广西百色市平果市铝城中学2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷
1．（2025高二上·平果期中）长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·平果期中）若直线与直线互相垂直，则实数a的值是（ ）
A． B．6 C． D．
3．（2025高二上·平果期中）以点(2，－1)为圆心，以为半径的圆的标准方程是（ ）
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝ B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝
4．（2025高二上·平果期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是对角线的交点.用基底表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·平果期中）△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（ ）
A．5x＋y﹣20＝0 B．3x＋2y﹣12＝0
C．3x＋2y﹣19＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0
6．（2025高二上·平果期中）数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·平果期中）已知点为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2025高二上·平果期中）在以下命题中：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底
⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2025高二上·平果期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
10．（2025高二上·平果期中）已知空间中三点，，，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量坐标是
C．是平面ABC的一个法向量
D．在上的投影向量的模为
11．（2025高二上·平果期中）已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值集合为
B．当时，焦点坐标为
C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则
D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆
12．（2025高二上·平果期中）已知，则直线必过定点 ．
13．（2025高二上·平果期中）已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5，0)到l的距离的最大值为 ．
14．（2025高二上·平果期中）点在椭圆上，点到直线的最大距离和最小距离为 ．
15．（2025高二上·平果期中）已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16．（2025高二上·平果期中）在中，，，且边的中点M在轴上，BC边的中点N在轴上.
（1）求AB边上的高CH所在直线方程；
（2）设过点C的直线为，且点A与点B到直线距离相等，求的方程.
17．（2025高二上·平果期中）已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
18．（2025高二上·平果期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且.
（1）设，，，试用、、表示；
（2）已知为四棱柱的中心（体对角线中点），求的长.
19．（2025高二上·平果期中）已知椭圆，其左、右顶点分别为，上、下顶点分别为.圆是以线段为直径的圆.
（1）求圆的方程；
（2）若点是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线分别交轴于点，求证：为定值；
（3）若点是椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
、、、，，，
则，即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
2．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：若直线与直线互相垂直，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据两直线垂直的充要条件列式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解： 以点为圆心，以为半径的圆的标准方程为．
故答案为：C．
【分析】直接写圆的标准方程即可.
4．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据空间向量基本定理直接求解判断即可.
5．【答案】B
【知识点】直线的斜率；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程
【解析】【解答】由题意， ，所以BC上的高所在直线的斜率为 ，其方程为： .
故答案为：B.
【分析】首先由直线的斜率公式代入数值计算出结果，再由点斜式求出直线的方程即可。
6．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：点，易知的重心为，
直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，方程为，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，方程为，
联立，解得，即的垂心为，
则直线GH斜率为，直线GH方程为，
故的欧拉线方程为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据重心坐标公式先求的重心坐标，咋利用斜率公式以及点斜式求AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线求得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
7．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点为第一象限内的点，，
抛物线为，由抛物线的定义可得，解得，则，即点，
因为双曲线的渐近线方程为，所以，解得，
则所求双曲线的离心率为.
故答案为：A.
【分析】不妨设点为第一象限内的点，利用抛物线的定义求得点的坐标，再由点P在双曲线上，求得，最后根据双曲线的离心率公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：①、根据空间基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面，故①正确．
②、由空间基底的定义，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，若，不共线，则，共面，一定有向量与，不共面，故②正确；
③、对空间任意一点和不共线的三点，，，当时，
若，，，四点共面，则，，
即，，方程组无解，则，，，四点不共面，故③错误；
④、若，是两个不共线的向量，且，则向量与，构成共面向量，不能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤、因为，所以向量共面，
不能够成空间的一个基底，故⑤错误．
故答案为：C.
【分析】根据空间基底，共面向量，共线向量的定义逐项分析判断即可．
9．【答案】A,C
【知识点】直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】解：易知，，，，，
AB、，则向量为直线的一个方向向量，故正确，不正确；
C、，，
设平面的法向量为， 则，即，
令，可得，故正确；
D、，，
设平面的法向量为，则，即，
令，可得，故不正确.
故答案为：.
【分析】易知各点坐标，先求，根据向量共线即可判断AB；设平面和平面的法向量，利用空间向量法求法向量即可判断CD.
