1 an 2；
④若 a1 2，则数列 an 为递减数列．
其中正确结论有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分.
2
11. 二项式 ( x )
6
的展开式中常数项为 __________.(用数字作答)
x
12. 设等比数列 a nn 的前 项和为 Sn .若 S1 、 S2 、 a3 成等差数列，则数列 an 的公比为__________.
13. 抛物线C : y = x2 的准线 l 的方程为__________．若点 P 是抛物线 C 上的动点，l 与 y 轴交于点 A，则
OAP（O是坐标原点）的最大值为__________．

14. 已知向量a = (1,1) ,b = (x, tx + 2)，若存在实数 x，使得 a与b的方向相同，则 t的一个取值为______．
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cos x
15. 已知函数 f (x) = ，给出下列四个结论：
x2 +1
①函数 f ( x)的图象关于原点中心对称；
2
②存在 x0 0，使得 f (x ； 0 ) =
2
1
③函数 f ( x)的图象与函数 y = 的图象没有公共点；
x
④函数 f ( x)极值点个数为 3．
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在三棱柱 ABC A1B1C1中，底面 ABC是正三角形，侧棱 AA1 ⊥底面 ABC．D，E 分别是边 BC，AC 的
中点，线段 BC1与 B1C交于点 G，且 AB = 4，BB = 2 2 ． 1
（1）求证：EG∥平面 AB1D；
（2）求证：BC1⊥平面 AB1D；
（3）求二面角 A B1C B的余弦值．
17. 已知函数 f (x) = Asin ( x + )(A 0, 0,0 )的部分图象如图所示，在条件① 条件② 条
件③这三个条件中选择两个作为已知.
（1）求函数 f ( x)的解析式：
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（2）设函数 g (x) = f (x) cos 2x + ，若 g (x)在区间 0,m 上单调递减，求m的最大值.
3
7
条件①： c a = ；条件②：b = ；条件③：c = .
2 3 12
注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.
18. 在 ABC中，b2 + c2 2
4 2
a = bc .
3
（1）求 tan A的值；
（2）若3c sin A = 2a sin B，且 ABC的面积 S = 2 2 ，求 c的值.
x2 y2
19. 已知椭圆E : + =1(0 n 4) 经过点 ( 2, 1)．
4 n
（1）求椭圆 E的方程及离心率；
（2）设椭圆 E的左顶点为 A，直线 l : x = my +1与 E相交于 M，N两点，直线 AM与直线 x = 4 相交于点
Q．问：直线 NQ是否经过 x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
f (x) = ex20. 已知函数 1 msin x (m R) .
（1）当m =1时，
（ⅰ）求曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
π
（ⅱ）求证： x 0, ， f (x) 0 .
2
π
（2）若 f ( x)在 0, 上恰有一个极值点，求m的取值范围.
2
*
21. 已知有穷数列 A : a1,a2 , ,aN (N N ,N 3)满足 ai 1,0,1 (i =1,2, ,N )．给定正整数 m，若
存在正整数 s， t (s t )，使得对任意的 k 0,1,2, ,m 1 ，都有 as+k = at+k ，则称数列 A 是m 连续
等项数列．
（1）判断数列 A : 1,1,0,1,0,1, 1是否为3 连续等项数列？是否为 4 连续等项数列？说明理由；
（2）若项数为 N的任意数列 A都是 2 连续等项数列，求 N的最小值；
（3）若数列 A : a1,a2 , ,aN不是 4 连续等项数列，而数列 A1 : a1,a2 , ,aN , 1，数列
A2 : a1,a2 , ,aN ,0 与数列 A3 : a1,a2 , ,aN ,1都是 4 连续等项数列，且 a3 = 0 ，求aN 的值．
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参考答案
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C C C D D D C
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分.
r
2 36 r6 2 r 3 r
11. 【答案】二项式 ( x ) 的展开式的通项公式T = Cr ( x ) = ( 2) Cr 2 ，
x r+1 6 6
x ,r 6,r N
x
3
由3 r = 0，得 r = 2，则T3 = ( 2)
2 C26 = 4 15 = 60，
2
2 6
所以二项式 ( x ) 的展开式中常数项为 60.
x
故答案为：60
12. 【答案】设等比数列 an 的公比为 q，
因为等比数列 a 的前 n项和为 Sn， Sn 1 、 S2 、 a3 成等差数列，
所以 2S2 = S + a ，则 2(a1 + a2 ) = a1 + a1 3 3 ，
因此 3a 21 + 2a2 = a3 ，所以 q 2q 3 = 0，解得 q = 3或 q = 1 .
故答案为：3 或 1 .
1
13. 【答案】抛物线C : y = x2 即C : x2 = y的准线 l的方程为 y = ；
4
1
l与 y轴交于点 A，则有 A 0, ，则当 AP与抛物线相切时 OAP最大，
4
(a,a2 ) y = 2x y a2 1 2设切点为 ， ，∴切线方程为 = 2a (x a)，切线过点 A，则 a 2a 0 a ，
4
1
解得 a = .
2
π 3π π
∴切线斜率为 2a = 1，即倾斜角为 或 ，故 OAP的最大值为 .
4 4 4
1 π
故答案为： y = ； .
4 4

