中小学教育资源及组卷应用平台
5.4 问题解决策略：直观分析
学科 数学 年级 七年级 课型 新授课 单元 第五单元
课题 问题解决策略：直观分析 课时 5.4
课标要求 依据《义务教育数学课程标准》要求，本节课聚焦 “问题解决” 与 “数学核心素养” 培育，强调学生需掌握借助图形、表格、韦恩图等直观工具梳理数量关系的基本方法，能运用直观分析策略将复杂实际问题转化为可探究的数学问题，初步形成数形结合思想与数学建模意识，提升逻辑推理和实际应用能力，同时体会数学与生活的紧密联系，养成用数学眼光观察、分析现实问题的习惯。
教材分析 本节课是七年级数学 “问题解决策略” 的核心内容，通常编排在一元一次方程应用之后，属于 “知识应用 + 策略提升” 的专题课。教材通过服装利润、宿舍楼建超市、握手计数、会议地点选择等贴近生活的实例，由浅入深呈现直观分析策略的应用场景，既衔接了此前一元一次方程的列式求解知识，又通过不同直观工具（示意图、表格、韦恩图）的对比使用，帮助学生构建 “问题 — 直观工具 — 数量关系 — 解决方案” 的思维链条，为后续学习更复杂的几何问题、统计问题奠定策略基础，体现了教材 “从具体到抽象、从实例到方法” 的编排逻辑。
学情分析 七年级学生已具备一元一次方程求解、基本图形认知和简单逻辑推理能力，对生活中的数学问题抱有好奇心，但其抽象思维仍处于从具体形象思维向形式运算思维过渡的阶段，面对多变量、复杂关联的实际问题时，易出现数量关系混淆、解题思路混乱的情况。多数学生缺乏系统的问题解决策略，习惯直接列式计算而忽略分析过程，且在工具选择上存在盲目性，部分学生依赖参考答案，独立探究和合作交流的主动性有待提升，适合通过直观、具象的教学手段和互动式活动引导其构建策略意识。
教学目标 1.会用示意图、表格、韦恩图等工具，理清实际问题中的数量关系，列一元一次方程求解。 2.通过自主研学、小组讨论，掌握“直观分析”的问题解决策略，提升逻辑分析能力。 3.体会数学与生活的联系，感受“直观工具”简化复杂问题的价值。
教学重点 用直观工具梳理数量关系，列一元一次方程。
教学难点 不同类型问题的直观表示方法（如行程问题的线段图、容斥问题的韦恩图）。
教法与学法分析 教法分析 本节课采用 “情境引领 + 启发探究 + 分层指导” 的教学方法，以生活实际问题为切入点创设教学情境，激发学生探究兴趣；通过启发式提问引导学生自主思考 “如何用直观工具梳理关系”，鼓励学生尝试不同示意图、表格等工具，再通过对比分析明确各类工具的适用场景；借助小组合作探究、例题示范板书、错题集中辨析等方式，突破 “折扣基数混淆”“重复计数” 等难点；同时结合多媒体课件展示直观工具的绘制过程和动态数量关系，满足不同层次学生的认知需求，确保教学过程从 “教师主导” 向 “学生主体” 逐步过渡。 学法分析 学生以 “自主研学 + 合作探究 + 实践反思” 为主要学法，在课前通过预习任务单初步梳理问题中的已知量与未知量，尝试用简单图形表达数量关系；课堂上通过小组讨论交流不同直观工具的优缺点，动手绘制示意图、填写分析表格，主动参与 “梳量 — 选工具 — 列关系 — 求解” 的完整过程；课后通过典型习题巩固策略应用，反思不同问题与直观工具的匹配规律，逐步形成 “遇到复杂问题先找直观工具” 的解题习惯。同时，在合作探究中提升沟通表达能力，在实践操作中深化对策略本质的理解，实现从 “被动接受方法” 到 “主动运用策略” 的转变。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 同学们平时买衣服会遇到“提价再打折”的促销，商家怎么算利润呢？今天我们用直观图表+一元一次方程，一起解开这类问题的秘密。 在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰。实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略。 阅读课本中“服装销售问题”，回答： （1）问题涉及的量有哪些？已知量、未知量分别是什么？ （2）用文字描述该问题的等量关系。 （3）可以用什么方式展示这些量的关系？ （4）尝试写出该问题的方程（不求解）。 教师：巡视预习情况，指导基础薄弱的学生圈画课本关键词。 大家预习得差不多啦！谁来分享下服装问题里的“量”有哪些？ 请学生分享预习成果 概念填空 题目 商品利润＝______－______。 商品利润率＝______（用百分数表示）。 解析 商品利润＝售价－进价（核心等量关系，利润是售价与成本的差值）。 商品利润率＝（利润÷进价）×100%（利润率反映利润占成本的比例，需转化为百分数）。 创设问题情境，讲解直观工具的价值，板书课题并明确本节课学习核心 倾听情境内容，思考直观工具的作用，初步感知本节课学习方向 激发学习兴趣，建立数学与生活的联系，快速切入本节课核心内容
