2025-2026学年人教A版数学选择性必修第三册单元检测：第七章　随机变量及其分布（含答案）

第七章　随机变量及其分布
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．抛掷一枚骰子两次，下列各量不是随机变量的是(　　)
A．1点向上的次数
B．抛掷骰子的次数
C．2点向上的次数
D．1点或2点向上的次数
2．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星准确预报的概率为(　　)
A．0.95 B．0.6
C．0.05 D．0.4
3．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一名同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)
A．0.8 B．0.6
C．0.5 D．0.4
4．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于(　　)
A．6 B．4
C．3 D．9
5．箱子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球两次，每次任取一球，用A1表示“第一次取得白球”，A2表示“第二次取得白球”，则A1和A2(　　)
A．是互斥事件
B．是相互独立事件
C．是对立事件
D．不是相互独立的事件
6．若随机变量η的概率分布列如下：
η －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(ηA．x≤1 B．1≤x≤2
C．17．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒分别是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产的该种X光片的次品率分别为，，.现从这10盒中任取1盒，再从这盒中任取1张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　)
A．0.08 B．0.1
C．0.15 D．0.2
8．某次排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲队与乙队进行比赛，甲队在每局比赛中获胜的概率都为，前两局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是(　　)
A. B．
C. D．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共 18分)
9．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X＜1)＝，P(X＞2)＝p，则(　　)
A．正态曲线关于直线x＝1对称
B．P(X＜0)＝P(X>1)
C．σ＝1
D．P(0＜X＜1)＝－p
10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；卖不出去的鲜花以每束1.6元处理．根据前五年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X满足如表所示的分布列，则(　　)
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
A.P(X>400)＝0.45
B．E(X)＝340
C．D(X)＝754
D．进这种鲜花500束，利润的均值为706元
11．(2023·新高考全国Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)．下列说法正确的是(　　)
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则 P(B) 等于　　　　.
13．袋中有4个红球、3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝　　　　.
14．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次．假设每次取数互不影响，那么在这3次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为　　　　.(用数字作答)
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15．(13分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
16．(15分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个路口，假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列、期望、方差；
(2)设Y为这名学生在首次遇到红灯前经过的路口数，求Y的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
17．(15分)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“＋”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.
时段 价格变化
第1天到 第20天 － ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 － － ＋ － ＋ 0 0 ＋
第21天到 第40天 0 ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 ＋ － － － ＋ 0 － ＋
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响，估计第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率哪个最大．
18．(17分)经调查统计，某网民在网上光顾某小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．该小店推出每买一种商品送5元优惠券的活动．已知该网民购买A，B，C三种商品的概率分别为，p1，p2(p1(1)求该网民分别购买B，C两种商品的概率；
(2)用随机变量X(单位：元)表示该网民购买商品所获得的优惠券金额，求X的分布列和数学期望．
19．(17分)投掷四枚不同的硬币A，B，C，D，假定A，B两枚正面向上的概率均为，C，D两枚为非均匀硬币，正面向上的概率均为a(0(1)若A，B出现一枚正面向上、一枚反面向上与C，D出现两枚正面向上的概率相等，求a的值；
(2)求X的分布列及数学期望(用a表示)．
第七章　随机变量及其分布
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．抛掷一枚骰子两次，下列各量不是随机变量的是(　　)
A．1点向上的次数
B．抛掷骰子的次数
C．2点向上的次数
D．1点或2点向上的次数
B　解析：抛掷次数是个确定的值，不是随机变量．
2．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星准确预报的概率为(　　)
A．0.95 B．0.6
C．0.05 D．0.4
A　解析：方法一：在同一时刻至少有一颗卫星准确预报可分为：①甲准确预报，乙没有准确预报；②甲没有准确预报，乙准确预报；③甲准确预报，乙准确预报．这三个事件彼此互斥，故至少有一颗卫星准确预报的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.
方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星准确预报”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星预报都没有准确预报”，故至少有一颗卫星准确预报的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.
