2025-2026学年人教A数学选择性必修第三册期末质量检测练习卷（含答案）

人教A数学选择性必修三期末质量检测练习卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若3C＝5A，则正整数n＝(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
2．在吸烟与患肺病是否有关的研究中，下列属于两个分类变量的是(　　)
A．吸烟，不吸烟
B．患病，不患病
C．是否吸烟，是否患病
D．以上都不对
3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100 B．200
C．300 D．400
4．某商品销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其经验回归方程可能是(　　)
A.＝－10x＋200
B.＝10x＋200
C.＝－10x－200
D.＝10x－200
5．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　)
A．32 B．－32
C．1 024 D．512
6．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为(　　)
A. B．
C. D．
7．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，利用一元线性回归模型得到经验回归方程＝x＋，对应的残差如图所示，模型中的随机误差(　　)
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设
C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设
D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设
8．在篮球比赛颁奖仪式上，某队队员12人(其中1人为队长)、教练组3人站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组3人相邻并站在边上，满足要求的站法共有(　　)
A．AA 种
B．2AA 种
C．AAA种
D．2AAA种
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
9．已知在n的展开式中，第6项为常数项，则(　　)
A．n＝11
B．第4项为－15x
C．展开式中所有的有理项共有3项
D．第5项的二项式系数最大
10．盒中有10个小球，其中有3个红球、7个白球，现从盒中随机地抽取4个小球，则(　　)
A．恰有1个红球的概率为
B．4个全是白球的概率为
C．恰有2个白球的概率为
D．至多有2个红球的概率为
11．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则(　　)
A．正态曲线关于直线x＝2对称
B．σ＝2
C．P(ξ>4)＝P(ξ<0)
D．P(0<ξ<2)＝0.2
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．随着现代科技的不断发展，使用手机支付越来越普遍，其中某群体的每位成员使用手机支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用手机支付的人数，已知D(X)＝2.4且P(X＝4)>P(X＝6)，则E(X)＝__________.
13．某考察团对全国十个城市进行职工人均工资水平x(单位：千元)与居民人均消费水平y(单位：千元)统计调查，得到y与x具有相关关系，经验回归方程为＝0.66x＋1.562.当人均工资增加1千元时，人均消费水平平均增加　　　　千元．若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为　　　　.
14．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有1个白球的概率是；
②从中有放回地取球6次，每次任取1球，则取到红球次数的方差为；
③从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
④从中有放回地取球3次，每次任取1球，则至少有1次取到红球的概率为.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15．(13分)某校高中部，高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂参加社会实践活动．
(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？
16．(15分)某市开展“寻找身边的好老师”活动，通过市民投票评选“身边的好老师”，并对选出的五位“身边的好老师”的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据：
“身边的好老师”编号 1 2 3 4 5
工作年限x/年 4 6 8 10 12
得票数y/百张 10 20 40 60 50
(1)若得票数y与工作年限x满足线性相关关系，试求经验回归方程＝x＋，并就此估计身边的“好老师”的工作年限为15年时的得票数；
(2)若用(i＝1,2,3,4,5)表示统计数据时得票数的“即时均值”(四舍五入到整数)，从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率．
17．(15分)生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W(单位：g)与脉搏率f存在着一定的关系．表中给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1是体重W与脉搏率f的散点图，图2是lg W与lg f的散点图.
动物名 体重 脉搏率
小鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2 000 200
小狗 5 000 120
大狗 30 000 85
羊 50 000 70
为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：
①f＝kW＋b；
②lg f＝klg W＋b.
其中，k，b∈R.
(1)选出你认为更符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)不妨取表中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求出f关于W的函数解析式；
(3)若马的体重是兔的256倍，根据(2)的结论，预测马的脉搏率．
附：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5.