环节二：新知讲解 问题： 一家商店将某种服装按成本价提高 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 1.理解问题 （1）这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？ 涉及的量：成本价、提价率、标价、折扣、售价、利润； 已知量：提价40%、八折优惠、每件获利15元； 未知量：每件服装的成本价。 （2）你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？ 售价 - 成本价 = 利润； 其中：售价 = 标价 × 折扣，标价 = 成本价 ×（1 + 40%）。 （3）采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？ 可通过表格梳理各量的表达式，或框图示意图（如“成本价→提价→标价→打折→售价”的流程，标注利润与成本价的关系）。 （1）框图示意图（对应课本图5-6）： 成本x → 提价40% → 标价(1+40%)x → 八折 → 售价(1+40%)x×80% （利润15元）← 售价 - 成本 （2）表格梳理量关系： 数量表达式成本标价售价利润售价成本
2.拟订计划 （1）想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？ 请学生回答并展示自己画的示意图： 成本价（元）提高标价打八折售价 利润15元（售价 - 成本价） （2）根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？ 找到的等量关系有： ① 标价 = 成本价 ×（1 + 40%） ② 售价 = 标价 × 80% ③ 利润 = 售价 - 成本价 （3）设这种服装每件的成本为 元，你能用含 的代数式表示其他量吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？ 请学生分享自己列的方程。 设成本为元： 标价： 元 售价： 元 根据“利润 = 售价 - 成本价”，列出方程： 3.实施计划 写出你的解决方案，并与同伴进行交流 小明用图5-6所示的框图直观地表示了商店从进货、标价到销售获利的过程，并将问题中的数量信息标注在框图中。据此，他列出了方程 解这个方程，得 因此，这种服装每件的成本是125元。 知识点总结与辨析 核心关系（利润问题）： ① 标价 = 成本×(1+提价率)（提价用“+”，降价用“-”）； ② 售价 = 标价×折扣（八折=0.8，九五折=0.95）； ③ 利润 = 售价 - 成本（盈利为正，亏损为负）。 辨析：“提价40%”是“成本+成本×40%”，不是“成本×40%”；“八折”是标价的80%，不是成本的80%。 拓展题（即时练习） 某笔记本按成本提价30%标价，七折卖出后亏损2元，求成本价。 解析： 设成本为元，标价，售价。 等量关系：成本 - 售价 = 亏损 → 求解： → 元。 指导学生自主思考、小组交流，点评示意图绘制及等量关系梳理，总结直观分析策略 自主梳理量的已知与未知，绘制示意图，交流不同示意图优缺点，列方程求解 让学生经历完整探究过程，掌握直观分析工具，突破等量关系梳理的难点
环节三:延申探究 4.回顾反思 （1）你是用怎样的示意图表示商店从进货、标价到销售获利全过程的？与同伴交流不同示意图的优缺点。 ①用流程框图来表示全过程： 成本价提高标价打八折售价虚线标注利润售价成本价成本价 ②表格示意图（把成本、标价、售价对应的表达式列在表格里）。 不同示意图优缺点： 流程框图：优点是能清楚看到“进货→标价→销售”的步骤顺序，过程很连贯； 缺点是不太方便直接把每个量的代数式写在图里，需要额外标注。 表格示意图：优点是能把每个量（成本、标价、售价）和对应的表达式一一对应，看数值关系很清楚； 缺点是看不出步骤之间的先后变化，像“先提价再打折”的顺序体现得不明显。 （2）示意图对解决这类问题有什么作用？请举例说明。 示意图的作用是把问题里绕来绕去的数量关系变直观，避免搞混各个量的联系。 借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。 讲解例题解题思路，引导学生运用直观策略，点评变式训练结果并纠错 运用直观分析方法分析例题，独立完成变式训练，展示解题过程 深化对直观分析策略的理解，促进知识向解题技能转化