14. 【答案】由向量 a = (1,1) ,b = (x, tx + 2)，存在实数 x，使得 a与b的方向相同，
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x = 2 1
则b = a, 0 ，即 (x, tx + 2) = (1,1)，可得 ，所以 x = 0 ，则 t 1 ,取 t = .
tx + 2 = 1 t 3
1
故答案为：
3
cos ( x) cosx
15. 【答案】对于①： f ( x)定义域为R ，对 x R ， f ( x) = = = f x2 2 ( )，
( x) +1 x +1
所以 f ( x)是偶函数，关于 y轴对称，①错误；
cosx 2 2 π 2
对于②：令 g (x) = ， g (0) =1 0, g = 0，
x2 +1 2 2 2 2
π 2
由零点存在性定理， x0 0, ， g (x0 ) = 0，即 f (x ) = ，②正确； 0
2 2
1 cosx
对于③：令 h (x) = ，因为 1 cos x 1，
x x2 +1
2
1 3
x
1 cosx 1 1 x2 x +1
+
所以当 x 0 时， 2 4 ， h (x) = = = 0
x x2 +1 x x2 +1 x (x2 +1) x (x2 +1)
1
即函数 y = 的图象在函数 f ( x)的图象上方；
x
2
1 3
2 x + +
当 x 0 时， 1 cosx 1 1 x + x +1

2 4 ，
h (x) = + = = 0
x x2 +1 x x2 +1 x (x2 +1) x (x2 +1)
1
即函数 y = 的图象在函数 f ( x)的图象下方；
x
1
所以函数 f ( x)的图象与函数 y = 的图象没有公共点，③正确；
x
sinx (x2 +1) 2xcosx
对于④： f (x) = 22 ，令 t (x) = sinx (x +1) 2xcosx，
(x2 +1)
π
当 x ,π 时，
2
因为 t (x) = cosx (x2 +1) 2xsinx 2cosx + 2xsinx = cosx (x2 +3) 0，
π π π2
所以 t (x)在 ,π 单调递增，又 t = +1 0, t (π) = 2π 0，
2 2 4
π
所以 x1 ,π ， t ( x1 ) = 0，
2
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π
所以当 x , x 1 时， f (x) 0， f ( x)单调递减；
2
当 x (x1,π)时， f (x) 0， f ( x)单调递增；
所以当 x = x1时， f ( x)取得极小值， x1 是一个极小值点.
3π
当 x , 2π 时， t (x) = cos x (x
2 +3) 0，
2
3π 3π 9π
2