18．(17分)某种可能遭受污染的海产品在进入市场前必须对每件海产品进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
(1)求该海产品不能销售的概率．
(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱该海产品有4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E(ξ)．
19.(17分)根据以往大量的测量统计，某企业生产的钢管内径尺寸X(单位：mm)服从正态分布 N(μ，σ2)，并把钢管内径在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为一等品，钢管内径在[μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1 000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图所示．
(1)通过检测得到样本数据的标准差s＝0.3，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的钢管内径尺寸范围．(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)假如企业包装时要求把2件一等品和n(n≥2，n∈N)件二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出2件产品进行检验，若抽取到的2件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值．
附：36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1≈185.
人教A数学选择性必修三期末质量检测练习卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若3C＝5A，则正整数n＝(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
B　解析：因为3C＝5A，
所以3×＝5n(n－1)(n－2)，
解得n＝8(n＝1不合题意，舍去)．
2．在吸烟与患肺病是否有关的研究中，下列属于两个分类变量的是(　　)
A．吸烟，不吸烟
B．患病，不患病
C．是否吸烟，是否患病
D．以上都不对
C　解析：“是否吸烟”是分类变量，它的两个不同取值：吸烟和不吸烟；“是否患病”是分类变量，它的两个不同取值：患病和不患病．可知A，B都是一个分类变量所取的两个不同值．故选C.
3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100 B．200
C．300 D．400
B　解析：记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000，0.1)，
所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100.
又因为X＝2ξ，所以E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.
4．某商品销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其经验回归方程可能是(　　)
A.＝－10x＋200
B.＝10x＋200
C.＝－10x－200
D.＝10x－200
A　解析：由x与y负相关，可排除B，D两项，而C项中的＝－10x－200＜0恒成立，不符合题意．故选A.
5．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　)
A．32 B．－32
C．1 024 D．512
A　解析：由二项式定理，得a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝C(－2)0a10＋C(－2)1a9＋C(－2)2a8＋…＋C(－2)10＝(a－2)10＝(－)10＝25＝32.
6．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为(　　)
A. B．
C. D．
B　解析：(方法一)记事件A＝“第一次取到的是合格高尔夫球”，事件B＝“第二次取到的是合格高尔夫球”．
由题意可得
P(A∩B)＝＝，P(A)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
(方法二)记事件A＝“第一次取到的是合格高尔夫球”，事件B＝“第二次取到的是合格高尔夫球”．
由题意可得，事件A∩B所包含的样本点数 n(A∩B)＝3×2＝6，事件A所包含的样本点数 n(A)＝3×3＝9，所以P(B|A)＝＝＝.
7．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，利用一元线性回归模型得到经验回归方程＝x＋，对应的残差如图所示，模型中的随机误差(　　)
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设
C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设
D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设
C　解析：利用一元线性回归模型得到经验回归方程＝x＋，根据题图，易知残差的方差不是一个常数，随变量x变大而变大，不满足一元线性回归模型的 D(e)＝σ2的假设．故选C.
8．在篮球比赛颁奖仪式上，某队队员12人(其中1人为队长)、教练组3人站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组3人相邻并站在边上，满足要求的站法共有(　　)
A．AA 种
B．2AA 种
C．AAA种
D．2AAA种
B　解析：选择左、右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排，共有2A种站法，
将剩余的11名队员全排列，共有A种站法，
由分步乘法计数原理可得总的站法有2AA种．
故选B.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
9．已知在n的展开式中，第6项为常数项，则(　　)
A．n＝11
B．第4项为－15x
C．展开式中所有的有理项共有3项
D．第5项的二项式系数最大
BC　解析：由题可知，通项为Tk＋1＝Cx·k＝Ck·x.由第6项为常数项，得当k＝5时，＝0，得n＝10.令＝m∈Z，则10－2k＝3m，即k＝5－m，故m应为偶数．又0≤k≤10，故m可取2,0，－2，即k可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项．又n＝10，故第6项的二项式系数最大．将n＝10，k＝3代入Tk＋1可得第4项为－15x.