环节四：巩固拓展 分组讨论课本中的几个问题，每组选1个展示： 请用直观分析策略解答下列问题 1．某单位的四幢宿舍楼在一条直线上，现要在这四幢宿舍楼之间建一个超市，使得四幢宿舍楼到超市的距离之和最短。超市应建在什么位置？ 直观工具：直线示意图（将四幢宿舍楼依次标记为、、、，排列在同一直线上） 分析逻辑：设超市位置为，距离和为。其中（到的总长度，是固定值）；的最小值出现在位于、之间（含、本身）时（此时，是到的最短距离）。 结论：超市应建在第二幢与第三幢宿舍楼之间（包含这两幢楼的位置）。 2.小明和爸爸周末骑自行车去郊外游玩，小明和爸爸分别以 和 的速度沿相同路线骑行，爸爸先骑行了 ，然后立即掉转车头，
仍以 速度往回骑（小明仍按原速度向前骑行），直到与小明会合。会合时他们骑行了多长时间？ 直观工具：线段图（标注“起点→小明骑行路程（）→相遇点→爸爸往回骑行路程（）→爸爸先骑的11km处”） 等量关系：小明骑行的路程 + 爸爸往回骑行的路程 = 爸爸先骑的11km 求解过程： 设会合时间为小时，列方程： 计算得：小时 3．五个人聚会，如果每两个人要握一次手，那么五个人共握多少次手？ 直观工具：连线示意图（将五人标记为①②③④⑤，用线段连接每两个不同的人） 分析逻辑：避免重复计算（如①和②握过，就不再算②和①）： ①和②③④⑤握（4次），②和③④⑤握（3次），③和④⑤握（2次），④和⑤握（1次）。 总次数：次 4．一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人？ 直观工具：韦恩图（两个相交圆，左圆表示“答对第一题”，右圆表示“答对第二题”，重叠部分为“两道都答对”） 计算过程： 只答对第一题：人 只答对第二题：人 至少答对一题的人数：人 两道都答错的人数：人 5.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议。 （1）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，1，2，1，1，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在几层？你是怎样思考的？ 直观工具：表格（计算“每层人数×该层到会议地点的楼层差”，求和得到总爬楼距离） （1）每层人数：2（1层）、1（2层）、2（3层）、1（4层）、1（5层） 计算各楼层的总距离和： 1层：； 2层：； 3层：； 4层：； 5层：； 结论：会议地点设在3层（总距离和最小）。 （2）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，2，1，2，1呢？ 2（1层）、2（2层）、1（3层）、2（4层）、1（5层） 计算得：2层和3层的总距离和均为10（最小），结论：会议地点设在2层或3层。 （3）如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11呢？你是如何解决的？ 18（1层）、14（2层）、10（3层）、10（4层）、11（5层） 计算得：2层的总距离和为81（最小），结论：会议地点设在2层。 引导学生总结直观分析策略的核心、工具类型及适用场景，梳理解题步骤 引导学生梳理总结，补充完善核心要点，强调策略本质和应用注意事项 回顾本节课内容，总结直观分析方法、工具及步骤，分享学习收获
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ （1）掌握了直观分析的核心工具，包括示意图（流程框图、线段图）、表格、韦恩图等，明确不同工具的适用场景。 （2）学会用直观工具梳理实际问题中的数量关系，能借助工具列方程或算式求解，如成本利润、行程、位置优化等问题。 （3）体会到数学与生活的关联，可运用直观分析策略解决购物、规划等日常中的数学问题。 （4）强化逻辑推理和解题思路梳理能力，形成 “梳量 — 选工具 — 找关系 — 求解” 的完整解题链条。 引导学生梳理总结，补充完善核心要点，强调策略本质和应用注意事项 回顾本节课内容，总结直观分析方法、工具及步骤，分享学习收获 构建完整知识体系，强化策略应用意识，提升归纳总结能力
