广东省中山市实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷
1．（2025高二上·中山月考）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（ ）
A．，5 B．5，5 C．，6 D．5，6
2．（2025高二上·中山月考）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（ ）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
3．（2025高二上·中山月考）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2025高二上·中山月考）在空间直角坐标系中， 已知，， 下列结论错误的是（ ）
A．
B．点关于平面对称的点的坐标为
C．若， 则
D．若，，则
5．（2025高二上·中山月考）为了解某高中甲 乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（ ）
A．2.6 B．3 C．3.4 D．4.1
6．（2025高二上·中山月考）已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．若A与B互斥，则
B．若A与B相互独立，则
C．若 ，则事件与B相互独立
D．若，则
7．（2025高二上·中山月考）甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（ ）
A．甲胜乙 B．乙胜丙 C．乙平丁 D．丙平丁
8．（2025高二上·中山月考）正方体的棱长为2， M为的中点， 下列命题中错误的是（ ）
A．与成60°角
B．若 平面交CD于点H，则
C．若P点在正方形边界及内部运动，且MP⊥，则P点的轨迹长等于
D．若点E，F分别在上，且直线EF与，所成的角分别是、β，则
9．（2025高二上·中山月考）下列命题正确的是（ ）
A．数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6
B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3
C．若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为2
D．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数
10．（2025高二上·中山月考）已知向量，则（ ）
A．若，则 ∥
B．若，则 ⊥
C．若，则
D．若，则向量在向量上的投影向量
11．（2025高二上·中山月考）在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1 次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，1，0，则译码为1.）（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当0< α <0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.
12．（2025高二上·中山月考）已知某地区中小学生的人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为 ．
13．（2025高二上·中山月考）在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 .
14．（2025高二上·中山月考）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则
15．（2025高二上·中山月考）某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中的值；
（2）请估计样本数据的众数和平均数；
（3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．
16．（2025高二上·中山月考）已知空间中三点.
（1）若且求向量：
（2）若点在平面内， 求m的值
17．（2025高二上·中山月考）嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题：
（1）若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率；
（2）若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项，且A必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率．
18．（2025高二上·中山月考）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.
（1）用，，表示；
（2）若为棱的中点，求；
（3）是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
19．（2025高二上·中山月考）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.
（1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
（2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为中位数 ，众数为4，
由题意，知，
解得，
则该组数据的平均数为，
则该组数据的方差是，
因为，
所以该组数据的60%分位数是6.
故答案为：C.
【分析】先利用中位数公式和众数的定义，从而求出x的值，再根据平均数公式和方差公式以及分位数的求解方法，从而得出该组数据的方差和60%分位数.
2．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
又因为，
所以事件A与事件B不是互斥事件，
因为，
所以事件A与事件B是独立事件.
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件的定义和独立事件的定义以及并事件求概率公式、交事件求概率公式，从而找出正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故答案为：C.
【分析】核心是利用中点的向量性质，将分解为与的平均向量，再进一步将、分解为已知基向量（、、）的线性组合，最后求和得到结果。
4．【答案】B
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，由题意，得，故A正确；
对于B，关于平面对称的点的横坐标、纵坐标相同，竖坐标相反，
因此点关于平面对称的点的坐标为，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若且，则，解得，故D正确.
故答案为：B．
【分析】根据点的坐标可得向量的坐标，则可判断选项A；根据图形对称的性质可判断选项B；利用向量法可判断两直线的位置关系，则可判断选项C；根据向量共线定理，则可判断选项D，从而找出结论错误的选项.
5．【答案】B
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为甲班调查了40人，
所以甲班所占比重为，
又因为乙班调查了60人，
所以乙班所占比重为，
则甲班平均数和方差分别为和乙班平均数和方差分别为和
设调查的总样本的平均数为和方差为
则，
所以
故答案为：B.