10．【答案】B,C
【知识点】空间中两点间的距离公式；平面的法向量；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解： 空间中三点，，，
A、，则，故A错误；
B、方向上的单位向量坐标是，故B正确；
C、，因为，
且与不平行，所以是平面ABC的一个法向量，故C正确；
D、在上的投影向量的模为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示求解即可判断A；根据求单位向量即可额判断B；通过计算，结合与不平行，即可判断C；通过计算即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、曲线表示椭圆，
则，解得 ，故A错误；
B、当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的椭圆，且，则焦点坐标为，故B正确；
C、当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的椭圆，且，，则椭圆所包围的区域面积为，且，故C正确；
D、当时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，则，，，则当时，离心率表示单调递减的函数，则随着越大，椭圆的离心率越接近0，椭圆越圆，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据曲线表示椭圆，列不等式组求解即可判断A；将代入，求焦点坐标即可判断B；将代入，求椭圆所包围的区域面积 的最大值即可判断C；当时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，求离心率，判断离心率所表示函数的单调性即可判断D.
12．【答案】
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：由，可得，
因为直线，所以直线必过.
故答案为：.
【分析】 由，可得， 结合直线方程求解即可.
13．【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设两直线的交点为，
联立，解得，即直线l经过点，
则点A(5，0)到直线的距离的最大值为的长，且.
故答案为：.
【分析】设两直线的交点为，联立直线方程求得交点坐标，再求出点A(5，0)到l的距离的最大值即.
14．【答案】或
【知识点】椭圆的参数方程
【解析】【解答】解： 椭圆，设点的坐标为，
点到直线距离，
当时，取得最大值为，
当时，最小值为．
故答案为：，．
【分析】由椭圆方程，设点 ，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式、余弦函数的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：向量，，
因为，所以，解得，即，
则，；
（2）解：易知，
，
则向量与夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示列式求得的值，再求出的坐标，利用空间向量的模长公式求的值即可；
（2）由（1）求得的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算，结合空间向量夹角公式求解即可.
（1）因为向量，，且，则，解得，
所以，，则，
故.
（2），
所以，.
因此，向量与夹角的余弦值为.
16．【答案】（1）解：设点，则， 解得，即，
由 可得，
直线的方程为，即；
（2）解：由（1）可知：点，
当斜率不存在时，直线，不满足题意；
当斜率存在时，设直线，即，
由题意可得： ，
则或，解得或 ，
直线l的方程为：或 ，
即或.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)设点， AB边上的高线与直线AB垂直，得到斜率，高线过C点，利用点斜式求直线方程即可；
(2)由（1）可知：点，分直线的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，结合点A与点B到直线距离相等列式求解即可.
（1）设，则， 解得，∴，
由 得，
，即
（2）当斜率不存在时，，不满足题意；
当斜率存在时，设，即，
依题意得： ，
有或，
解得或 ，
直线l的方程为：或 ，
即：或.
17．【答案】（1）解：由题意得，解得，
则抛物线的方程为，准线方程为；
（2）解：设，，联立，消元整理可得，
由韦达定理可得：，，
，
则
，
即的值为.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列方程组求解即可；
（2）设，，联立直线与抛物线方程，消元整理，利用韦达定理，斜率公式写出，代入化简即可.
（1）由题意得，解得.
从而得到抛物线的方程为，
准线方程为；
（2）设，，
由
得，
∴，，
，
∴
所以的值为.
18．【答案】解：（1）由，，，由向量加法的平行四边形法则可得，因此，；
（2）为四棱柱的中心，即为线段的中点.
由已知条件得，，，，.
由（1）得，则
.
所以的长为，所以的长为.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）用向量的加减法法则，将转化为与、、相关的向量组合，通过已知的向量表示进行推导.
（2）确定是的中点，然后计算的模长，再根据中点关系求出的长度，计算过程中需要用到向量的数量积公式.
19．【答案】（1）解： 椭圆 ，易知，则圆的方程是 ；
（2）证明：易知，设，则，且，
可得直线的方程是，所以.同理得，
因为，所以；
（3）解：显然直线的斜率存在，设其方程为，
代入椭圆Г的方程，得，
设，则，得，
因为圆心到直线的距离，所以，
假设存在点，使得，则，于是，
化简得，此方程在实数范围内无解，
所以不存在点，使得.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由椭圆方程可得点的坐标， 再写出以线段为直径的圆的方程即可；
（2）易知，设，则，根据直线的方程，求得的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求解即可；
（3）直线与椭圆和圆相交求得弦长，根据，建立等式关系，求解判断即可.
（1）由题意得，所以圆的方程是
（2）由题意，得，设，则，且，
可得直线的方程是，所以.同理得.
因为，所以
（3）显然直线的斜率存在，设其方程为，
代入椭圆Г的方程，得.
设，则，得.
因为圆心到直线的距离，所以.
假设存在点，使得，则，于是，
化简得，此方程在实数范围内无解，
所以不存在点，使得.