板书设计 课题：问题解决策略——直观分析 模块具体内容核心工具（适配场景）- 示意图（流程/线段/连线）：行程、位置优化、握手计数- 表格：带权重的数量关系（如会议地点选择）- 韦恩图：重叠计数（如容斥问题）（附简笔画：韦恩图标注“只A” “只B” “AB重叠”；线段图标注“路程和/差”）解题四步法1. 梳量：找已知量、未知量2. 选工具：匹配对应直观工具3. 找关系：提炼等量关系/数量关联4. 求解：列方程/算式计算典型示例（直观呈现）1. 成本利润问题（流程示意图：成本x→提价40%→标价1.4x→八折→售价1.12x→利润15元）方程：1.12x - x = 152. 容斥问题（韦恩图：总人数=只A+只B+AB重叠+都不）计算：45 -（32+27-20）=63. 位置优化（表格简示：人数×楼层差→总和最小）易错警示（红笔标注）- 折扣≠成本×折数（需先算标价）- 容斥问题避免重复计数（必减重叠部分）- 楼层差取绝对值，带权重需算“人数×距离”
板书以“工具+步骤+示例+警示”为核心，用简洁图示和关键词直观呈现核心知识，逻辑层次清晰，既帮助学生快速构建“工具适配场景—规范解题步骤—规避常见错误”的知识体系，又贴合七年级学生具象思维特点，方便课堂记录和课后复习。
作业设计 基础练习 1.商场某商品按原售价七五折出售亏损25元，九折出售盈利20元，原售价为（ ） A.230元 B.250元 C.270元 D.300元 2.某商品按成本提40%标价，八折卖出获利15元，成本价为（ ） A.115元 B.120元 C.125元 D.150元 3.豆角原价5元/千克，小王买打八折；另一人少买5kg、原价买，还多花10元，小王购买质量为（ ） A.20kg B.25kg C.30kg D.35kg 4.某人按一年定期存入银行一笔钱，年利率为1.2%，到期扣除利息的20%个人所得税后，本息和为3533.6元，求存入金额。 能力提升 5.某公司甲、乙两种贷款共180万元，年利息6.2万元，甲利率3.8%、乙利率3%，甲贷款数额是___________万元。 6.甲、乙两件服装的成本共500元，甲按50%利润定价、乙按40%利润定价，均九折出售后获利157元，求甲、乙成本。 7.商场家电按进价提20%标价，元旦九折销售： (1) 电视机进价2500元，求标价和利润； (2) 冰箱促销后获利300元，求进价。 8.甲处6人、乙处10人、丙处8人，支援后人数比2:3:4，设甲支援后2x： (1) 填表； 甲处乙处丙处支援后总人数支援人数
(2) 支援丙的人数是乙的2倍，求各支援人数。 拓展练习 9.五只雀、六只燕共重16两，互换1只质量相等，求雀、燕每只的重量。
教学反思 本节课以生活实例为切入点，通过服装销售、宿舍楼建超市等贴近学生生活的问题，有效激发了学生的探究兴趣。教学中聚焦“直观工具+数量关系+方程求解”的核心逻辑，借助示意图、表格、韦恩图等多样化工具，将复杂的实际问题转化为可视化的数学关系，契合了七年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知特点。通过自主研学、小组讨论、错题辨析等环节，学生不仅掌握了直观分析策略的基本方法，还初步形成了“梳量—选工具—找关系—求解”的解题链条，数形结合和数学建模意识得到了有效培育。课堂练习和拓展环节覆盖了不同类型的问题，分层设计满足了不同层次学生的需求，较好地达成了教学目标。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时学案
课题 5.4 问题解决策略：直观分析 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.会用示意图、表格、韦恩图等工具，理清实际问题中的数量关系，列一元一次方程求解。 2.通过自主研学、小组讨论，掌握“直观分析”的问题解决策略，提升逻辑分析能力。 3.体会数学与生活的联系，感受“直观工具”简化复杂问题的价值。
重点 用直观工具梳理数量关系，列一元一次方程。
难点 不同类型问题的直观表示方法（如行程问题的线段图、容斥问题的韦恩图）。