【分析】根据题意，由分层抽样方法可得甲班和乙班所占的比重，从而由总体平均数公式、方差的计算公式，从而计算估计出该校两个清北班一周内请假人数的总体方差.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，若与互斥，则，故A正确；
对于B，若与相互独立，则，
所以，因为，故B正确；
对于C，若，且，
所以，事件与相互独立，故C正确；
对于D，若，则，所以，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据互斥事件概率加法公式计算，则可判断选项A；利用独立事件的概率公式和并事件的概率公式，则可判断选项B；利用独立事件的概念可判断选项C；由交事件的定义可判断选项D，从而找出说法不正确的选项.
7．【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分，
由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，即，
丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局，
丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场是平局，
而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，
故答案为：C.
【分析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.
8．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；与直线有关的动点轨迹方程；空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：对于A，如图建立空间直角坐标系，
则.
所以，
则，因，
所以，则与成60°角，故A正确；
对于B，由，可得，则，
设，则，
由题意，得四点共面，
则存在，使得，
所以，解得，
则，，所以，故B错误；
对于C，设，则，
由，可得，
则点P的轨迹长为线段的长度，为，故C正确；
对于D，因为点E，F分别在上，且，
则，，
所以，则，
因为，
所以，则
所以，则，
所以，故D正确.
故答案为：B.
【分析】由图建立空间直角坐标系，利用数量积求向量夹角公式得出，则可判断选项A；利用空间向量的共面定理求出点，从而得出的值，则判断出选项B；经推理计算得到点的轨迹长为线段的长度，从而计算可判断选项C；利用数量积求空间向量夹角公式，从而分别计算、β的值，则可判断选项D，从而找出假命题的选项.
9．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对A：数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差为：，众数为：2，所以极差与众数之和为，故A正确；
对B：由，所以数据11，13，5，6，8，1，3，9按从小到大排列为，
下四分位数是，故B错误；
对C：若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为，故C正确；
对D：右拖尾特征 ：分布右侧有少数极端大值，左侧数据较集中.平均数 vs 中位数 ：平均数受极端值影响显著，向右偏移.中位数仅取决于数据中间位置，对极端值不敏感.结论 ：右拖尾时，平均数通常大于中位数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据极差、众数、四分位数、标准差的性质以及频率分布直方图中平均数和中位数的关系逐一分析选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量 ，
若，则，，
所以∥，故选项A正确；
若，则，，
所以⊥，故选项B正确；
若，则，
所以，故选项C错误；
若，则，
所以，向量在向量上的投影向量为 ，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先代入的值，从而得到向量的坐标，再利用向量的坐标运算结合空间向量共线的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示，从而判断空间向量的平行和垂直，则判断出选项A和选项B；利用数量积求向量夹角公式和投影向量公式，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，依次发送1，0，1，
则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积事件，
所以它们相互独立，则所求概率为，故A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，
则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
则它们相互独立，所以所求概率为，故B错误；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是收到两个1和一个0，或者收到三个1，
则收到两个1和一个0的概率是，收到三个1的概率为，
所以它们互斥，则所求的概率为，故C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
因为单次传输发送0，所以译码为0的概率，
又因为，所以，
则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用相互独立事件求概率公式，从而计算判断出选项A和选项B；利用相互独立事件概率公式和互斥事件的概率公式，则判断出选项C；先求出两种传输方案的概率，再作差比较判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：因为分层抽样抽取的比例为，高中生抽取的学生数为40，
则抽取的高中生近视人数为40×50%=20.
故答案为：．
【分析】利用已知条件和分层抽样的方法，从而得出抽取的高中生中近视的人数.
13．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是.
青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径：
第一条，按，此时停在叶上的概率；
第二条，按，此时停在A叶上的概率.
所以跳三次之后停在叶上的概率.
故答案为：
【分析】分别求出P(顺时针)和P(逆时针跳)，跳3次回到A满足3次顺时针或者3次逆时针，代入概率公式即可得到结论．
14．【答案】
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：如图，若，，，四点共面，
则即为与平面的交点，
连接，交于点，连接，
则即为与的交点，如图所示：
在截面中，为的中点，为的三等分点，取的中点，连接，
则，所以，
则，所以．
故答案为：.
