江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2015-2016学年高一（下）第一次月考数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2015-2016学年高一（下）第一次月考数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 117.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-10-12 10:21:30 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县桃州中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卷对应的位置上）
1．由a1=1，d=3确定的等差数列{an}，当an=298时，n等于 ．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a= ．
3．已知若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为 ．
4．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为 ．
5．在△ABC中，，，a=1，则b= ．
6．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为 ．
7．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为 ．
8．在△ABC中，B=45°，c=2，b=，那么A= ．
9．已知数列{an}是等差数列，若a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+…+a13+a14=77，且ak=13，则k= ．
10．在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A= °．
11．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于 ．
12．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为 ．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于 ．
14．在锐角△ABC中，若a=2，b=3，则边长c的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程的两个根，且2cos（A+B）=1．求：
（1）角C的度数；
（2）边AB的长．
16．已知等差数列{an}的公差是正数，且a3 a7=﹣12，a4+a6=﹣4，求它的前20项的和S20．
17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
18．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．
（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
19．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．（要画图）
（1）A处与D处之间的距离；
（2）灯塔C与D处之间的距离．
20．△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若=1．解答下列问题：
（1）求证：A=B；
（2）求c的值；
（3）若，求△ABC的面积．
2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县桃州中学高一（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卷对应的位置上）
1．由a1=1，d=3确定的等差数列{an}，当an=298时，n等于 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列的通项公式，求出an=3n﹣2，由此能求出结果．
【解答】解：∵由a1=1，d=3确定等差数列{an}，
∴an=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，
∵an=298，∴3n﹣2=98，解得n=100．
故答案为：100．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a= ．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，进而求得A推断a=c，答案可得．
【解答】解：由正弦定理，
∴
故答案为
3．已知若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为 ．
【考点】正弦定理．
【分析】由面积正弦定理公式，得S=acsinB，再代入题中数据，即可得到所求三角形面积．
【解答】解：∵a=1，c=2，B=60°，
∴由面积正弦定理公式，得△ABC的面积为
S=acsinB=×1×2×sin60°=
故答案为：
4．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由a1=1，an+1﹣an=2，知数列{an}是等差数列，由此能求出a51．
【解答】解：∵a1=1，an+1﹣an=2，
∴a51=1+50×2=101．
故答案为101．
5．在△ABC中，，，a=1，则b= ．
【考点】正弦定理．
【分析】利用同角三角函数基本关系式、正弦定理即可得出．
【解答】解：∵，B∈（0，π），∴sinB==．
由正弦定理可得：
=解得b=．
故答案为：．
6．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．
【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，
可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得
16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC，
解方程可得cosC=，
故答案为：．
7．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由已知结合等差中项的概念列式求得a，则等差数列的前三项可求，由此求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．
【解答】解：由题意可得，2（a+1）=（a﹣1）+（2a+3），
解得：a=0．
∴等差数列{an}的前三项为﹣1，1，3．
则a1=﹣1，d=2．
∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．
故答案为：an=2n﹣3．
8．在△ABC中，B=45°，c=2，b=，那么A= ．
【考点】正弦定理．
【分析】△ABC中，由余弦定理求得a的值，再利用正弦定理求得sinA的值，可得A的值．
【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得b2==a2+8﹣4a cos45°，求得a=2+，或a=2﹣．
当a=2+，由正弦定理可得
=，求得sinA=，∴A=+=．
当a=2﹣，由正弦定理可得=，求得sinA=，∴A=﹣=，
故答案为：或．
9．已知数列{an}是等差数列，若a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+…+a13+a14=77，且ak=13，则k= ．
【考点】等差数列的性质．
【分析】先通过等差数列的等差中项根据a4+a7+a10=17，求出a7；根据a4+a5+a6+…+a14=77求出a9，进而求出公差d．再根据a9与ak的关系a9+（k﹣9） d=ak，求出k．
【解答】解：∵a4+a7+a10=3a7=17，
∴a7=
又∵a4+a5+a6+…+a14=77，即a4+a14+a5+a13…+a9=77
∴11a9=77，即a9=7
∴数列{an}的公差d==
∴a9+（k﹣9） d=13，
∴k=18
故答案为：18．
10．在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A= °．
【考点】余弦定理．
【分析】先根据a2=b2+bc+c2，求得bc=﹣（b2+c2﹣a2）代入余弦定理中可求得cosA，进而求得A．
【解答】解：根据余弦定理可知cosA=
∵a2=b2+bc+c2，
∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）
∴cosA=﹣
∴A=120°
故答案为120°
11．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于 ．
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据B为三角形的内角，得到sinB不为0，在等式两边同时除以sinB，得到sinA的值，然后再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．
【解答】解：根据正弦定理=，
化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，在等式两边同时除以sinB得sinA=，
又A为三角形的内角，
则A=30°或150°．
故答案为：30°或150°
12．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为 ．
【考点】正弦定理．
【分析】此三角形必为钝角三角形，已知∠D=90°，∠DBC=60°，利用直角三角形的边角关系即可得出．
【解答】解：此三角形必为钝角三角形，
∵∠D=90°，∠DBC=60°，
∴∠BCD=30°，BD=，
∴BC=2．
故答案为：．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于 ．
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的性质可知，am﹣1+am+1=2am，代入am﹣1+am+1﹣=0中，即可求出am，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m﹣1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值
【解答】解：根据等差数列的性质可得：am﹣1+am+1=2am，
∵am﹣1+am+1﹣=0，
∴
∴am=0或am=2
若am=0，显然S2m﹣1=（2m﹣1）am不成立
∴am=2
∴=（2m﹣1）am=38，
解得m=10．
故答案为：10
14．在锐角△ABC中，若a=2，b=3，则边长c的取值范围是 ．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】要使的三角形是一个锐角三角形，只要使得可以作为最大边的边长的平方小于另外两边的平方和，解出不等式组，根据边长是一个正值求出结果．
【解答】解：∵a=2，b=3
要使△ABC是一个锐角三角形
∴要满足32+22＞c2，22+c2＞32，
∴5＜c2＜13
∴
故答案为：
二、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程的两个根，且2cos（A+B）=1．求：
（1）角C的度数；
（2）边AB的长．
【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】（1）根据三角形内角和可知cosC=cos[π﹣（A+B）]进而根据题设条件求得cosC，则C可求．
（2）根据韦达定理可知a+b和ab的值，进而利用余弦定理求得AB．
【解答】解：（1）
∴C=120°
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC2﹣2AC BCcosC=a2+b2﹣2abcos120°
=
∴
16．已知等差数列{an}的公差是正数，且a3 a7=﹣12，a4+a6=﹣4，求它的前20项的和S20．
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】由公差是正数的等差数列的性质及已知a3 a7=﹣12，a4+a6=﹣4求出a3=﹣6，a7=2，进一步求出首项和公差，代入前n项和公式得答案．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，∴a3+a7=a4+a6=﹣4，
又a3 a7=﹣12，联立解得：a3=﹣6，a7=2或a3=2，a7=﹣6．
∵等差数列{an}的公差是正数，∴a3=﹣6，a7=2．
则d=，a1=a3﹣2d=﹣6﹣2×2=﹣10．
∴S20=．
17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【考点】解三角形．
【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；
（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．
【解答】解：（1）由正弦定理得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
将上式代入已知，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴，
∵B为三角形的内角，∴；
（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：
