江苏省泰州市泰兴一中2015-2016学年高二（下）第一次段测数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二（下）第一次段测数学试卷（文科）
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
1．命题“ x＜2，x2＞4”的否定是　　．
2．在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为　　．
3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为n的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为　　．
4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=　　．
5．函数的定义域为　　．
6．执行如图所示的程序框图，输出的x值为　　．
7．甲、乙、丙三人中任选两名代表，则甲被选中的概率是　　．
8．一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为　　．
9．“m＜”是“一元二次方程x2+x+m=0”有实数解的　　条件．
（选填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中的一个）
10．若函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为　　．
11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断：
（1）f（x）是周期函数；
（2）f（5）=0；
（3）f（x）在[1，2]上是减函数；
（4）f（x）在[﹣2，﹣1]上是减函数．
其中正确的判断是　　（填序号）
12．已知，若关于x的不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的最大值是　　．
13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是　　．
　
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数f（x）=，g（x）=，函数f（x）的定义域为A，
（1）求集合A；
（2）若函数g（x）的值域为集合B，求A∩B．
16．已知p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0（m＞0）．
（1）若p为真命题，求实数x的取值范围．
（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
17．高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；
（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；
（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．
18．已知函数f（x）=是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明；
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m﹣1恒成立，求实数m的取值范围．
19．已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=（a＞0）
（Ⅰ）若f（2t﹣3）＞f（4﹣t），求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．
20．已知函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R，
（1）当a=0时，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当时，求函数f（x）的单调区间；
（3）当时，求函数f（x）的最小值．
　
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二（下）第一次段测数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
1．命题“ x＜2，x2＞4”的否定是　　．
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题“ x＜2，x2＞4”的否定是： x＜2，x2≤4．
故答案为： x＜2，x2≤4．
　
2．在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为　　．
【考点】茎叶图．
【分析】根据方差的定义，首先求出数据的平均数，由公式求方差．
【解答】解：
=（84+84+86+84+87）=85
S2=
[3×（84﹣85）2+（86﹣85）2+（87﹣85）2]=
所以所剩数据的方差为．
　
3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为n的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为　　．
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义以及概率的关系即可得到结论．
【解答】解：∵个产品被抽到的概率为0.02，
∴应从乙车间抽产品数量为750×0.02=15，
故答案为：15
　
4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=　　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】当x＞0时，f（x）=x2+，可得f（1）．由于函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）=﹣f（1），即可得出．
【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=x2+，
∴f（1）=1+1=2．
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．
故答案为：﹣2．
　
5．函数的定义域为　　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，
得，
即1＜x≤2，
故函数的定义域为（1，2]，
故答案为：（1，2]
　
6．执行如图所示的程序框图，输出的x值为　　．
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的x值．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
a=2，x=4，y=24=16，y≤40+3=43，
x=5，y=25=32，y≤50+3=53，
x=6，y=26=64，y＞60+3=63，
终止循环，输出x的值为6．
故答案为：6．
　
7．甲、乙、丙三人中任选两名代表，则甲被选中的概率是　　．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】由题意列出选出两个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的概率．