【分析】由，，，四点共面，得出点为与平面的交点，连接，交于点，连接，则即为与的交点，取的中点，连接，再结合三角形的中位线定理和相似三角形的性质，从而可得m的值．
15．【答案】（1）解：由直方图知，所以；
（2）解： 平均值为：分，众数为：分；
（3）解：成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励．
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）频率和等于小长方形面积和等于1，列方程求参数值；
（2）直方图数字特征，代入样本数据的众数和平均数公式即可；
（3）先求出对应分位数0.7，判断甲的分数所在的位置70-80间，即可得结论.
（1）由直方图知，所以；
（2）平均值为：分，众数为：分；
（3）成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励．
16．【答案】（1）解：由题意，易知，
因为，
所以，
又因为，所以，
则，
所以，向量或.
（2）解：因为点在平面上，
所以，存在实数，使得，
又因为，，
则
所以，
解得，
则.
【知识点】共面向量定理；空间向量平行的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量共线的充要条件结合向量的模长的坐标表示，从而计算得出向量的坐标.
（2）利用空间向量共面定理建立方程组，从而计算得出实数m的值.
（1）易知，因为，
所以，
因为，所以，得，
所以向量或；
（2）因为点在平面上，故存在实数使得，
又，，
所以，解得.
故.
17．【答案】（1）解：设总选项个数为，记事件“小明得6分”，选项个数为，
假设正确选项为AB，则，
列举法：单选项有A，B，C，D共计4个，
双选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共计6个，
三选项有，，，共计4个，
个（其它方法也可以，得分相同），
．
（2）解：设总选项个数为，记事件“小明得分大于等于4分”选项个数为，
假设为答案小明已经判定正确（正确答案中有选项，且小明项必选）的情况下，
列举法：单选项有共计1个，且仅得2分，
双选项有AB，AC，AD共计3个，其中2个得4分，
三选项有，，共计3个，其中1得6分，
，，
．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据题意，利用列举法结合古典概型概率公式求解即可；
（2）根据题意，利用列举法结合古典概型概率公式求解即可.
18．【答案】（1）解：由题意，得.
（2）解：若P为棱的中点，
则，，
所以
.
（3）解：设，
则，
由（1）知
所以，
则，
化简得，
解得，
所以，这样的点存在，且为的中点.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理，从而用，，表示.
（2）根据向量的线性运算得出，再结合向量的模长计算公式和数量积计算公式，从而计算得出的值.
（3）设，根据向量的线性运算计算得出，再根据题意建立等式，从而计算得出满足题意的点存在，且为的中点.
（1）；
（2）若P为棱的中点，则，，
所以
；
（3）设，
则，由（1）知
所以，
即，
化简得，解得，
所以这样的点存在，且为的中点.
19．【答案】（1）解： 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
所以获得冠军的概率为.
结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
所以获得冠军的概率为.
（2）解：在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为.
在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组 败者组两种情况：
当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，
此时获得冠军的概率为；
当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，
此时获得冠军的概率为.
综上，获得冠军的概率为.
令，
则，
由得.
若A为强队，则，此时.
即，所以.
所以双败赛制对强者更有利.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）代入独立事件的概率公式 P (A∩B) = P (A)×P (B) 进行求解即可；
（2）先代入独立事件的概率公式 P (A∩B) = P (A)×P (B) 分别求出两种赛制下获得冠军的概率，再利用作差法比较大小即可.
（1）结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
所以获得冠军的概率为.
结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
所以获得冠军的概率为.
（2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为.
在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组 败者组两种情况：
当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，
此时获得冠军的概率为；
当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，
此时获得冠军的概率为.
综上，获得冠军的概率为.
令，
则，
由得.
若A为强队，则，此时.
即，所以.