1 / 1广西百色市平果市铝城中学2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷
1．（2025高二上·平果期中）长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
、、、，，，
则，即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
2．（2025高二上·平果期中）若直线与直线互相垂直，则实数a的值是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：若直线与直线互相垂直，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据两直线垂直的充要条件列式求解即可.
3．（2025高二上·平果期中）以点(2，－1)为圆心，以为半径的圆的标准方程是（ ）
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝ B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解： 以点为圆心，以为半径的圆的标准方程为．
故答案为：C．
【分析】直接写圆的标准方程即可.
4．（2025高二上·平果期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是对角线的交点.用基底表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据空间向量基本定理直接求解判断即可.
5．（2025高二上·平果期中）△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（ ）
A．5x＋y﹣20＝0 B．3x＋2y﹣12＝0
C．3x＋2y﹣19＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0
【答案】B
【知识点】直线的斜率；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程
【解析】【解答】由题意， ，所以BC上的高所在直线的斜率为 ，其方程为： .
故答案为：B.
【分析】首先由直线的斜率公式代入数值计算出结果，再由点斜式求出直线的方程即可。
6．（2025高二上·平果期中）数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：点，易知的重心为，
直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，方程为，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，方程为，
联立，解得，即的垂心为，
则直线GH斜率为，直线GH方程为，
故的欧拉线方程为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据重心坐标公式先求的重心坐标，咋利用斜率公式以及点斜式求AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线求得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
7．（2025高二上·平果期中）已知点为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】抛物线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点为第一象限内的点，，
抛物线为，由抛物线的定义可得，解得，则，即点，
因为双曲线的渐近线方程为，所以，解得，
则所求双曲线的离心率为.
故答案为：A.
【分析】不妨设点为第一象限内的点，利用抛物线的定义求得点的坐标，再由点P在双曲线上，求得，最后根据双曲线的离心率公式求解即可.
8．（2025高二上·平果期中）在以下命题中：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底
⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：①、根据空间基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面，故①正确．
②、由空间基底的定义，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，若，不共线，则，共面，一定有向量与，不共面，故②正确；
③、对空间任意一点和不共线的三点，，，当时，
若，，，四点共面，则，，
即，，方程组无解，则，，，四点不共面，故③错误；
④、若，是两个不共线的向量，且，则向量与，构成共面向量，不能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤、因为，所以向量共面，
不能够成空间的一个基底，故⑤错误．
故答案为：C.
【分析】根据空间基底，共面向量，共线向量的定义逐项分析判断即可．
9．（2025高二上·平果期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
【答案】A,C
【知识点】直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】解：易知，，，，，
AB、，则向量为直线的一个方向向量，故正确，不正确；
C、，，
设平面的法向量为， 则，即，
令，可得，故正确；
D、，，
设平面的法向量为，则，即，
令，可得，故不正确.
故答案为：.
【分析】易知各点坐标，先求，根据向量共线即可判断AB；设平面和平面的法向量，利用空间向量法求法向量即可判断CD.
10．（2025高二上·平果期中）已知空间中三点，，，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量坐标是
C．是平面ABC的一个法向量
D．在上的投影向量的模为
【答案】B,C
【知识点】空间中两点间的距离公式；平面的法向量；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解： 空间中三点，，，
A、，则，故A错误；
B、方向上的单位向量坐标是，故B正确；
C、，因为，
且与不平行，所以是平面ABC的一个法向量，故C正确；
D、在上的投影向量的模为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示求解即可判断A；根据求单位向量即可额判断B；通过计算，结合与不平行，即可判断C；通过计算即可判断D.
11．（2025高二上·平果期中）已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值集合为
B．当时，焦点坐标为
C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则
D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、曲线表示椭圆，
则，解得 ，故A错误；
B、当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的椭圆，且，则焦点坐标为，故B正确；
C、当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的椭圆，且，，则椭圆所包围的区域面积为，且，故C正确；
D、当时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，则，，，则当时，离心率表示单调递减的函数，则随着越大，椭圆的离心率越接近0，椭圆越圆，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据曲线表示椭圆，列不等式组求解即可判断A；将代入，求焦点坐标即可判断B；将代入，求椭圆所包围的区域面积 的最大值即可判断C；当时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，求离心率，判断离心率所表示函数的单调性即可判断D.
12．（2025高二上·平果期中）已知，则直线必过定点 ．
【答案】
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：由，可得，
因为直线，所以直线必过.
故答案为：.
【分析】 由，可得， 结合直线方程求解即可.