b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，
∴ac=3，
∴．
18．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．
（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ）由等差数列的前三项可求该数列的首项a1、公差d，再由等差数列的前n
项和公式算出Sn，进一步得Sk=2550，解出k的值
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{bn}为等差数列，利用等差数列的前n项公式求值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得a1=a﹣1，a2=4，a3=2a，又a1+a3=2a2，
∴（a﹣1）+2a=8，即a=3．
∴a1=2，公差d=a2﹣a1=2．
由Sk=ka1+，得
2k+×2=2550
即k2+k﹣2550=0．解得k=50或k=﹣51（舍去）．
∴a=3，k=50．
（Ⅱ）由Sn=na1+，得
Sn=2n+×2=n2+n
∴bn==n+1
∴{bn}是等差数列．
则b3+b7+b11+…+b4n﹣1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n﹣1+1）
=（3+7+11+…+4n﹣1）+n
=
=+n
∴b3+b7+b11+…+b4n﹣1=2n2+2n
19．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．（要画图）
（1）A处与D处之间的距离；
（2）灯塔C与D处之间的距离．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）在三角形ABD中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入求出AD的长，即可确定出货船的航行速度；
（2）在三角形ACD中，利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算即可求出CD的长．
【解答】解：（1）在△ABD中，∠ADB=60°，∴∠B=45°，
由正弦定理，得，
即AD===24（海里），
（2）在△ACD中，∵AC=8，∠CAD=30°，
∴由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD ACcos∠CAD=242+（8）2﹣2×24×8cos30°=192，
解得：CD=8≈14（海里），
则灯塔C与D之间的距离约为14海里．
20．△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若=1．解答下列问题：
（1）求证：A=B；
（2）求c的值；
（3）若，求△ABC的面积．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根向量数量积的定义转化为三角形的边角公式，利用正弦定理进行证明即可．
（2）利用余弦定理进行求解，
（3）根据向量数量积的模长公式结合三角形的面积公式进行计算．
【解答】证明：（1）因，故bccosA=accosB，即bcosA=acosB．
由正弦定理，得sinBcosA=sinAcosB，故sin（A﹣B）=0，
因为﹣π＜A﹣B＜π，
故A﹣B=0，故
A=B．…
（2）因，故bccosA=1，由余弦定理得，
即b2+c2﹣a2=2；又由（1）得a=b，
故c2=2，故．…
（3）由得，
即c2+b2+2=6，
故c2+b2=4，因c2=2，故，
故△ABC是正三角形，
故面积．…
2016年10月11日
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卷对应的位置上）
1．由a1=1，d=3确定的等差数列{an}，当an=298时，n等于 ．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a= ．
3．已知若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为 ．
4．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为 ．
5．在△ABC中，，，a=1，则b= ．
6．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为 ．
7．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为 ．
8．在△ABC中，B=45°，c=2，b=，那么A= ．
9．已知数列{an}是等差数列，若a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+…+a13+a14=77，且ak=13，则k= ．
10．在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A= °．
11．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于 ．
12．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为 ．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于 ．
14．在锐角△ABC中，若a=2，b=3，则边长c的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程的两个根，且2cos（A+B）=1．求：
（1）角C的度数；
（2）边AB的长．
16．已知等差数列{an}的公差是正数，且a3 a7=﹣12，a4+a6=﹣4，求它的前20项的和S20．
17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
18．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．
（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
19．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．（要画图）
（1）A处与D处之间的距离；
（2）灯塔C与D处之间的距离．
20．△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若=1．解答下列问题：
（1）求证：A=B；
（2）求c的值；
（3）若，求△ABC的面积．
2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县桃州中学高一（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卷对应的位置上）