所以双败赛制对强者更有利.
1 / 1广东省中山市实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷
1．（2025高二上·中山月考）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（ ）
A．，5 B．5，5 C．，6 D．5，6
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为中位数 ，众数为4，
由题意，知，
解得，
则该组数据的平均数为，
则该组数据的方差是，
因为，
所以该组数据的60%分位数是6.
故答案为：C.
【分析】先利用中位数公式和众数的定义，从而求出x的值，再根据平均数公式和方差公式以及分位数的求解方法，从而得出该组数据的方差和60%分位数.
2．（2025高二上·中山月考）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（ ）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
又因为，
所以事件A与事件B不是互斥事件，
因为，
所以事件A与事件B是独立事件.
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件的定义和独立事件的定义以及并事件求概率公式、交事件求概率公式，从而找出正确的选项.
3．（2025高二上·中山月考）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故答案为：C.
【分析】核心是利用中点的向量性质，将分解为与的平均向量，再进一步将、分解为已知基向量（、、）的线性组合，最后求和得到结果。
4．（2025高二上·中山月考）在空间直角坐标系中， 已知，， 下列结论错误的是（ ）
A．
B．点关于平面对称的点的坐标为
C．若， 则
D．若，，则
【答案】B
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，由题意，得，故A正确；
对于B，关于平面对称的点的横坐标、纵坐标相同，竖坐标相反，
因此点关于平面对称的点的坐标为，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若且，则，解得，故D正确.
故答案为：B．
【分析】根据点的坐标可得向量的坐标，则可判断选项A；根据图形对称的性质可判断选项B；利用向量法可判断两直线的位置关系，则可判断选项C；根据向量共线定理，则可判断选项D，从而找出结论错误的选项.
5．（2025高二上·中山月考）为了解某高中甲 乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（ ）
A．2.6 B．3 C．3.4 D．4.1
【答案】B
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为甲班调查了40人，
所以甲班所占比重为，
又因为乙班调查了60人，
所以乙班所占比重为，
则甲班平均数和方差分别为和乙班平均数和方差分别为和
设调查的总样本的平均数为和方差为
则，
所以
故答案为：B.
【分析】根据题意，由分层抽样方法可得甲班和乙班所占的比重，从而由总体平均数公式、方差的计算公式，从而计算估计出该校两个清北班一周内请假人数的总体方差.
6．（2025高二上·中山月考）已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．若A与B互斥，则
B．若A与B相互独立，则
C．若 ，则事件与B相互独立
D．若，则
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，若与互斥，则，故A正确；
对于B，若与相互独立，则，
所以，因为，故B正确；
对于C，若，且，
所以，事件与相互独立，故C正确；
对于D，若，则，所以，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据互斥事件概率加法公式计算，则可判断选项A；利用独立事件的概率公式和并事件的概率公式，则可判断选项B；利用独立事件的概念可判断选项C；由交事件的定义可判断选项D，从而找出说法不正确的选项.
7．（2025高二上·中山月考）甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（ ）
A．甲胜乙 B．乙胜丙 C．乙平丁 D．丙平丁
【答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分，
由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，即，
丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局，
丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场是平局，
而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，
故答案为：C.
【分析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.
8．（2025高二上·中山月考）正方体的棱长为2， M为的中点， 下列命题中错误的是（ ）
A．与成60°角
B．若 平面交CD于点H，则
C．若P点在正方形边界及内部运动，且MP⊥，则P点的轨迹长等于
D．若点E，F分别在上，且直线EF与，所成的角分别是、β，则
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；与直线有关的动点轨迹方程；空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：对于A，如图建立空间直角坐标系，
则.
所以，
则，因，
所以，则与成60°角，故A正确；
对于B，由，可得，则，
设，则，
由题意，得四点共面，
则存在，使得，
所以，解得，
则，，所以，故B错误；
对于C，设，则，
由，可得，
则点P的轨迹长为线段的长度，为，故C正确；
对于D，因为点E，F分别在上，且，
则，，
所以，则，
因为，
所以，则
所以，则，
所以，故D正确.