13．（2025高二上·平果期中）已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5，0)到l的距离的最大值为 ．
【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设两直线的交点为，
联立，解得，即直线l经过点，
则点A(5，0)到直线的距离的最大值为的长，且.
故答案为：.
【分析】设两直线的交点为，联立直线方程求得交点坐标，再求出点A(5，0)到l的距离的最大值即.
14．（2025高二上·平果期中）点在椭圆上，点到直线的最大距离和最小距离为 ．
【答案】或
【知识点】椭圆的参数方程
【解析】【解答】解： 椭圆，设点的坐标为，
点到直线距离，
当时，取得最大值为，
当时，最小值为．
故答案为：，．
【分析】由椭圆方程，设点 ，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式、余弦函数的性质求解即可.
15．（2025高二上·平果期中）已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）解：向量，，
因为，所以，解得，即，
则，；
（2）解：易知，
，
则向量与夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示列式求得的值，再求出的坐标，利用空间向量的模长公式求的值即可；
（2）由（1）求得的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算，结合空间向量夹角公式求解即可.
（1）因为向量，，且，则，解得，
所以，，则，
故.
（2），
所以，.
因此，向量与夹角的余弦值为.
16．（2025高二上·平果期中）在中，，，且边的中点M在轴上，BC边的中点N在轴上.
（1）求AB边上的高CH所在直线方程；
（2）设过点C的直线为，且点A与点B到直线距离相等，求的方程.
【答案】（1）解：设点，则， 解得，即，
由 可得，
直线的方程为，即；
（2）解：由（1）可知：点，
当斜率不存在时，直线，不满足题意；
当斜率存在时，设直线，即，
由题意可得： ，
则或，解得或 ，
直线l的方程为：或 ，
即或.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】(1)设点， AB边上的高线与直线AB垂直，得到斜率，高线过C点，利用点斜式求直线方程即可；
(2)由（1）可知：点，分直线的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，结合点A与点B到直线距离相等列式求解即可.
（1）设，则， 解得，∴，
由 得，
，即
（2）当斜率不存在时，，不满足题意；
当斜率存在时，设，即，
依题意得： ，
有或，
解得或 ，
直线l的方程为：或 ，
即：或.
17．（2025高二上·平果期中）已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
【答案】（1）解：由题意得，解得，
则抛物线的方程为，准线方程为；
（2）解：设，，联立，消元整理可得，
由韦达定理可得：，，
，
则
，
即的值为.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列方程组求解即可；
（2）设，，联立直线与抛物线方程，消元整理，利用韦达定理，斜率公式写出，代入化简即可.
（1）由题意得，解得.
从而得到抛物线的方程为，
准线方程为；
（2）设，，
由
得，
∴，，
，
∴
所以的值为.
18．（2025高二上·平果期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且.
（1）设，，，试用、、表示；
（2）已知为四棱柱的中心（体对角线中点），求的长.
【答案】解：（1）由，，，由向量加法的平行四边形法则可得，因此，；
（2）为四棱柱的中心，即为线段的中点.
由已知条件得，，，，.
由（1）得，则
.
所以的长为，所以的长为.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）用向量的加减法法则，将转化为与、、相关的向量组合，通过已知的向量表示进行推导.
（2）确定是的中点，然后计算的模长，再根据中点关系求出的长度，计算过程中需要用到向量的数量积公式.
19．（2025高二上·平果期中）已知椭圆，其左、右顶点分别为，上、下顶点分别为.圆是以线段为直径的圆.
（1）求圆的方程；
（2）若点是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线分别交轴于点，求证：为定值；
（3）若点是椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： 椭圆 ，易知，则圆的方程是 ；
（2）证明：易知，设，则，且，
可得直线的方程是，所以.同理得，
因为，所以；
（3）解：显然直线的斜率存在，设其方程为，
代入椭圆Г的方程，得，
设，则，得，
因为圆心到直线的距离，所以，
假设存在点，使得，则，于是，
化简得，此方程在实数范围内无解，
所以不存在点，使得.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由椭圆方程可得点的坐标， 再写出以线段为直径的圆的方程即可；
（2）易知，设，则，根据直线的方程，求得的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求解即可；
（3）直线与椭圆和圆相交求得弦长，根据，建立等式关系，求解判断即可.
（1）由题意得，所以圆的方程是
（2）由题意，得，设，则，且，
可得直线的方程是，所以.同理得.
因为，所以
（3）显然直线的斜率存在，设其方程为，
代入椭圆Г的方程，得.
设，则，得.
因为圆心到直线的距离，所以.
假设存在点，使得，则，于是，
化简得，此方程在实数范围内无解，
所以不存在点，使得.
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