10．盒中有10个小球，其中有3个红球、7个白球，现从盒中随机地抽取4个小球，则(　　)
A．恰有1个红球的概率为
B．4个全是白球的概率为
C．恰有2个白球的概率为
D．至多有2个红球的概率为
BC　解析：设X＝k表示取出的小球恰有k个为白球，则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝.
恰有1个红球的概率为P(X＝3)＝，
至多有2个红球的概率为P(X＝4)＋P(X＝3)＋P(X＝2)＝.
11．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则(　　)
A．正态曲线关于直线x＝2对称
B．σ＝2
C．P(ξ>4)＝P(ξ<0)
D．P(0<ξ<2)＝0.2
AC　解析：正态曲线关于直线x＝2对称，根据其对称性求解概率．由P(ξ<4)＝0.8，知P(ξ>4)＝P(ξ<0)＝0.2，故P(0<ξ<2)＝0.3.故选AC.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．随着现代科技的不断发展，使用手机支付越来越普遍，其中某群体的每位成员使用手机支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用手机支付的人数，已知D(X)＝2.4且P(X＝4)>P(X＝6)，则E(X)＝__________.
4　解析：由题易知，X～B(10，p)．
因为D(X)＝2.4，P(X＝4)>P(X＝6)，
所以解得p＝0.4.
所以E(X)＝10p＝4.
13．某考察团对全国十个城市进行职工人均工资水平x(单位：千元)与居民人均消费水平y(单位：千元)统计调查，得到y与x具有相关关系，经验回归方程为＝0.66x＋1.562.当人均工资增加1千元时，人均消费水平平均增加　　　　千元．若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为　　　　.
0.66　83%　解析：由题可知＝0.66，故x增加1时，y平均增加0.66.当＝7.675时，x＝≈9.262，所以≈0.829≈83%.
14．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有1个白球的概率是；
②从中有放回地取球6次，每次任取1球，则取到红球次数的方差为；
③从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
④从中有放回地取球3次，每次任取1球，则至少有1次取到红球的概率为.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
①②④　解析：①恰有1个白球的概率
p＝＝，故①正确；
②每次任取1球，设取到红球的次数为X，则X～B，其方差为6××＝，故②正确；
③设A＝“第一次取到红球”，B＝“第二次取到红球”，
则P(A)＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝，故③错误；
④每次取到红球的概率都为，
所以至少有1次取到红球的概率为1－3＝，故④正确．
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15．(13分)某校高中部，高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂参加社会实践活动．
(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？
解：(1)分三类：第1类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第2类，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第3类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法．由分类加法计数原理，得共有6＋7＋8＝21(种)不同的选法．
(2)分三步：第1步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第2步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第3步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法．由分步乘法计数原理，得共有6×7×8＝336(种)不同的选法．
(3)分三类，每类又分两步．第1类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同的选法；第2类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同的选法；第3类，从高二、高三年级各选1个班，有7×8种不同的选法．故共有 6×7＋6×8＋7×8＝146(种)不同的选法．
16．(15分)某市开展“寻找身边的好老师”活动，通过市民投票评选“身边的好老师”，并对选出的五位“身边的好老师”的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据：
“身边的好老师”编号 1 2 3 4 5
工作年限x/年 4 6 8 10 12
得票数y/百张 10 20 40 60 50
(1)若得票数y与工作年限x满足线性相关关系，试求经验回归方程＝x＋，并就此估计身边的“好老师”的工作年限为15年时的得票数；
(2)若用(i＝1,2,3,4,5)表示统计数据时得票数的“即时均值”(四舍五入到整数)，从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率．
解：(1)由题可得＝8，＝36，
则＝＝6，
＝36－48＝－12.所以＝6x－12.
当x＝15时，＝6×15－12＝78.
(2)5个“即时均值”分别为3,3,5,6,4.