【解答】解：由题意：甲、乙、丙三人中任选两名代表，共有三种情况：甲和乙、甲和丙、乙和丙，
因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为
故答案为：．
　
8．一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为　　．
【考点】几何概型．
【分析】以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当蚂蚁在此区域外的区域随机爬行，离顶点的距离大于1，其面积为﹣π，再用几何概型公式即得本题的概率．
【解答】解：如图由已知，高为3，两底分别为3和6的直角梯形面积为，
离四个顶点距离都大于1的区域是如图阴影部分，即以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当蚂蚁在除此区域外的区域随机爬行，离顶点的距离大于1的部分，其面积为=﹣π，
∴蚂蚁恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为P=．
故答案为：1﹣．
　
9．“m＜”是“一元二次方程x2+x+m=0”有实数解的　　条件．
（选填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中的一个）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】满足△=b2﹣4ac≥0，得到有关m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围，再根据充要条件的定义找出符合要求的选项即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac=1﹣4m≥0，
解得：m≤，
故“m＜” “m≤”，反之不能．
故“m＜”是“一元二次方程x2+x+m=0”有实数解的
充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
　
10．若函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为　　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：∵y=f（x）为定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数，
∴y=f（x）在R上的为减函数，
则不等式f（lnx）＜f（1）等价为lnx＞1，
即x＞e，
故不等式的解集为（e，+∞），
故答案为：（e，+∞）
　
11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断：
（1）f（x）是周期函数；
（2）f（5）=0；
（3）f（x）在[1，2]上是减函数；
（4）f（x）在[﹣2，﹣1]上是减函数．
其中正确的判断是　　（填序号）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期性，结婚函数奇偶性，周期性和单调性之间的关系分别进行判断即可．
【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），
∴f（x﹣2）=﹣f（x），
即f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），
即函数是周期为4的周期函数，故（1）正确，
当x=1时，f（1）=﹣f（1），解得f（1）=0，
则f（5）=f（1）=0，故（2）正确，
∵f（2﹣x）=﹣f（x），
∴函数f（x）关于（1，0）成中心对称，
∴函数f（x）在[1，2]上是减函数，故（3）正确，
则f（x）在[2，3]上是增函数，即f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数，故（4）错误，
故答案为：（1）（2）（3）
　
12．已知，若关于x的不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的最大值是　　．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】讨论分段函数各段的单调性，再由函数的连续性和单调性的定义，可得f（x）在R上递减，由条件可得x+a≤2a﹣x在[a，a+1]上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的最大值，解a的不等式，即可得到a的最大值．
【解答】解：当x≤0时，f（x）=（x﹣2）2﹣1在（﹣∞，0]递减，
当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2+4在（0，+∞）递减，
且f（0）=3，即x＞0和x≤0的两段图象连续，
则f（x）在R上递减．
关于x的不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，
即为x+a≤2a﹣x在[a，a+1]上恒成立，
即有a≥2x在[a，a+1]上恒成立，
即a≥2（a+1），
解得a≤﹣2．
则a的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
　
13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=1，f（2）=2，f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，根据函数的周期性可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f（1）+f（2），代入可得答案．
【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，
∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，
∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，
∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，
又∵f（x+6）=f（x）．
故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，
又∵2012=335×6+2，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2
012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，
故答案为：338
　
14．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是　　．
【考点】分段函数的应用．
【分析】作函数f（x）的图象，结合图象可得+≤x1＜；化简==1+；从而求取值范围．
【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，
f（）=+1=1+；
故令x+=1+得，x=+；
故+≤x1＜；
又∵==1+；
＜≤=﹣1；
＜1+≤；
故答案为：（，]．
　