所以 t (x)在 , 2π 单调递减，又 t = +1 0, t (2π) = 4π 0 ，
2 2 4
3π
所以 x2 , 2π ， t (x2 ) = 0 ，
2
3π
所以当 x , x2 时， f (x) 0， f ( x)单调递增；
2
当 x (x , 2π)时， f 2 (x) 0， f ( x)单调递减；
所以当 x = x2时， f ( x)取得极大值， x2 是一个极大值点.
π 3π
又 f ( x)是偶函数，所以当 x π, 和 x 2π, 时，也有两个极值点，
2 2
所以函数 f ( x)至少有 4 个极值点，④错误；
故答案为：②③.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 【答案】（1）证明：因为 E为 AC中点，G为 B1C中点．所以 EG∥AB1．
又因为 EG 平面 AB1D，AB1 平面 AB1D，
所以 EG∥平面 AB1D．
（2） 证明：取 B1C1的中点 D1，连接 DD1．
显然 DA，DC，DD1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，
则 D（0，0，0）， A(2 3，0，0)，B（0，-2，0）， B1 (0， 2，2 2 )，C1 (0，2，2 2 )，E ( 3，1，0)，C（0，
2，0）．
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所以DB1 = (0， 2，2 2 )，DA = (2 3，0，0)，BC1 = (0，4，2 2 )．

又因为 BC1 DA = 2 3 0+ 0 4+ 0 2 2 = 0 ，BC1 DB1 = 0 0+ ( 2) 4+ 2 2 2 2 = 0 ，
所以 BC1⊥DA，BC1⊥DB1．
又因为 DA∩DB1=D，所以 BC1⊥平面 AB1D．

（3）解：显然平面 B1CB的一个法向量为 n =（1，0，0）． 1

设平面 AB1C的一个法向量为： n =（x，y，z）， 2

又 AC = ( 2 3，2，0)，B1C = (0，4， 2 2 )，

n2 AC = 0， 2 3x + 2y = 0，
由 得
n2 B1C = 0， 4y 2 2z = 0．

设 x=1，则 y = 3 ， z = 6 ，则 n2 = (1，3，6 )．

n1 n2 1 10
所以 cos＜n1，n2＞= = = ．
n n 10 101 2
设二面角 A-B1C-B的平面角为 θ，由图可知此二面角为锐二面角，
10
所以 cos = ．
10
17. 【答案】（1）
选条件①②：
π T π 2π
因为 c a = ，所以 = ，即T = π，则 = = 2 .
2 2 2 T
由题意可知 A = 2 ，则 f (x) = 2sin(2x + ) .
π 2π
因为b = ， f (b) = 2sin( + ) = 0 ，
3 3
2π 2π
所以 + = kπ，k Z ，即 = + kπ .
3 3
π
因为0 π，所以 = ， k =1.
3
π
所以 f (x) = 2sin(2x + ) .
3
选条件①③：
π T π 2π
因为 c a = ，所以 = ，即T = π，则 = = 2 .
2 2 2 T
由题意可知 A = 2 ，则 f (x) = 2sin(2x + ) .
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7π 7π
因为 c = ， f (c) = 2sin( + ) = 2，
12 6
7π 3π π
所以 + = + 2kπ，k Z ，即 = + 2kπ .
6 2 3
π
因为0 π，所以 = ， k = 0 .
3
π
所以 f (x) = 2sin(2x + ) .
3
选条件②③：
π 7π π T 2π
因为b = ， c = ，所以 c b = = ，即T = π，则 = = 2 .
3 12 4 4 T
由题意可知 A = 2 ，则 f (x) = 2sin(2x + ) .
7π 7π
因为 c = ， f (c) = 2sin( + ) = 2，
12 6
7π 3π π
所以 + = + 2kπ，k Z ，即 = + 2kπ .
6 2 3
π
因为0 π，所以 = ， k = 0 .
3
π
所以 f (x) = 2sin(2x + ) .
3
（2）
2π
由题意得 g(x) = sin(4x + ) .
3
π 3π
函数 y = sin x的单调递减区间为 [ + 2kπ, + 2kπ] (k Z) .
2 2
π 2π 3π
由 + 2k ≤ 4x + ≤ + 2k ，
2 3 2
π k 5π k
得 + ≤ x≤ + .
24 2 24 2
π 5π
因为函数 y = g(x) 在区间[0,m]上单调递减，且 0 [ , ]，此时 k = 0 .
24 24
5π 5π
所以m≤ ，所以m的最大值是 .
24 24
18. 【答案】（1）因为b2
4 2
+ c2 a2 = bc，
3
b2 + c2 a2 2 2
所以 cos A = = .
2bc 3
8 1
因为 A (0, )，所以 sin A = 1 cos2 A = 1 = .
9 3
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sin A 1 3 2
所以 tan A = = = .
cos A 3 2 2 4
（2）因为3c sin A = 2a sin B，
3 2
由正弦定理得3ac = 2ab，所以b = c .
2
1
因为 ABC的面积为 S = bcsin A = 2 2 ，
2
1 3 2c2 1
即 = 2 2 ，所以 c2 = 8
2 2 3
所以 c = 2 2 .
19. 【答案】（1）
x2 y2 ( 2)2 ( 1)2
解：由椭圆 E : + =1经过点 ( 2, 1)，可得 + =1，
4 n 4 n
1 1 x2 y2
即 + =1，解得 n = 2 ，所以椭圆 E的方程为 + =1，
2 n 4 2
x2 y2
又由椭圆 2 2+ =1，可得 a = 4,b = 2，所以c = a2 b2 = 2 ，
4 2
c 2
所以椭圆的离心率为 e = = .
a 2
（2）
x = my +1