1．由a1=1，d=3确定的等差数列{an}，当an=298时，n等于 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列的通项公式，求出an=3n﹣2，由此能求出结果．
【解答】解：∵由a1=1，d=3确定等差数列{an}，
∴an=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，
∵an=298，∴3n﹣2=98，解得n=100．
故答案为：100．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a= ．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，进而求得A推断a=c，答案可得．
【解答】解：由正弦定理，
∴
故答案为
3．已知若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为 ．
【考点】正弦定理．
【分析】由面积正弦定理公式，得S=acsinB，再代入题中数据，即可得到所求三角形面积．
【解答】解：∵a=1，c=2，B=60°，
∴由面积正弦定理公式，得△ABC的面积为
S=acsinB=×1×2×sin60°=
故答案为：
4．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由a1=1，an+1﹣an=2，知数列{an}是等差数列，由此能求出a51．
【解答】解：∵a1=1，an+1﹣an=2，
∴a51=1+50×2=101．
故答案为101．
5．在△ABC中，，，a=1，则b= ．
【考点】正弦定理．
【分析】利用同角三角函数基本关系式、正弦定理即可得出．
【解答】解：∵，B∈（0，π），∴sinB==．
由正弦定理可得：
=解得b=．
故答案为：．
6．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．
【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，
可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得
16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC，
解方程可得cosC=，
故答案为：．
7．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由已知结合等差中项的概念列式求得a，则等差数列的前三项可求，由此求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．
【解答】解：由题意可得，2（a+1）=（a﹣1）+（2a+3），
解得：a=0．
∴等差数列{an}的前三项为﹣1，1，3．
则a1=﹣1，d=2．
∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．
故答案为：an=2n﹣3．
8．在△ABC中，B=45°，c=2，b=，那么A= ．
【考点】正弦定理．
【分析】△ABC中，由余弦定理求得a的值，再利用正弦定理求得sinA的值，可得A的值．
【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得b2==a2+8﹣4a cos45°，求得a=2+，或a=2﹣．
当a=2+，由正弦定理可得
=，求得sinA=，∴A=+=．
当a=2﹣，由正弦定理可得=，求得sinA=，∴A=﹣=，
故答案为：或．
9．已知数列{an}是等差数列，若a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+…+a13+a14=77，且ak=13，则k= ．
【考点】等差数列的性质．
【分析】先通过等差数列的等差中项根据a4+a7+a10=17，求出a7；根据a4+a5+a6+…+a14=77求出a9，进而求出公差d．再根据a9与ak的关系a9+（k﹣9） d=ak，求出k．
【解答】解：∵a4+a7+a10=3a7=17，
∴a7=
又∵a4+a5+a6+…+a14=77，即a4+a14+a5+a13…+a9=77
∴11a9=77，即a9=7
∴数列{an}的公差d==
∴a9+（k﹣9） d=13，
∴k=18
故答案为：18．
10．在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A= °．
【考点】余弦定理．
【分析】先根据a2=b2+bc+c2，求得bc=﹣（b2+c2﹣a2）代入余弦定理中可求得cosA，进而求得A．
【解答】解：根据余弦定理可知cosA=
∵a2=b2+bc+c2，
∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）
∴cosA=﹣
∴A=120°
故答案为120°
11．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于 ．
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据B为三角形的内角，得到sinB不为0，在等式两边同时除以sinB，得到sinA的值，然后再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．
【解答】解：根据正弦定理=，
化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，在等式两边同时除以sinB得sinA=，
又A为三角形的内角，
则A=30°或150°．
故答案为：30°或150°
12．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为 ．
【考点】正弦定理．
【分析】此三角形必为钝角三角形，已知∠D=90°，∠DBC=60°，利用直角三角形的边角关系即可得出．
【解答】解：此三角形必为钝角三角形，
∵∠D=90°，∠DBC=60°，
∴∠BCD=30°，BD=，
∴BC=2．
故答案为：．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于 ．
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的性质可知，am﹣1+am+1=2am，代入am﹣1+am+1﹣=0中，即可求出am，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m﹣1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值
【解答】解：根据等差数列的性质可得：am﹣1+am+1=2am，
∵am﹣1+am+1﹣=0，
∴