故答案为：B.
【分析】由图建立空间直角坐标系，利用数量积求向量夹角公式得出，则可判断选项A；利用空间向量的共面定理求出点，从而得出的值，则判断出选项B；经推理计算得到点的轨迹长为线段的长度，从而计算可判断选项C；利用数量积求空间向量夹角公式，从而分别计算、β的值，则可判断选项D，从而找出假命题的选项.
9．（2025高二上·中山月考）下列命题正确的是（ ）
A．数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6
B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3
C．若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为2
D．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对A：数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差为：，众数为：2，所以极差与众数之和为，故A正确；
对B：由，所以数据11，13，5，6，8，1，3，9按从小到大排列为，
下四分位数是，故B错误；
对C：若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为，故C正确；
对D：右拖尾特征 ：分布右侧有少数极端大值，左侧数据较集中.平均数 vs 中位数 ：平均数受极端值影响显著，向右偏移.中位数仅取决于数据中间位置，对极端值不敏感.结论 ：右拖尾时，平均数通常大于中位数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据极差、众数、四分位数、标准差的性质以及频率分布直方图中平均数和中位数的关系逐一分析选项.
10．（2025高二上·中山月考）已知向量，则（ ）
A．若，则 ∥
B．若，则 ⊥
C．若，则
D．若，则向量在向量上的投影向量
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量 ，
若，则，，
所以∥，故选项A正确；
若，则，，
所以⊥，故选项B正确；
若，则，
所以，故选项C错误；
若，则，
所以，向量在向量上的投影向量为 ，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先代入的值，从而得到向量的坐标，再利用向量的坐标运算结合空间向量共线的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示，从而判断空间向量的平行和垂直，则判断出选项A和选项B；利用数量积求向量夹角公式和投影向量公式，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高二上·中山月考）在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1 次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，1，0，则译码为1.）（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当0< α <0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，依次发送1，0，1，
则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积事件，
所以它们相互独立，则所求概率为，故A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，
则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
则它们相互独立，所以所求概率为，故B错误；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是收到两个1和一个0，或者收到三个1，
则收到两个1和一个0的概率是，收到三个1的概率为，
所以它们互斥，则所求的概率为，故C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
因为单次传输发送0，所以译码为0的概率，
又因为，所以，
则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用相互独立事件求概率公式，从而计算判断出选项A和选项B；利用相互独立事件概率公式和互斥事件的概率公式，则判断出选项C；先求出两种传输方案的概率，再作差比较判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2025高二上·中山月考）已知某地区中小学生的人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为 ．
【答案】
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：因为分层抽样抽取的比例为，高中生抽取的学生数为40，
则抽取的高中生近视人数为40×50%=20.
故答案为：．
【分析】利用已知条件和分层抽样的方法，从而得出抽取的高中生中近视的人数.
13．（2025高二上·中山月考）在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 .
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是.
青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径：
第一条，按，此时停在叶上的概率；
第二条，按，此时停在A叶上的概率.
所以跳三次之后停在叶上的概率.
故答案为：
【分析】分别求出P(顺时针)和P(逆时针跳)，跳3次回到A满足3次顺时针或者3次逆时针，代入概率公式即可得到结论．
14．（2025高二上·中山月考）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则
【答案】
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：如图，若，，，四点共面，
则即为与平面的交点，
连接，交于点，连接，
则即为与的交点，如图所示：
在截面中，为的中点，为的三等分点，取的中点，连接，
则，所以，
则，所以．
故答案为：.