3．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一名同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)
A．0.8 B．0.6
C．0.5 D．0.4
A　解析：记“该同学爱好滑雪”为事件A，“该同学爱好滑冰”为事件B，
则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.5＋0.6－0.7＝0.4，
所以P(B|A)＝＝＝0.8.
故选A.
4．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于(　　)
A．6 B．4
C．3 D．9
A　解析：因为D(2X＋1)＝4D(X)，D(X)＝6××＝，所以D(2X＋1)＝4×＝6.
5．箱子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球两次，每次任取一球，用A1表示“第一次取得白球”，A2表示“第二次取得白球”，则A1和A2(　　)
A．是互斥事件
B．是相互独立事件
C．是对立事件
D．不是相互独立的事件
D　解析：因为P(A1)＝，若A1发生了，P(A2)＝＝；若A1不发生，P(A2)＝，所以A1是否发生对A2发生的概率有影响，所以A1与A2不是相互独立事件．
6．若随机变量η的概率分布列如下：
η －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(ηA．x≤1 B．1≤x≤2
C．1C　解析：因为P(η≤1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，P(η≤2)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＋0.1＝0.9，所以当17．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒分别是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产的该种X光片的次品率分别为，，.现从这10盒中任取1盒，再从这盒中任取1张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　)
A．0.08 B．0.1
C．0.15 D．0.2
A　解析：设事件A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，
P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.
由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝0.08.故选A.
8．某次排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲队与乙队进行比赛，甲队在每局比赛中获胜的概率都为，前两局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是(　　)
A. B．
C. D．
C　解析：最后乙队获胜含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率p＝＋×＋2×＝.故选C.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共 18分)
9．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X＜1)＝，P(X＞2)＝p，则(　　)
A．正态曲线关于直线x＝1对称
B．P(X＜0)＝P(X>1)
C．σ＝1
D．P(0＜X＜1)＝－p
AD　解析：由正态曲线的对称性及P(X＜1)＝，知 μ＝1，即正态曲线关于直线x＝1对称，于是 P(X＜0)＝P(X＞2)，所以P(0＜X＜1)＝P(X＜1)－P(X＜0)＝P(X＜1)－P(X＞2)＝－p.
10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；卖不出去的鲜花以每束1.6元处理．根据前五年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X满足如表所示的分布列，则(　　)
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
A.P(X>400)＝0.45
B．E(X)＝340
C．D(X)＝754
D．进这种鲜花500束，利润的均值为706元
BD　解析：P(X>400)＝P(X＝500)＝0.15.因为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，所以D(X)＝(200－340)2×0.20＋(300－340)2×0.35＋(400－340)2×0.30＋(500－340)2×0.15＝9 400.
若进这种鲜花500束，则利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706(元)．故选BD.
11．(2023·新高考全国Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)．下列说法正确的是(　　)
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
ABD　解析：对于A，依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1收到1、发送0收到0、发送1收到1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1收到1、发送1收到0、发送1收到1这3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)·β·(1－β)＝β(1－β)2，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0或1,0,1或0,1,1或1,1,1这4个事件的和，它们互斥．所以所求的概率为Cβ(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，
单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α.而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，D正确．
故选ABD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则 P(B) 等于　　　　.
　解析：因为P(B|A)＝，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
所以P(B)＝＝＝.
13．袋中有4个红球、3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝　　　　.
　解析：P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)
＝＝.
14．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次．假设每次取数互不影响，那么在这3次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为　　　　.(用数字作答)
　解析：由a4＝2，a7＝－4可得等差数列{an}的通项公式为an＝10－2n(n∈N*)．{an}的前10项分别为8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知3次取数相当于3次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为，取得负数的概率为，在3次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15．(13分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解：(1)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3，且X服从参数为N＝10，M＝3，n＝3 的超几何分布，
因此P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以P(X＝0)＝＝＝；
P(X＝1)＝＝＝；
P(X＝2)＝＝＝；
P(X＝3)＝＝.