教学过程
导入新课 概念填空 商品利润＝______－______。 商品利润率＝______（用百分数表示）。 阅读课本中“服装销售问题”，回答： （1）问题涉及的量有哪些？已知量、未知量分别是什么？ （2）用文字描述该问题的等量关系。 （3）可以用什么方式展示这些量的关系？ （4）尝试写出该问题的方程（不求解）。
新知讲解 问题： 一家商店将某种服装按成本价提高 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 1.理解问题 （1）这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？ 涉及的量： 已知量： 未知量：。 （2）你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？ 售价 - 成本价 = _________________； 其中：售价 = 标价 × _______________，标价 = _______________ ×（1 + 40%）。 （3）采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？ 2.拟订计划 （1）想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？ （2）根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？ （3）设这种服装每件的成本为 元，你能用含 的代数式表示其他量吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？ 3.实施计划 写出你的解决方案，并与同伴进行交流 小明用图5-6所示的框图直观地表示了商店从进货、标价到销售获利的过程，并将问题中的数量信息标注在框图中。据此，他列出了方程 解这个方程，得 因此，这种服装每件的成本是______________元。 拓展题（即时练习） 某笔记本按成本提价30%标价，七折卖出后亏损2元，求成本价。 4.回顾反思 （1）你是用怎样的示意图表示商店从进货、标价到销售获利全过程的？与同伴交流不同示意图的优缺点。 （2）示意图对解决这类问题有什么作用？请举例说明。 【强调】借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？ 2.本节课你有哪些收获？有什么体会？请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么？
课堂练习 请用直观分析策略解答下列问题 1．某单位的四幢宿舍楼在一条直线上，现要在这四幢宿舍楼之间建一个超市，使得四幢宿舍楼到超市的距离之和最短。超市应建在什么位置？ 2.小明和爸爸周末骑自行车去郊外游玩，小明和爸爸分别以 和 的速度沿相同路线骑行，爸爸先骑行了 ，然后立即掉转车头，仍以 速度往回骑（小明仍按原速度向前骑行），直到与小明会合。会合时他们骑行了多长时间？ 3．五个人聚会，如果每两个人要握一次手，那么五个人共握多少次手？ 4．一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人？ 5.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议。 （1）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，1，2，1，1，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在几层？你是怎样思考的？ （2）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，2，1，2，1呢？ （3）如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11呢？你是如何解决的？