【分析】由，，，四点共面，得出点为与平面的交点，连接，交于点，连接，则即为与的交点，取的中点，连接，再结合三角形的中位线定理和相似三角形的性质，从而可得m的值．
15．（2025高二上·中山月考）某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中的值；
（2）请估计样本数据的众数和平均数；
（3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．
【答案】（1）解：由直方图知，所以；
（2）解： 平均值为：分，众数为：分；
（3）解：成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励．
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）频率和等于小长方形面积和等于1，列方程求参数值；
（2）直方图数字特征，代入样本数据的众数和平均数公式即可；
（3）先求出对应分位数0.7，判断甲的分数所在的位置70-80间，即可得结论.
（1）由直方图知，所以；
（2）平均值为：分，众数为：分；
（3）成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励．
16．（2025高二上·中山月考）已知空间中三点.
（1）若且求向量：
（2）若点在平面内， 求m的值
【答案】（1）解：由题意，易知，
因为，
所以，
又因为，所以，
则，
所以，向量或.
（2）解：因为点在平面上，
所以，存在实数，使得，
又因为，，
则
所以，
解得，
则.
【知识点】共面向量定理；空间向量平行的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量共线的充要条件结合向量的模长的坐标表示，从而计算得出向量的坐标.
（2）利用空间向量共面定理建立方程组，从而计算得出实数m的值.
（1）易知，因为，
所以，
因为，所以，得，
所以向量或；
（2）因为点在平面上，故存在实数使得，
又，，
所以，解得.
故.
17．（2025高二上·中山月考）嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题：
（1）若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率；
（2）若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项，且A必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率．
【答案】（1）解：设总选项个数为，记事件“小明得6分”，选项个数为，
假设正确选项为AB，则，
列举法：单选项有A，B，C，D共计4个，
双选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共计6个，
三选项有，，，共计4个，
个（其它方法也可以，得分相同），
．
（2）解：设总选项个数为，记事件“小明得分大于等于4分”选项个数为，
假设为答案小明已经判定正确（正确答案中有选项，且小明项必选）的情况下，
列举法：单选项有共计1个，且仅得2分，
双选项有AB，AC，AD共计3个，其中2个得4分，
三选项有，，共计3个，其中1得6分，
，，
．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据题意，利用列举法结合古典概型概率公式求解即可；
（2）根据题意，利用列举法结合古典概型概率公式求解即可.
18．（2025高二上·中山月考）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.
（1）用，，表示；
（2）若为棱的中点，求；
（3）是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意，得.
（2）解：若P为棱的中点，
则，，
所以
.
（3）解：设，
则，
由（1）知
所以，
则，
化简得，
解得，
所以，这样的点存在，且为的中点.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理，从而用，，表示.
（2）根据向量的线性运算得出，再结合向量的模长计算公式和数量积计算公式，从而计算得出的值.
（3）设，根据向量的线性运算计算得出，再根据题意建立等式，从而计算得出满足题意的点存在，且为的中点.
（1）；
（2）若P为棱的中点，则，，
所以
；
（3）设，
则，由（1）知
所以，
即，
化简得，解得，
所以这样的点存在，且为的中点.
19．（2025高二上·中山月考）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.
（1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
（2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
【答案】（1）解： 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
所以获得冠军的概率为.
结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
所以获得冠军的概率为.
（2）解：在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为.
在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组 败者组两种情况：
当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，
此时获得冠军的概率为；
当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，
此时获得冠军的概率为.
综上，获得冠军的概率为.
令，
则，
由得.
若A为强队，则，此时.
即，所以.
所以双败赛制对强者更有利.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）代入独立事件的概率公式 P (A∩B) = P (A)×P (B) 进行求解即可；
（2）先代入独立事件的概率公式 P (A∩B) = P (A)×P (B) 分别求出两种赛制下获得冠军的概率，再利用作差法比较大小即可.
（1）结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
所以获得冠军的概率为.
结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
所以获得冠军的概率为.
（2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为.
在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组 败者组两种情况：
当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，
此时获得冠军的概率为；
当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，
此时获得冠军的概率为.
综上，获得冠军的概率为.
令，
则，
由得.
若A为强队，则，此时.
即，所以.
所以双败赛制对强者更有利.
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