从5个“即时均值”中任选2个，共有C＝10(种)情况，其中2个数据之和小于8的有(3,3)，(3,4)，(3,4)，共3种情况，所以这2个数据之和小于8的概率为.
17．(15分)生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W(单位：g)与脉搏率f存在着一定的关系．表中给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1是体重W与脉搏率f的散点图，图2是lg W与lg f的散点图.
动物名 体重 脉搏率
小鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2 000 200
小狗 5 000 120
大狗 30 000 85
羊 50 000 70
为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：
①f＝kW＋b；
②lg f＝klg W＋b.
其中，k，b∈R.
(1)选出你认为更符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)不妨取表中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求出f关于W的函数解析式；
(3)若马的体重是兔的256倍，根据(2)的结论，预测马的脉搏率．
附：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5.
解：(1)模型②lg f＝klg W＋b更符合实际．理由如下：根据散点图的特征，题图2中的散点基本集中在一条直线附近，所以可以选择一次函数来刻画lg W和lg f的关系．
(2)由题意可得
又lg 200＝lg 2＋2≈2.3，lg 2 000＝lg 2＋3≈3.3，lg 300＝lg 3＋2≈2.5.
故解得
所以lg f＝－＋，
所以f关于W的函数解析式为f＝10·W－.
(3)设马的体重和脉搏率为W1，f1，兔的体重和脉搏率为W2，f2，由题意可知＝256，则＝－＝(256)－＝(28)－＝.
又因为f2＝200，所以f1＝50.
即马的脉搏率为50.
18．(17分)某种可能遭受污染的海产品在进入市场前必须对每件海产品进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
(1)求该海产品不能销售的概率．
(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱该海产品有4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E(ξ)．
解：(1)设“该海产品不能销售”为事件A，
则P(A)＝1－×＝.
所以该海产品不能销售的概率为.
(2)由已知得ξ的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160.
P(ξ＝－320)＝4＝，
P(ξ＝－200)＝C×3×＝，
P(ξ＝－80)＝C×2×2＝，
P(ξ＝40)＝C××3＝，
P(ξ＝160)＝4＝.
所以ξ的分布列为
ξ －320 －200 －80 40 160
P
E(ξ)＝(－320)×－200×－80×＋40×＋160×＝40.
19.(17分)根据以往大量的测量统计，某企业生产的钢管内径尺寸X(单位：mm)服从正态分布 N(μ，σ2)，并把钢管内径在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为一等品，钢管内径在[μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1 000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图所示．
(1)通过检测得到样本数据的标准差s＝0.3，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的钢管内径尺寸范围．(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)假如企业包装时要求把2件一等品和n(n≥2，n∈N)件二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出2件产品进行检验，若抽取到的2件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值．
附：36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1≈185.
解：(1)由题意，得样本平均数≈185×0.2＝37，所以估计μ＝＝37，σ＝s＝0.3，
则μ－σ＝37－0.3＝36.7，μ＋σ＝37＋0.3＝37.3，μ＋2σ＝37＋0.6＝37.6，
则一等品钢管内径在(μ－σ，μ＋σ)，即(36.7，37.3)内，
二等品钢管内径在[μ＋σ，μ＋2σ)，即[37.3，37.6)内，
所以该企业生产的产品为正品的钢管内径尺寸范围为(36.7,37.6)．
(2)①从(n＋2)件正品中任选2件，有C种选法，其中等级相同的有C＋C种选法，
所以某箱产品抽检被记为B的概率为
p＝1－＝1－＝(n≥2，n∈N)．
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，
则抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
f(p)＝Cp3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)，
f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，
所以当p∈时，f′(p)>0，函数f(p)单调递增；
当p∈时，f′(p)<0，函数f(p)单调递减．
所以当p＝时，f(p)取得最大值f＝C×3×2＝.
此时，p＝＝，
解得n＝3或n＝(舍去)．
所以当n＝3时，f(p)取得最大值 .
1/22