课后作业 基础练习 1.商场某商品按原售价七五折出售亏损25元，九折出售盈利20元，原售价为（ ） A.230元 B.250元 C.270元 D.300元 2.某商品按成本提40%标价，八折卖出获利15元，成本价为（ ） A.115元 B.120元 C.125元 D.150元 3.豆角原价5元/千克，小王买打八折；另一人少买5kg、原价买，还多花10元，小王购买质量为（ ） A.20kg B.25kg C.30kg D.35kg 4.某人按一年定期存入银行一笔钱，年利率为1.2%，到期扣除利息的20%个人所得税后，本息和为3533.6元，求存入金额。 能力提升 5.某公司甲、乙两种贷款共180万元，年利息6.2万元，甲利率3.8%、乙利率3%，甲贷款数额是___________万元。 6.甲、乙两件服装的成本共500元，甲按50%利润定价、乙按40%利润定价，均九折出售后获利157元，求甲、乙成本。 7.商场家电按进价提20%标价，元旦九折销售： (1) 电视机进价2500元，求标价和利润； (2) 冰箱促销后获利300元，求进价。 8.甲处6人、乙处10人、丙处8人，支援后人数比2:3:4，设甲支援后2x： (1) 填表； 甲处乙处丙处支援后总人数支援人数
(2) 支援丙的人数是乙的2倍，求各支援人数。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共45张PPT)
第五章一元一次方程
5.4 问题解决策略：直观分析
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
新知探究
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
会用示意图、表格、韦恩图等工具，理清实际问题中的数量关系，列一元一次方程求解。
01
通过自主研学、小组讨论，掌握“直观分析”的问题解决策略，提升逻辑分析能力。
02
体会数学与生活的联系，感受“直观工具”简化复杂问题的价值。
03
02
新知导入
阅读课本中“服装销售问题”，回答：
（1）问题涉及的量有哪些？已知量、未知量分别是什么？
（2）用文字描述该问题的等量关系。
（3）可以用什么方式展示这些量的关系？
（4）尝试写出该问题的方程（不求解）。
在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰。实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略。
03
新知讲解
商品利润＝售价－进价
（核心等量关系，利润是售价与成本的差值）。
商品利润率＝（利润÷进价）×100%
（利润率反映利润占成本的比例，需转化为百分数）。
03
新知讲解
问题： 一家商店将某种服装按成本价提高 40% 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？
理解问题
（1）这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？
涉及的量：成本价、提价率、标价、折扣、售价、利润；
已知量：提价40%、八折优惠、每件获利15元；
未知量：每件服装的成本价。
03
新知讲解
问题： 一家商店将某种服装按成本价提高 40% 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？
（2）你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？
03
新知讲解
涉及的量：成本价、提价率、标价、折扣、售价、利润；
已知量：提价40%、八折优惠、每件获利15元；
未知量：每件服装的成本价。
售价 - 成本价 = 利润；
售价 = 标价 × 折扣，标价 = 成本价 ×（1 + 40%）。
（3）采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？
03
新知讲解
可通过表格梳理各量的表达式，或框图示意图
03
新知讲解
成本价
标价
售价
x
40%
提价
（1+40%）x
80%
打折或减价
（1+40%）x
利润15
（1+40%）x
03
新知讲解
数量 表达式
成本
标价
售价
利润 售价成本
03
新知讲解
（1）想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？
拟订计划
成本价→打八折→售价
03
新知讲解
（2）根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？
拟订计划
标价 = 成本价 × 40%
利润 = 标价 - 成本价