解：联立方程组 x2 y2 ，整理得 (m
2 + 2)y2 + 2my 3 = 0，
+ =1
4 2
2m 3
设M (x1 , y1),N(x2 , y2 )，则 0且 y1 + y2 = , y y =
m2
1 2
+ 2 m2
，
+ 2
y
1
又由椭圆 E的左顶点为 A( 2,0)，则直线 AM 的方程为y = (x + 2)，
x + 2
1
6y1 6y1
令 x = 4 ，可得 y = ，即Q(4, ) ，
x + 2 x1 + 21
6y1 y2
所以直线 NQ的斜率为 x1 + 2 6y1 y2 (x + 2) ，且 k 0， kNQ = =
1 NQ
4 x2 (4 x2 )(x1 + 2)
6y y (x + 2)
所以直线 NQ的方程为 y y2 =
1 2 1 (x x2 )，
(4 x2 )(x1 + 2)
y2 (4 x2 )(x1 + 2) x2[6y1 y2 (x1 + 2)] y2(4 x2)(x1 + 2)
令 y = 0 ，则 x = x2 =
6y1 y2 (x1 + 2) 6y1 y2(x1 + 2)
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6x2 y1 4y2 (x1 + 2) 6(my2 +1)y1 4y2(my1 +3) 2my1y2 + 6y1 12y= = = 2
6y1 y2 (x1 + 2) 6y1 y2 (my1 +3) my1y2 + 6y1 3y2
3 2m
2m( )+ 6 ( ) 18y
2 2m + 2 m2 + 2 18m 18(m
2 + 2)y
= = 2 = 2 ，
3 2m 9m 9(m2 + 2)y
m( )+ 6 ( ) 9y 2
2 2m + 2 m2 + 2
所以直线 NQ恒过定点 (2,0) .
20. 【答案】（1）
x
当m =1时， f (x) = e cos x
（ⅰ） f (0) = e0 cos0 = 0 ，又 f (0) = e0 1 sin 0 = 0 ，所以切线 l方程为 y = 0 .
x π
（ⅱ） f (x) = e 1 sin x， f (x) = ex cos x，因为 x x 0, ，所以e 1, cos x 1,
2
所以 ex cos x 0，所以 f (x) = e
x cos x 0
π
所以 f ( x)在 0, 单调递增，所以 f (x) f (0) = 0 ；
2
（2）
f (x) = ex 1 msin x x， f (x) = e mcos x
当m≤1时，所以 mcos x cos x，
f (x) = ex mcos x ex cos x ,
由（1）知， f (x) 0，
π
所以 f ( x)在 0, 上单调递增.
2
x
所以当m≤1时， f (x) = e 1 msin x没有极值点，
当m 1时， f (x) = ex mcos x，
π
因为 y = ex与 y = m cos x在 0, 单调递增.
2
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π
所以 f (x)在 0, 单调递增.
2
π
π
所以 f (0) =1 m 0 ， f 2 = e 0 .
2
π
所以 x 0, 使得 f (x0 ) = 00 .
2
所以当0 x x 时， f (x) 00 ，因此 f ( x)在区间 (0, x0 )上单调递减，
π π
当 x x 时， f (x) 0，因此 f ( x0 )在区间 x0 , 上单调递增.