∴am=0或am=2
若am=0，显然S2m﹣1=（2m﹣1）am不成立
∴am=2
∴=（2m﹣1）am=38，
解得m=10．
故答案为：10
14．在锐角△ABC中，若a=2，b=3，则边长c的取值范围是 ．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】要使的三角形是一个锐角三角形，只要使得可以作为最大边的边长的平方小于另外两边的平方和，解出不等式组，根据边长是一个正值求出结果．
【解答】解：∵a=2，b=3
要使△ABC是一个锐角三角形
∴要满足32+22＞c2，22+c2＞32，
∴5＜c2＜13
∴
故答案为：
二、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程的两个根，且2cos（A+B）=1．求：
（1）角C的度数；
（2）边AB的长．
【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】（1）根据三角形内角和可知cosC=cos[π﹣（A+B）]进而根据题设条件求得cosC，则C可求．
（2）根据韦达定理可知a+b和ab的值，进而利用余弦定理求得AB．
【解答】解：（1）
∴C=120°
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC2﹣2AC BCcosC=a2+b2﹣2abcos120°
=
∴
16．已知等差数列{an}的公差是正数，且a3 a7=﹣12，a4+a6=﹣4，求它的前20项的和S20．
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】由公差是正数的等差数列的性质及已知a3 a7=﹣12，a4+a6=﹣4求出a3=﹣6，a7=2，进一步求出首项和公差，代入前n项和公式得答案．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，∴a3+a7=a4+a6=﹣4，
又a3 a7=﹣12，联立解得：a3=﹣6，a7=2或a3=2，a7=﹣6．
∵等差数列{an}的公差是正数，∴a3=﹣6，a7=2．
则d=，a1=a3﹣2d=﹣6﹣2×2=﹣10．
∴S20=．
17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【考点】解三角形．
【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；
（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．
【解答】解：（1）由正弦定理得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
将上式代入已知，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴，
∵B为三角形的内角，∴；
（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：
b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，
∴ac=3，
∴．
18．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．
（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ）由等差数列的前三项可求该数列的首项a1、公差d，再由等差数列的前n
项和公式算出Sn，进一步得Sk=2550，解出k的值
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{bn}为等差数列，利用等差数列的前n项公式求值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得a1=a﹣1，a2=4，a3=2a，又a1+a3=2a2，
∴（a﹣1）+2a=8，即a=3．
∴a1=2，公差d=a2﹣a1=2．
由Sk=ka1+，得
2k+×2=2550
即k2+k﹣2550=0．解得k=50或k=﹣51（舍去）．
∴a=3，k=50．
（Ⅱ）由Sn=na1+，得
Sn=2n+×2=n2+n
∴bn==n+1
∴{bn}是等差数列．
则b3+b7+b11+…+b4n﹣1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n﹣1+1）
=（3+7+11+…+4n﹣1）+n
=
=+n
∴b3+b7+b11+…+b4n﹣1=2n2+2n
19．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．（要画图）
（1）A处与D处之间的距离；
（2）灯塔C与D处之间的距离．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）在三角形ABD中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入求出AD的长，即可确定出货船的航行速度；
（2）在三角形ACD中，利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算即可求出CD的长．
【解答】解：（1）在△ABD中，∠ADB=60°，∴∠B=45°，
由正弦定理，得，
即AD===24（海里），
（2）在△ACD中，∵AC=8，∠CAD=30°，
∴由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD ACcos∠CAD=242+（8）2﹣2×24×8cos30°=192，
解得：CD=8≈14（海里），
则灯塔C与D之间的距离约为14海里．
20．△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若=1．解答下列问题：
（1）求证：A=B；
（2）求c的值；
（3）若，求△ABC的面积．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根向量数量积的定义转化为三角形的边角公式，利用正弦定理进行证明即可．
（2）利用余弦定理进行求解，
（3）根据向量数量积的模长公式结合三角形的面积公式进行计算．
【解答】证明：（1）因，故bccosA=accosB，即bcosA=acosB．
由正弦定理，得sinBcosA=sinAcosB，故sin（A﹣B）=0，
因为﹣π＜A﹣B＜π，
故A﹣B=0，故
A=B．…
（2）因，故bccosA=1，由余弦定理得，
即b2+c2﹣a2=2；又由（1）得a=b，
故c2=2，故．…
（3）由得，
即c2+b2+2=6，
故c2+b2=4，因c2=2，故，
故△ABC是正三角形，
故面积．…
2016年10月11日
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