标价 = 成本价 ×（1 + 40%）
利润 = 售价 - 成本价
03
新知讲解
（3）设这种服装每件的成本为 x 元，你能用含 x 的代数式表示其他量吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？
拟订计划
标价：80% 元
标价： 元
售价： 元
方程：
03
新知讲解
写出你的解决方案，并与同伴进行交流
实施计划
小明用图5-6所示的框图直观地表示了商店从进货、标价到销售获利的过程，并将问题中的数量信息标注在框图中。据此，他列出了方程
解这个方程，得
因此，这种服装每件的成本是125元。
知识点总结与辨析
核心关系（利润问题）：
① 标价 = 成本×(1+提价率)（提价用“+”，降价用“-”）；
② 售价 = 标价×折扣（八折=0.8，九五折=0.95）；
③ 利润 = 售价 - 成本（盈利为正，亏损为负）。
03
新知讲解
拓展题：某笔记本按成本提价30%标价，七折卖出后亏损2元，求成本价。
解析：
设成本为元，标价，售价。
等量关系：成本 - 售价 = 亏损 →
求解： → 元。
03
新知讲解
（1）你是用怎样的示意图表示商店从进货、标价到销售获利全过程的？与同伴交流不同示意图的优缺点。
回顾反思
①用流程框图来表示全过程：
②表格示意图（把成本、标价、售价对应的表达式列在表格里）。
03
新知讲解
流程框图：
优点：能清楚看到“进货→标价→销售”的步骤顺序，过程很连贯；
缺点：不太方便直接把每个量的代数式写在图里，需要额外标注。
不同示意图优缺点：
表格示意图：
优点：能把每个量（成本、标价、售价）和对应的表达式一一对应，看数值关系很清楚；
缺点：看不出步骤之间的先后变化，像“先提价再打折”的顺序体现得不明显。
03
新知讲解
（2）示意图对解决这类问题有什么作用？请举例说明。
示意图的作用是把问题里绕来绕去的数量关系变直观，避免搞混各个量的联系。
借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。
03
新知讲解
04
新知探究
请用直观分析策略解答下列问题
1．某单位的四幢宿舍楼在一条直线上，现要在这四幢宿舍楼之间建一个超市，使得四幢宿舍楼到超市的距离之和最短。超市应建在什么位置？
A
B
C
D
P
04
新知探究
分析逻辑：设超市位置为，距离和为。
其中（到的总长度，是固定值）；
的最小值出现在位于、之间（含、本身）时（此时，是到的最短距离）。
结论：超市应建在第二幢与第三幢宿舍楼之间（包含这两幢楼的位置）。
04
新知探究
2.小明和爸爸周末骑自行车去郊外游玩，小明和爸爸分别以 和 的速度沿相同路线骑行，爸爸先骑行了 ，然后立即掉转车头，仍以 速度往回骑（小明仍按原速度向前骑行），直到与小明会合。会合时他们骑行了多长时间？
11km
相遇
起点
04
新知探究
等量关系：小明骑行的路程 + 爸爸往回骑行的路程 = 爸爸先骑的11km
求解过程：
设会合时间为t小时，列方程：10t+12t=11
计算得：22t=11 t=0.5小时
04
新知探究
3．五个人聚会，如果每两个人要握一次手，那么五个人共握多少次手？
①
②
③
④
⑤
①
②
③
④
⑤
04
新知探究
分析逻辑：避免重复计算（如①和②握过，就不再算②和①）：
①和②③④⑤握（4次），
②和③④⑤握（3次），
③和④⑤握（2次），
④和⑤握（1次）。
总次数：次
04
新知探究
4．一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人？
32人
27人
20人
答对第二题
答对第一题
两道都答对
04
新知探究
只答对第一题：
只答对第二题：人
至少答对一题的人数：人
两道都答错的人数：人
04
新知探究
5.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议。
（1）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，1，2，1，1，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在几层？你是怎样思考的？
04
新知探究
拟定开会楼层 计算各楼层的总距离 总距离之和
1
2
3
4
5
12
9
8
11
16
会议地点设在3层
参会人数分别为2，1，2，1，1
04
新知探究