2 2
π
故函数 f ( x)在 0, 上恰有一个极小值点，m的取值范围是 (1,+ ).
2
21. 【答案】（1）
数列 A是3 连续等项数列，不是 4 连续等项数列，理由如下:
因为 a2+k = a4+k (k = 0,1,2)，所以 A是3 连续等项数列.
因为 a1,a2 ,a3 ,a4 为 1,1,0,1；
a2 ,a3 ,a4 ,a5 为1,0,1,0 ；
a3 ,a4 ,a5 ,a6 为0,1,0,1 ;
a4 ,a5 ,a6 ,a7 为1,0,1, 1，
所以不存在正整数 s, t(s t) ，使得 as+k = at+k (k = 0,1,2,3) .
所以 A不是 4 连续等项数列.
（2）
设集合 S = (x, y) | x 1,0,1 , y 1,0,1 ，则S 中的元素个数为32 =9 .
因为在数列 A中 a 1,0,1 (i =1,2, ,N )，所以 (ai ,ai+1) S(i =1,2, ,N 1)i .
若 N 11，则 N 1 10 9 .
所以在 (a1,a2 ), (a2 ,a3), (a3,a4 ), , (aN 1,aN ) 这 N 1个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，
即存在正整数 s, t(s t) ，使得 as = at ,as+1 = at+1 .
所以当项数 N 11时，数列 A一定是 2 连续等项数列.
若 N = 3，数列0,0,1不是 2 连续等项数列.
若N = 4 ，数列0,0,1,1不是 2 连续等项数列.
若 N 5，数列0,0,1,1,0不是 2 连续等项数列.
若 N = 6，数列0,0,1,1,0, 1不是 2 连续等项数列.
第12页/共13页
若 N = 7，数列0,0,1,1,0, 1,1不是 2 连续等项数列.
若 N = 8，数列0,0,1,1,0, 1,1, 1不是 2 连续等项数列.
若 N = 9，数列0,0,1,1,0, 1,1, 1, 1不是 2 连续等项数列.
若 N =10 ,数列0,0,1,1,0, 1,1, 1, 1,0不是 2 连续等项数列.
所以 N 的最小值为 11.
（3）
因为 A1, A2 与 A3都是 4 连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数 i, j,k(i, j,k N 2) ,
使得 ai = aN 2 ,ai+1 = aN 1,ai+2 = aN ,ai+3 = 1，
a j = aN 2 ,a j+1 = aN 1,a j+2 = aN ,a j+3 = 0,
ak = aN 2 ,ak+1 = aN 1,ak+2 = aN ,ak+3 =1.
下面用反证法证明min i, j,k =1.
假设min i, j,k 1，
因为 ai 1,a j 1,ak 1,aN 3 1,0,1 ，
所以 ai 1,a j 1,ak 1,aN 3 中至少有两个数相等.
不妨设 ai 1 = a j 1，则ai 1 = a j 1,ai = a j ,ai+1 = a j+1,ai+2 = a j+2 ,
所以 A是 4 连续等项数列，与题设矛盾.
所以min i, j,k =1.
所以 aN = ai+2 = a j+2 = ak+2 = a3 = 0 .
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