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数f（x）=，g（x）=，函数f（x）的定义域为A，
（1）求集合A；
（2）若函数g（x）的值域为集合B，求A∩B．
【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．
【分析】（1）根据分式有意义的条件，分母不能为0，求出函数f（x）的定义域；
（2）由g（x）=，得函数g（x）的值域为[0，+∞），则A∩B的答案可求．
【解答】解：（1）由x2﹣1≠0，得x≠±1，
∴函数f（x）=的定义域为{x|x≠±1}．
∴A={x|x≠±1}；
（2）由g（x）=，得函数g（x）的值域为{y|y≥0}．
∴B={y|y≥0}．
则A∩B={x|x≠±1}∩{y|y≥0}=[0，1）∪（1，+∞）．
　
16．已知p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0（m＞0）．
（1）若p为真命题，求实数x的取值范围．
（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【考点】充要条件；一元二次不等式的解法．
【分析】（1）化简p：﹣2≤x≤8，从而得出p为真命题，实数x的取值范围．
（2）化简q：2﹣m≤x≤2+m．由P是Q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵P：﹣2≤x≤8，
∴p为真命题时，实数x的取值范围[﹣2，8]．
（2）Q：2﹣m≤x≤2+m
∵P是Q的充分不必要条件，
∴[﹣2，8]是[2﹣m，2+m]的真子集．
∴
∴m≥6．
∴实数m的取值范围为m≥6．
　
17．高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；
（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；
（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．
【考点】频率分布直方图．
【分析】（1）根据频率和为1，求出低于50分的频率，计算对应的频数即可；
（2）根据题意，计算成绩在80及以上的分数的频率即可；
（3）求出“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数是多少，再利用古典概型计算对应的概率．
【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为：
f1=1﹣（0.015×2+0.03+0.025+0.005）×10=0.1，…
所以低于60分的人数为
60×（0.1+0.15）=15（人）；…
（2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组），
频率和为
（0.025+0.005）×10=0.3，
所以，抽样学生成绩的优秀率是30%，…
于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%；…
（3）“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数分别是6，9，
所以从参加补考的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：
P=1﹣=．…
　
18．已知函数f（x）=是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明；
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m﹣1恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．
【分析】（1）由奇函数定义知，有f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，由此可求a值；
（2）设x1、x2∈R且x1＜x2，通过作差判断f（x2）与f（x1）的大小，利用函数单调性的定义可作出判断；
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m﹣1恒成立，等价于2m﹣1＜f（x）min，根据基本函数的值域可求出f（x）min．
【解答】（1）由f（x）=是奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x），
∴），
∴2a=﹣，
∴a=﹣．
（2）f（x）在R上是增函数．
f（x）=
设x1、x2∈R且x1＜x2，
f（x2）﹣f（x1）=﹣
=，
∵x1＜x2，∴＞，
∴＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在R上是增函数．
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m﹣1恒成立，
则只要2m﹣1＜f（x）min，
∵2x+1＞1∴0＜＜1，
∴﹣1＜﹣＜0，
﹣＜﹣＜，即﹣＜f（x）＜，
∴2m﹣1≤﹣，
∴m≤．即m的取值范围为：（﹣∞，]．
　
19．已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=（a＞0）
（Ⅰ）若f（2t﹣3）＞f（4﹣t），求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数单调性的性质；函数恒成立问题．
【分析】（1）由于函数在（1，+∞）上为增函数，
则f（2t﹣3）＞f（4﹣t） ，解出即可；
（2）由于f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立，就转化为求函数f（x）在（1，+∞）上的最小值大于等于的问题，可求a的取值范围；
（3）先将函数化简，再对a进行讨论，从而利于基本不等式研究函数的最值，进而得解．
【解答】解：（1）由于定义在（1，+∞）上的函数f（x）=（a＞0）满足f（2t﹣3）＞f（4﹣t），
则解得
（2）由f（x）≤4x得，
∴
∴
（3）由于f（x）在（1，+∞）单调递增，∴
∴
令x﹣1=u（u＞0）
由的图象可得
　
20．已知函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R，
（1）当a=0时，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当时，求函数f（x）的单调区间；
（3）当时，求函数f（x）的最小值．
【考点】分段函数的应用；函数的单调性及单调区间；函数奇偶性的判断．
【分析】（1）求出a=0时，f（x）的解析式，由偶函数的定义，即可判断；
（2）去绝对值，结合二次函数的对称轴和单调性，可得单调区间；
（3）去绝对值，讨论a的范围，求得单调区间，即可得到最小值．
【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x2+|x|+1，定义域为R，
f（﹣x）=（﹣x）2+|﹣x|+1=x2+|x|+1=f（x），
则f（x）为偶函数；
（2）当a=时，f（x）=，
当x时，f（x）=（x+）2+递增；
当x＜时，f（x）=（x﹣）2+，递减．
则f（x）的单调减区间为，增区间为；
（3）f（x）=，
（ⅰ）当时，f（x）在上递减，在上递增，；
（ⅱ）当时，f（x）在（﹣∞，a）上递减，在（a，+∞）上递增，．
　
2016年10月11日