（2）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，2，1，2，1呢？
拟定开会楼层 计算各楼层的总距离 总距离之和
1
2
3
4
5
14
10
10
11
21
会议地点设在2层或3层
04
新知探究
（3）如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11呢？你是如何解决的？
拟定开会楼层 计算各楼层的总距离 总距离之和
1
2
3
4
5
108
81
82
103
144
04
新知探究
做题方法总结
核心是“选对直观工具→梳理数量关系→列式计算”：
①选直观工具：
直线位置优化（如宿舍楼、会议地点）：用直线示意图/表格；
行程问题：用线段图；
两两组合（如握手）：用连线示意图；
重叠计数（如答题情况）：用韦恩图。
②梳理关系：通过工具明确“路程和/差、距离和、组合次数、集合重叠”等核心关系；
③计算求解：根据梳理的关系，列方程/算式计算结果。
05
课堂小结
直观分析
工具
解题步骤
数学方法
包括示意图（流程框图、线段图）、表格、韦恩图等，明确不同工具的适用场景。
审→设→列→解→验→答
实际情境→ 抽象为数学模型→ 求解方程→ 验证结果是否符合实际→ 回归实际问题解答；
工具：线段图、环形图
基础练习
1.商场某商品按原售价七五折出售亏损25元，九折出售盈利20元，原售价为（ ）
A.230元 B.250元 C.270元 D.300元
2.某商品按成本提40%标价，八折卖出获利15元，成本价为（ ）
A.115元 B.120元 C.125元 D.150元
3.豆角原价5元/千克，小王买打八折；另一人少买5kg、原价买，还多花10元，小王购买质量为（ ）
A.20kg B.25kg C.30kg D.35kg
06
作业布置
D
C
D
4.某人按一年定期存入银行一笔钱，年利率为1.2%，到期扣除利息的20%个人所得税后，本息和为3533.6元，求存入金额。
解析：设存入银行的本金为元：
利息（税前）：
实际利息（税后）：
等量关系：本息和=本金+实际利息，列方程：
求解：
答：存入银行的金额为3500元。
06
作业布置
能力提升
5.某公司甲、乙两种贷款共180万元，年利息6.2万元，甲利率3.8%、乙利率3%，甲贷款数额是___________万元。
06
作业布置
100
06
作业布置
6.甲、乙两件服装的成本共500元，甲按50%利润定价、乙按40%利润定价，均九折出售后获利157元，求甲、乙成本。
解析：设甲服装成本为元，则乙服装成本为元：
甲的标价：，九折售价：
乙的标价：，九折售价：
等量关系：总售价-总成本=总利润，列方程：
求解：化简得，乙成本为元
答：甲服装成本300元，乙服装成本200元。
7.商场家电按进价提20%标价，元旦九折销售：
(1) 电视机进价2500元，求标价和利润；
(2) 冰箱促销后获利300元，求进价。
解析：(1)标价：元
九折售价：元
利润：元
(2)设冰箱进价为元：
标价：，九折售价：
等量关系：售价-进价=利润，列方程：
求解：
答：(1) 标价3000元，利润200元；(2) 冰箱进价3750元。
06
作业布置
06
作业布置
8.甲处6人、乙处10人、丙处8人，支援后人数比2:3:4，设甲支援后2x：
填表；
支援丙的人数是乙的2倍，求各支援人数。
甲处 乙处 丙处
支援后总人数
支援人数
06
作业布置
解析(1) 填表：
(2)等量关系：支援丙的人数=支援乙的人数×2，列方程：
4x-8=2(3x-10) 求解：4x-8=6x-20 2x=12 x=6
支援甲：2×6-6=6人；支援乙：3×6-10=8人；
支援丙：4×6-8=16人
答：支援甲6人、乙8人、丙16人。
甲处 乙处 丙处
支援后总人数 2x 3x 4x
支援人数 2x-6 3x-10 4x-8
06
作业布置
拓展练习
9.五只雀、六只燕共重16两，互换1只质量相等，求雀、燕每只的重量。
解析：设每只雀重x两，每只燕重y两：
等量关系1：5雀+6燕=16两，列方程：5x+6y=16
等量关系2：互换1只后质量相等（4雀+1燕=1雀+5燕）
06
作业布置
解：设每只雀重两，每只燕重两。
列方程：，化简得
将代入：
则
答：每只雀重两，每只燕重两。
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