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，
而P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
16．(15分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个路口，假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列、期望、方差；
(2)设Y为这名学生在首次遇到红灯前经过的路口数，求Y的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
解：(1)由题意可知，X的值可取0,1,2,3,4,5，且服从二项分布B，则
P(X＝0)＝C·0·5＝，
P(X＝1)＝C·1·4＝，
P(X＝2)＝C·2·3＝，
P(X＝3)＝C·3·2＝，
P(X＝4)＝C·4·1＝，
P(X＝5)＝C·5·0＝.
由此得X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
E(X)＝5×＝，D(X)＝5××＝.
(2)由于Y为这名学生在首次遇到红灯前经过的路口数，显然Y是随机变量，其可能取值为0,1,2,3,4,5，且
P(Y＝0)＝0×＝，
P(Y＝1)＝1×＝，
P(Y＝2)＝2×＝，
P(Y＝3)＝3×＝，
P(Y＝4)＝4×＝，
P(Y＝5)＝5＝.
由此得Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4 5
P
(3)设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件A，
则P(A)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
17．(15分)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“＋”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.
时段 价格变化
第1天到 第20天 － ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 － － ＋ － ＋ 0 0 ＋
第21天到 第40天 0 ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 ＋ － － － ＋ 0 － ＋
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响，估计第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率哪个最大．
解：(1)根据表格中的数据可以看出，40天里有16个＋，即有16天价格是“上涨”的，
根据古典概型的概率计算公式，该农产品价格“上涨”的概率为＝0.4.
(2)在这40天里，有16天“上涨”，14天“下跌”，10天“不变”，则价格“上涨”“下跌”“不变”的概率分别是0.4，0.35,0.25，
所以在未来的日子里任取4天，该农产品价格2天“上涨”，1天“下跌”，1天“不变”的概率是C×0.42×C×0.35×0.25＝0.168.
(3)由于第40天处于“上涨”状态，从前39天的15次“上涨”进行分析，“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，“不变”的有9次，“下跌”的有2次，
因此估计第41天价格“不变”的概率最大．
18．(17分)经调查统计，某网民在网上光顾某小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．该小店推出每买一种商品送5元优惠券的活动．已知该网民购买A，B，C三种商品的概率分别为，p1，p2(p1(1)求该网民分别购买B，C两种商品的概率；
(2)用随机变量X(单位：元)表示该网民购买商品所获得的优惠券金额，求X的分布列和数学期望．
解：(1)由题意可知至少购买一种商品的概率为，
所以一种商品都不买的概率为1－＝，
即(1－p1)(1－p2)＝①.
又因为最多购买两种商品的概率为，
所以三种都买的概率为1－＝，
即p1p2＝②.
联立①②，解得或
因为p1(2)由题意可得X的可能取值为0,5,10,15.
且P(X＝0)＝，
P(X＝5)＝××＋××＋××＝，
P(X＝10)＝××＋××＋××＝，
P(X＝15)＝××＝.
所以X的分布列为
X 0 5 10 15
P
则E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＝.
19．(17分)投掷四枚不同的硬币A，B，C，D，假定A，B两枚正面向上的概率均为，C，D两枚为非均匀硬币，正面向上的概率均为a(0(1)若A，B出现一枚正面向上、一枚反面向上与C，D出现两枚正面向上的概率相等，求a的值；
(2)求X的分布列及数学期望(用a表示)．
解：(1)由题意，
得2××＝a2,0＜a＜1，
所以a＝.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝C·2·C(1－a)2＝(1－a)2，
P(X＝1)＝C·1·1·C(1－a)2＋C·2·Ca(1－a)＝(1－a)，
P(X＝2)＝C·2·C(1－a)2＋C·1·1·Ca(1－a)＋C·2·Ca2＝(1＋2a－2a2)，
P(X＝3)＝C·2·Ca(1－a)＋C·1·1·Ca2＝，
P(X＝4)＝C·2·Ca2＝a2.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P (1－a)2 (1－a) (1＋2a－2a2) a2
X的数学期望为E(X)＝1×(1－a)＋2×(1＋2a－2a2)＋3×＋4×a2＝2a＋1.
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